dispensa di matematica

GONIOMETRIA
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
NOZIONI BASE:
Finora abbiamo studiato il valore delle funzioni goniometriche ragionando sull’angolo α e sui valori
caratteristici di certi angoli notevoli, fondamentalmente multipli di 30° e 45° .
Per equazione goniometrica si intende quando l’argomento della funzione non è un angolo dato α, bensì un
valore lungo l’asse delle x.
In una stessa equazione possono comparire una sola funzione, allora diremo che è semplice, funzioni diverse
di primo grado, dette lineari, o di secondo grado, ed esistono delle regole speciali per operare su tali
funzioni, sempre al fine di estrarre il valore di x che soddisfi l’equazione iniziale. Tali regole, ad esempio
Werner o prostaferesi, sono meno intuitive degli sfalsamenti e conviene che vengano imparate a memoria.
Equazioni semplici
Un’equazione si dice semplice se è espressa con un solo tipo di funzione, da cui è possibile ricondurre
velocemente un valore univoco di x:
Sen x = ½
se x = 30° + 2kπ
V
x = 150° + 2kπ
La postilla 2kπ è detta periodicità del fenomeno: l’angolo α riparte da zero superati i 2π (360°), ma
un’equazione goniometrica consente più periodi successivi, pertanto una determinata legge deve essere
specificata nella sua periodicità. Esistono altre periodicità oltre 2kπ, a seconda della legge.
Lineari
Nelle equazioni lineari appaiono insieme funzioni differenti, di primo grado. Per risolverle verranno
utilizzate le formule parametriche, un metodo che deriva dalle leggi di duplicazione e bisezione con cui
riportiamo temporaneamente l’equazione ad una sola funzione tangente, che risolta restituisce il valore di
metà angolo ( x / 2 ). Nell’operare tale metodo, sarà necessario ricordare che non è ammesso un valore di
x/2 = 90° + kπ, poiché la tangente non è definita per tali angoli. Pertanto, salvo casi particolari, la periodicità
è riportata a 2kπ. Vediamo un esempio:
Parametriche :
cos x – 2 sen x + 2 = 0
T = Tan x
2
1 – T2 _ 2 . 2 T + 2 = 0
1 + T2
1 + T2
sen x = 2T .
2
2
1 + T2
1–T – 4T +2+2T = 0
cos x = 1 – T2
1 + T2
T2 – 4 T + 3 = 0
Risolviamo come una normale equazione di secondo grado:
T1,2 = 4 ± √16 – 12
2
= 4 ± 2
2
→ T1 = 3 ;
T2 = 1
una soluzione viene espressa con arctg ma l’altra consente una lettura: ricordiamo che T = tg (x/2):
tg (x/2) = 1 se x/2 = 45° + 2kπ
e quindi
x = 90° + 2kπ
Qualora l’argomento sia a sua volta una funzione più complessa, si può riportare tale valore e spostarlo in
blocco sino alla fine, quando verrà risolto. Alcuni testi usano sostituire l’argomento con y ma si deve sempre
ricordare che non sussiste una relazione f(x), pertanto useremo la z:
sen ( x + 30° ) – 3 cos ( x + 30° ) – 1 = 0
ponendo z = x + 30° →
sen z – 3 cos z – 1 = 0
procedo come una qualunque lineare, con le parametriche (salto un passaggio)
2 T – 3 ( 1 – T2 ) – 1 ( 1 + T 2 ) = 0
2 T – 3 + 3 T2
Parametriche :
– 1 – T2 = 0
T = Tan z
2
2 T2 + 2 T – 4 = 0
sen x =
T2 + T – 2 = 0
T1,2 = – 1 ± √1+ 8 = – 1 ± 3
2
2
tan z/2 = 1 se z/2 = 45° + 2k
ma
→
T1 = – ½
;
T2 = 1
quindi z = 90 + 2kπ
2T .
1 + T2
cos x = 1 – T2
1 + T2
z = x + 30°
90° = x + 30°
da cui
x = 60° + 2kπ
La periodicità della tangente è in kπ , tuttavia, usando le parametriche si è ragionato sulla bisezione x/2, e la
periodicità a 180° / 2 condurrebbe il calcolo nella direzione sbagliata, ammettendo i 90°.
Pertanto, la periodicità deve comunque essere espressa in 2kπ.
Per operare una verifica è sufficiente inserire il valore di x nell’equazione: se il risultato è corretto dovrebbe
annullarsi tutto.
Es: sen ( x + 30° ) – 3 cos ( x + 30° ) – 1 = 0
con
x = 60°
sen ( 60° + 30° ) – 3 cos ( 60° + 30° ) – 1 = 0
sen ( 90° ) – 3 cos ( 90° ) – 1 = 0
→ 1 – 3 (0) – 1 = 0
→
1–1=0
risultato esatto
Omogenee
In tali espressioni compaiono le funzioni con il secondo grado. Si modifica l’espressione tentando di
riportare tutto in tangente o in una sola funzione:
2 sen2x – 3 cosx senx + cos2x = 0
divido tutto per
2 sen2x – 3 cosx senx + cos2x = 0__
cos2x
cos2x
cos2x cos2x
→
cos2x
2 Tg2x – 3 Tgx + 1 = 0
Da qui procedo come una qualunque equazione di secondo grado in tangente:
2 Tg2x – 3 Tgx + 1 = 0
Tgx1,2 = 3 ± √ 9 – 8 = 3 ± 1
4
4
Tgx1 = 4/4 = 1 se x = 45° + kπ
Tgx2 = 2/4 = ½ se x = arctg ½ + kπ
Verifica:
2 sen2x – 3 cosx senx + cos2x = 0
2 (√2/2)2 – 3 (√2/2) (√2/2) + (√2/2)2 = 0
→
con
x = 45°
2½ – 3½ + ½ = 0
risultato corretto