GONIOMETRIA EQUAZIONI GONIOMETRICHE NOZIONI BASE: Finora abbiamo studiato il valore delle funzioni goniometriche ragionando sull’angolo α e sui valori caratteristici di certi angoli notevoli, fondamentalmente multipli di 30° e 45° . Per equazione goniometrica si intende quando l’argomento della funzione non è un angolo dato α, bensì un valore lungo l’asse delle x. In una stessa equazione possono comparire una sola funzione, allora diremo che è semplice, funzioni diverse di primo grado, dette lineari, o di secondo grado, ed esistono delle regole speciali per operare su tali funzioni, sempre al fine di estrarre il valore di x che soddisfi l’equazione iniziale. Tali regole, ad esempio Werner o prostaferesi, sono meno intuitive degli sfalsamenti e conviene che vengano imparate a memoria. Equazioni semplici Un’equazione si dice semplice se è espressa con un solo tipo di funzione, da cui è possibile ricondurre velocemente un valore univoco di x: Sen x = ½ se x = 30° + 2kπ V x = 150° + 2kπ La postilla 2kπ è detta periodicità del fenomeno: l’angolo α riparte da zero superati i 2π (360°), ma un’equazione goniometrica consente più periodi successivi, pertanto una determinata legge deve essere specificata nella sua periodicità. Esistono altre periodicità oltre 2kπ, a seconda della legge. Lineari Nelle equazioni lineari appaiono insieme funzioni differenti, di primo grado. Per risolverle verranno utilizzate le formule parametriche, un metodo che deriva dalle leggi di duplicazione e bisezione con cui riportiamo temporaneamente l’equazione ad una sola funzione tangente, che risolta restituisce il valore di metà angolo ( x / 2 ). Nell’operare tale metodo, sarà necessario ricordare che non è ammesso un valore di x/2 = 90° + kπ, poiché la tangente non è definita per tali angoli. Pertanto, salvo casi particolari, la periodicità è riportata a 2kπ. Vediamo un esempio: Parametriche : cos x – 2 sen x + 2 = 0 T = Tan x 2 1 – T2 _ 2 . 2 T + 2 = 0 1 + T2 1 + T2 sen x = 2T . 2 2 1 + T2 1–T – 4T +2+2T = 0 cos x = 1 – T2 1 + T2 T2 – 4 T + 3 = 0 Risolviamo come una normale equazione di secondo grado: T1,2 = 4 ± √16 – 12 2 = 4 ± 2 2 → T1 = 3 ; T2 = 1 una soluzione viene espressa con arctg ma l’altra consente una lettura: ricordiamo che T = tg (x/2): tg (x/2) = 1 se x/2 = 45° + 2kπ e quindi x = 90° + 2kπ Qualora l’argomento sia a sua volta una funzione più complessa, si può riportare tale valore e spostarlo in blocco sino alla fine, quando verrà risolto. Alcuni testi usano sostituire l’argomento con y ma si deve sempre ricordare che non sussiste una relazione f(x), pertanto useremo la z: sen ( x + 30° ) – 3 cos ( x + 30° ) – 1 = 0 ponendo z = x + 30° → sen z – 3 cos z – 1 = 0 procedo come una qualunque lineare, con le parametriche (salto un passaggio) 2 T – 3 ( 1 – T2 ) – 1 ( 1 + T 2 ) = 0 2 T – 3 + 3 T2 Parametriche : – 1 – T2 = 0 T = Tan z 2 2 T2 + 2 T – 4 = 0 sen x = T2 + T – 2 = 0 T1,2 = – 1 ± √1+ 8 = – 1 ± 3 2 2 tan z/2 = 1 se z/2 = 45° + 2k ma → T1 = – ½ ; T2 = 1 quindi z = 90 + 2kπ 2T . 1 + T2 cos x = 1 – T2 1 + T2 z = x + 30° 90° = x + 30° da cui x = 60° + 2kπ La periodicità della tangente è in kπ , tuttavia, usando le parametriche si è ragionato sulla bisezione x/2, e la periodicità a 180° / 2 condurrebbe il calcolo nella direzione sbagliata, ammettendo i 90°. Pertanto, la periodicità deve comunque essere espressa in 2kπ. Per operare una verifica è sufficiente inserire il valore di x nell’equazione: se il risultato è corretto dovrebbe annullarsi tutto. Es: sen ( x + 30° ) – 3 cos ( x + 30° ) – 1 = 0 con x = 60° sen ( 60° + 30° ) – 3 cos ( 60° + 30° ) – 1 = 0 sen ( 90° ) – 3 cos ( 90° ) – 1 = 0 → 1 – 3 (0) – 1 = 0 → 1–1=0 risultato esatto Omogenee In tali espressioni compaiono le funzioni con il secondo grado. Si modifica l’espressione tentando di riportare tutto in tangente o in una sola funzione: 2 sen2x – 3 cosx senx + cos2x = 0 divido tutto per 2 sen2x – 3 cosx senx + cos2x = 0__ cos2x cos2x cos2x cos2x → cos2x 2 Tg2x – 3 Tgx + 1 = 0 Da qui procedo come una qualunque equazione di secondo grado in tangente: 2 Tg2x – 3 Tgx + 1 = 0 Tgx1,2 = 3 ± √ 9 – 8 = 3 ± 1 4 4 Tgx1 = 4/4 = 1 se x = 45° + kπ Tgx2 = 2/4 = ½ se x = arctg ½ + kπ Verifica: 2 sen2x – 3 cosx senx + cos2x = 0 2 (√2/2)2 – 3 (√2/2) (√2/2) + (√2/2)2 = 0 → con x = 45° 2½ – 3½ + ½ = 0 risultato corretto