equazioni trigonometriche

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI
“ A. MARTINI ” Castelfranco Veneto (TV)
IV A mercurio
10 ottobre 2008
Docente: Daniele De Pieri
8. Equazioni Goniometriche
--- PRIMO GRADO, elementari
con h ∈ [ −1, 1] ;
π
+ kπ
2
Queste equazioni si risolvono intersecando la circonferenza trigonometrica con le rette y = h (per l’equazione
con la funzione seno) e x = h (per l’equazione con la funzione coseno)
sin x = h
cos x = h
tan x = k
x≠
Esempio 1:
sin x =
1
2
Si disegna la circonferenza goniometrica e la retta y = 1/2 si ha:
I punti di intersezione sono posizionati nel primo quadrante: x = π/6,
e nel secondo: x = π − π/6 = 5/6π
In questo modo abbiamo trovato le due soluzioni, ma ricordando che la funzione seno è periodica di periodo 2π
di ottengono infinite altre soluzioni:
π

x =
+ 2k π 
k π

6
+ kπ k ∈  x = ( −1)
5
6
x = π + 2k π 

6
In generale:
k
x = ( −1) arcsin h + kπ
k ∈
Esempio 2:
1
cos x = −
2
disegnando la circonferenza goniometrica e la retta x = −1/2 si ha:
In questo caso i punti di intersezione sono posti nel secondo e terzo quadrante.
x = π – π/3 = 2/3 π
mentre quello nel terzo quadrante sarà.
x = π + π/3 = 4/3 π
Le soluzioni sono quindi, tenendo conte del periodo:
2

π + 2k π 

3

4
x = π + 2k π 

3
x = ± arccos h + 2kπ k ∈ x =
In generale:
2
x = ± π + 2 kπ
3
k ∈
Esempio 3:
tan x = 5
x = arctan 5 + kπ
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ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI
“ A. MARTINI ” Castelfranco Veneto (TV)
IV A mercurio
10 ottobre 2008
Docente: Daniele De Pieri
-- PRIMO GRADO, lineari
a sin x + b cos x = h
Si risolvono intersecando la circonferenza trigonometrica con la retta ax + by = h
Esempio
sin x + cos x = 1
Si interseca la circonferenza trigonometrica x 2 + y 2 = 1 con la retta y = − x + 1
Si ottengono i punti (0, 1) e (1, 0) che corrispondono alle soluzioni x = 0, x = π/2
considerando poi il periodo si ha: x = 0 + 2kπ, x = π/2 + 2kπ, con k ∈ .
-- SECONDO GRADO
1. Se l’equazione data contiene una sola funzione trigonometrica si risolve mediante la formula generale
delle equazioni di secondo grado.
2. Se contiene più di una funzione si cerca, mediante le formule trigonometriche, di trasformarla in una che
contenga una sola funzione trigonometrica.
Esempio
2 cos 2 x + cos x − 1 = 0
Applicando la formula risolutiva si ha:
x = −1
−1 ± 1 + 8
= 1
x2 = 1 2
4
cos x =
Si risolvono le equazioni
cos x = −1 ,
cos x =
1
2
S:
x = ± arccos ( −1) + 2kπ
x = ± arccos (1 2 ) + 2kπ
x = ±π + 2kπ = ( 2k + 1) π
x = ± π 3 + 2 kπ
k ∈
Risolviamo ora:
cos2x – sen2x + cos x = 0
è di secondo grado, ed in essa non compare una sola funzione goniometrica; ricordando che
sen2x = 1 – cos2x si ha: cos2x –1 + cos2x + cos x = 0
2 cos2x + cos x – 1 = 0
da cui si ottiene l’equazione precedente .
Esercizi
Risolvere le seguenti equazioni:
sen (2x –π/2) = ½
2cos2x – cos x – 1= 0
cos x = sen2x – cos2x
sen ( π/4 + x) + sen (π/4 –x) = 1
sen x = sen 2x
2 cos x + 2 sen x =
3 +1
[x = π/3 +2kπ, x=2π/3 + 2kπ]
[ x = 2kπ, x = ±2π/3 + 2kπ]
[x = π + 2kπ, x = ±π/3 + 2kπ]
[x = ±π/4 + 2kπ]
[x = kπ, x = ±π/3 + 2kπ]
[x = π/6 + 2kπ, x = π/3 + 2kπ]
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