Prova parziale di Algebra Lineare (Matematica Discreta)

Prova parziale di Algebra Lineare
(Matematica Discreta)
12 maggio 2014 – Compito 1
1. (5 punti) Si dimostri che il prodotto di cinque interi positivi consecutivi è sempre
multiplo di 60.
2. (6 punti) Con l’uso dell’algoritmo euclideo si calcolino nell’insieme ℕ dei numeri
naturali il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di 126 e 35. Si
determinino poi due interi x e y per cui vale l’identità di Bézout: MCD(126, 35) =
126 ∙ 𝑥 + 35 ∙ 𝑦. Possiamo affermare che 126 e 35 sono primi tra loro?
3. (4 punti) Si scriva in base 2 il numero naturale che si rappresenta come 235 in base 10.
Come si esprime 235 in base 234?
4. (4 punti) Si consideri l’insieme ℤ13 delle classi di resto modulo 13. Quali dei suoi
elementi sono invertibili? Quali sono i loro inversi? Quali degli elementi invertibili sono
quadrati in ℤ13 (ovvero esprimibili come 𝑎2 per qualche a in ℤ13 )? E quali non lo sono?
5. (5 punti) Si scrivano tutti i polinomi di grado 3 in ℤ2 [𝑥], stabilendo quali tra loro sono
riducibili e quali no.
6. (4 punti) Si calcoli in ℂ il prodotto di (2 + 3𝑖) × (4 − 3𝑖). Si determinino poi, se
possibile, inverso, coniugato e modulo del risultato.
7. (4 punti) Si determinino in ℤ7 [𝑥] quoziente e resto della divisione di 𝑥 5 + 3𝑥 3 + 2 e
4𝑥 2 + 5𝑥 + 1.
Prova parziale di Algebra Lineare
(Matematica Discreta)
12 maggio 2014 – Compito 2
1. (6 punti) Con l’uso dell’algoritmo euclideo si calcolino nell’insieme ℕ dei numeri
naturali il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di 128 e 44. Si
determinino poi due interi x e y per cui vale l’identità di Bézout: MCD(128, 44) =
128 ∙ 𝑥 + 44 ∙ 𝑦. Possiamo affermare che 128 e 44 sono primi tra loro?
2. (4 punti) Si scriva in base 2 il numero naturale che si rappresenta come 222 in base 10.
Come si esprime 10 in base 222?
3. (5 punti) Si consideri l’insieme ℤ17 delle classi di resto modulo 17. Quali dei suoi
elementi sono invertibili? Quali sono i loro inversi? Quali degli elementi invertibili sono
quadrati in ℤ17 (ovvero esprimibili come 𝑎2 per qualche a in ℤ17 )? E quali non lo sono?
4. (4 punti) Si dimostri che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi è sempre
multiplo di 24.
5. (5 punti) Si scrivano tutti i polinomi di grado 2 in ℤ3 [𝑥], stabilendo quali tra loro sono
riducibili e quali no.
6. (4 punti) Si calcoli in ℂ il prodotto di (11 + 𝑖) × (3 − 4𝑖). Si determinino poi, se
possibile, inverso, coniugato e modulo del risultato.
7. (4 punti) Si determinino in ℤ7 [𝑥] quoziente e resto della divisione di 2𝑥 5 + 3𝑥 3 + 1 e
4𝑥 2 + 5𝑥 + 1.
Prova parziale di Algebra Lineare
(Matematica Discreta)
12 – 05 – 2014 – Compito 3
1. (4 punti) Si determinino in ℤ7 [𝑥] quoziente e resto della divisione di 𝑥 5 − 4𝑥 3 + 2 e
4𝑥 2 − 2𝑥 + 1.
2. (4 punti) Si scriva in base 2 il numero naturale che si rappresenta come 235 in base 10.
Come si esprime 235 in base 234?
3. (4 punti) Si consideri l’insieme ℤ13 delle classi di resto modulo 13. Quali dei suoi
elementi sono invertibili? Quali sono i loro inversi? Quali degli elementi invertibili sono
quadrati in ℤ13 (ovvero esprimibili come 𝑎2 per qualche a in ℤ13 )? E quali non lo sono?
4. (5 punti) Si scrivano tutti i polinomi di grado 3 in ℤ2 [𝑥], stabilendo quali tra loro sono
riducibili e quali no.
5. (5 punti) Si dimostri che il prodotto di cinque interi positivi consecutivi è sempre
multiplo di 60.
6. (6 punti) Con l’uso dell’algoritmo euclideo si calcolino nell’insieme ℕ dei numeri
naturali il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di 126 e 35. Si
determinino poi due interi x e y per cui vale l’identità di Bézout: MCD(126, 35) =
126 ∙ 𝑥 + 35 ∙ 𝑦. Possiamo affermare che 126 e 35 sono primi tra loro?
7. (4 punti) Si calcoli in ℂ il prodotto di (4 − 3𝑖) × (2 + 3𝑖). Si determinino poi, se
possibile, inverso, coniugato e modulo del risultato.
Prova parziale di Algebra Lineare
(Matematica Discreta)
12 aggio 2014 – Compito 4
1. (4 punti) Si calcoli in ℂ il prodotto di (3 − 4𝑖) × (11 + 𝑖). Si determinino poi, se
possibile, inverso, coniugato e modulo del risultato.
2. (4 punti) Si determinino in ℤ7 [𝑥] quoziente e resto della divisione di 2𝑥 5 + 3𝑥 3 − 6 e
4𝑥 2 − 2𝑥 + 1.
3. (6 punti) Con l’uso dell’algoritmo euclideo si calcolino nell’insieme ℕ dei numeri
naturali il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di 128 e 44. Si
determinino poi due interi x e y per cui vale l’identità di Bézout: MCD(128, 44) =
128 ∙ 𝑥 + 44 ∙ 𝑦. Possiamo affermare che 128 e 44 sono primi tra loro?
4. (4 punti) Si scriva in base 2 il numero naturale che si rappresenta come 222 in base 10.
Come si esprime 10 in base 222?
5. (5 punti) Si consideri l’insieme ℤ17 delle classi di resto modulo 17. Quali dei suoi
elementi sono invertibili? Quali sono i loro inversi? Quali degli elementi invertibili sono
quadrati in ℤ17 (ovvero esprimibili come 𝑎2 per qualche a in ℤ17 )? E quali non lo sono?
6. (4 punti) Si dimostri che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi è sempre
multiplo di 24.
7. (5 punti) Si scrivano tutti i polinomi di grado 2 in ℤ3 [𝑥], stabilendo quali tra loro sono
riducibili e quali no.