Esame di Algebra per Ingegneria Gestionale Esame di Geometria e

Esame di Algebra per Ingegneria Gestionale
Esame di Geometria e Algebra per Ingegneria Informatica
prova scritta del 20-2-2001
Esercizio 1. Si risolva nel campo complesso il sistema

 z 3 + 9z = 0
 |ez | ≥ 0
Esercizio 2. Al variare del parametro reale β sia fβ : R3 → R3 l’applicazione lineare espressa rispetto alla
base canonica dalla matrice


1
β
2




 1 1 2 




1 0 β
(i) Al variare di β ∈ R determinare la dimensione di ker(fβ ) e Im(fβ ).
(ii) Per i valori di β per cui Ker(fβ ) 6= {0}: si determinino
gli autovalori di fβ .
 
 0 
 

(iii) Determinare, se esistono, i valori di β per i quali 
 1  è autovettore di fβ .
 
0
Esercizio 3. Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da
  
 x   x − 4y + 2z
  
 
f
 y  =  3x − 8y + 5z
  
z
3x − 4y + 4z
(i) Si determini una base di Ker(f ).
(ii) Si determinino, se esistono, le soluzioni
  
 x   1
  
 
f
 y = 0
  
z
0
dei sistemi




,











 x   1 
   
  
f
 y = 2 
   
z
1
(iii) Si determini un sottospazio W ⊂ R3 tale che R3 = W ⊕ Ker(f ).
Esercizio 4.[Ingegneria Informatica] Si determinino le soluzioni intere del sistema

 3x ≡ 4
(mod 7)
 (x, 35) = 7
Esercizio 5. [Ingegneria Informatica] Si determinino le possibili decomposizioni in cicli ed il numero
totale delle permutazioni pari su 7 elementi che sono cubi.