Ingegneria Biomedica
Esame di Geometria e Algebra Lineare
penalità
voto
1 febbraio 2008
(Cognome)
(Nome)
tempo a disposizione: 2 ore
Esercizio 1. [8pt.] Si determinino le soluzioni complesse del seguente sistema:
ez + 9e3z = 0
|z + log 3| ≤ 2π
(Numero di matricola)
Esercizio 2. [8pt.] Sia ft : R3 −→ R3 l’applicazione lineare espressa rispetto alla base canonica
dalla matrice
1 −2 −t
t
0 −1
−t
3
1
(i) Al variare di t ∈ R, si determinino dim(Ker(ft )) e dim(Im(ft )).
(ii) Al variare di t ∈ R, si determini la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema
x1
t−1
f t x2 ) = 0
x3
0
1
(iii) Si determinino, se esistono, i valori di t ∈ R per cui il vettore 0 è autovettore per ft .
1
x
y
Esercizio 3. [8pt.] Sia f : R4 → R4 l’applicazione lineare definita da f
z
w
=
y+w
x−w
z
2x + 2y − w
(i) Si determinino gli autovalori di f specificandone la molteplicità algebrica e geometrica.
(ii) Si determinino la forma di Jordan e una base di Jordan per f .
Esercizio 4. [8pt.] Sia V lo spazio vettoriale reale generato dalle funzioni sin x, cos x, 1 e sia
h , i : V × V → R il prodotto scalare definito da
Z
< f1 (x), f2 (x) > =
π
2
f1 (x) · f2 (x) dx
0
(i) Rispetto alla base {sin x, cos x, 1} determinare la matrice assaciata a < , >.
(ii) Dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere.
(iii) Trovare una base ortogonale per < , >.
(iv) Determinare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
