Esercizio 1)
Calcolare il Massimo Comun Divisore di 728 e 2310.
Esercizio 2)
Sapendo che ogni intervallo [α, β] (con β > α) della retta reale contiene almeno un numero
razionale, provare che ne contiene almeno due distinti.
Esercizio 3)
Dimostrare che la radice positiva dell’equazione x2 + 3x = 6 è minore di 10/7.
Esercizio 4)
In un piano cartesiano (x, y), calcolare l’area della regione definita dalle diseguaglianze
y > 0,
Esercizio 5)
x > y,
y < 1,
x+y <3
Calcolare cos(π/12) e sin(π/12).
Esercizio 6)
Tra le seguenti proposizioni, indicare qual’è la negazione della proposizione
“Ogni numero intero pari è somma di due numeri primi”
A)
B)
C)
D)
E)
Esistono due numeri primi la cui somma è dispari.
Per ogni numero p esiste un numero pari n tale che n − p non è primo.
Esiste un numero pari n tale che, per ogni primo p, n − p non è primo.
418 non è somma di due numeri primi.
Ogni somma di numeri primi è dispari.
Esercizio 7)
Trovare i numeri reali x che soddisfano la disuguaglianza
|x2 − 2x| ≤ x
Esercizio 8)
Siano z1 e z2 due numeri complessi. Si provi che
|z1 · z2 | = |z1 ||z2 |
Esercizio 9)
Nel piano complesso siano dati i numeri
√
z = 2+i2 3 ,
w = 2+i2
a) si calcolino |z| e |w|;
b) si determinino due angoli, θ e φ, tali che z = |z|(cos θ + i sin θ) e w = |w|(cos φ + i sin φ);
c) si calcoli v = z · w, determinando un angolo ψ tale che v = |v|(cos ψ + i sin ψ).
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