Esercizi di Algebra Lineare (Interi, congruenze, polinomi)

Esercizi di Algebra Lineare (Interi, congruenze, polinomi) Carlo Toffalori 2014-­‐15 (Versione integrata 3 maggio 2015) 1. Sia 𝜑 la funzione di Eulero. Si calcoli 𝜑(22). Quanto vale 3!(!!) modulo 22? E 3!" ? E 2!(!!) ? 2. Si calcoli in ℕ il massimo comune divisore di 𝜑(123), 𝜑(124), 𝜑(125), 𝜑(126), dove 𝜑 indica ancora la funzione di Eulero. 3. Si stabilisca un criterio di divisibilità di un intero positivo 𝑎 prima per 4, poi per 8 e infine per 16 in riferimento alle cifre decimali 𝑎! , 𝑎! , 𝑎! , … , 𝑎! della rappresentazione di 𝑎 in base 10, 𝑎 = 𝑎! ∙ 10! + 𝑎! ∙ 10! + 𝑎! ∙ 10! + ⋯ + 𝑎! ∙ 10! per 𝑛 naturale (dunque 𝑎! , 𝑎! , 𝑎! , … , 𝑎! variano da 0 a 9). Si provi a generalizzare individuando un criterio di divisibilità per una generica potenza 2! di 2 (con 𝑘 intero maggiore di 1). 4. Mantenendo la notazione dell’esercizio precedente, si stabilisca adesso un criterio di divisibilità di a per 13. 5. E’ possibile arrangiare un crittosistema di tipo RSA facendo riferimento ai primi p = 3, q = 5 e al loro prodotto N = 15? Se sì, si calcoli 𝜑(𝑁) e si proponga una scelta opportuna degli esponenti d, e di decodifica e codifica di un messaggio m (espresso come un numero intero positivo). Si espongano in questo caso particolare le due procedure di codifica e decodifica. 6. Stesso esercizio per p = 3, q = 11 e N = 33. 7. Quanti sono i polinomi di grado 5 in ℤ! [𝑥]? Quanti tra loro ammettono 1 come radice? (Suggerimento: si ricordi il teorema di Ruffini e si osservi che ognuno dei polinomi cercati ha la forma (𝑥 − 1) ∙ 𝑞(𝑥) con 𝑞(𝑥) ∈ ℤ! [𝑥] di grado 4). Quanti sono poi i polinomi di grado 5 che ammettono rispettivamente 0, 2, 3 e 4 come radice? Si deduca che in ℤ! [𝑥] esiste almeno un polinomio di grado 5 e senza radici in ℤ! . 8. Con l’uso dell’algoritmo euclideo si calcolino in ℕ massimo comune divisore e minimo comune multiplo delle seguenti coppie di numeri naturali: • 75 e 33, • 75 e 22, • 75 e 25, • 75 e 30, • 75 e 77, • 121 e 77. Per ognuna di queste coppie a, b si determinino due interi x e y per cui vale l’identità di Bézout: MCD(a, b) = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦. Si determinino finalmente massimo comune divisore e minimo comune multiplo utilizzando la decomposizione dei numeri naturali a, b in fattori primi. 9. Si dimostri che, tra 10 numeri naturali consecutivi maggiori di 2, al massimo 4 sono primi. Si dia un esempio di 10 numeri naturali consecutivi maggiori di 2 dei quali esattamente 4 sono primi. 10. Si dimostri che, per ogni numero naturale a, il prodotto 𝑎 ∙ 𝑎 + 1 ∙ 𝑎 + 2 è multiplo di 6. 11. Quali delle seguenti equazioni ammettono soluzioni intere per x e y? Suggerimento: si ricordi l’identità di Bézout. • 3 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 = 1, • 3 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 = 2, • 3 ∙ 𝑥 + 6 ∙ 𝑦 = 1, • 3 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 = 37. 12. Si scrivano in base 2 i numeri naturali che in base 10 si rappresentano come 17, 71, 77, 257, 260. Viceversa si scrivano in base 10 i numeri che in base 2 si rappresentano come 101, 111, 1001, 1111, 11001, 100001. 13. Trovare, se esistono, interi congrui a 11 modulo 15 • tra 0 e 10, • tra – 10 e 0, • tra 15 e 30, • tra 30 e 40, • tra 30 e 45. Stesso problema, ma in riferimento al modulo 14. 14. Quanti sono gli elementi di ℤ!! ? Quali di essi sono invertibili, e quale è il loro inverso? Quale è l’opposto di 5 in ℤ!! ? Stesso esercizio, ma in riferimento a ℤ!" e poi a ℤ!" . Si stabilisca in particolare se, per N = 11, 10 e 14, e rispetto alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione definite in questi insiemi, ℤ! è un campo. 15. Esistono campi con 13 elementi? 16. Quali dei seguenti polinomi sono irriducibili in ℤ! [𝑥]? Per ognuno di essi si calcoli la decomposizione in fattori irriducibili. • 𝑥 ! + 2𝑥 + 2, • 𝑥 ! + 1, • 𝑥 ! + 2, • 𝑥 ! + 2𝑥. Stesso esercizio in ℤ! [𝑥]. 17. Si calcolino in ℤ! [𝑥] la somma, il prodotto e finalmente il quoziente e il resto delle seguenti coppie di polinomi: • 𝑥 ! + 2𝑥 + 2 e 𝑥 ! + 3𝑥 + 4, • 𝑥 ! + 2𝑥 + 2 e 𝑥 ! + 3, • 𝑥 ! + 2𝑥 + 2 e 4𝑥 ! + 3𝑥 + 1. 18. Si determinino, se possibile, le radici in ℤ! dei seguenti polinomi: • 4 𝑥 + 3, • 𝑥 ! + 3, • 𝑥 ! + 3, • 𝑥 ! + 4. 19. I polinomi di ℤ[𝑥] che seguono ammettono radici razionali? Se sì, quali? • 2 𝑥 ! + 3 𝑥 ! + 𝑥 + 3, • 4 𝑥 ! + 3 𝑥 ! + 3 𝑥 ! + 𝑥 + 1, • 𝑥 ! − 2. 20. Quanti sono i polinomi di grado al massimo 3 in ℤ! [𝑥]? Si elenchino uno per uno, stabilendo in ogni caso se il polinomio è irriducibile oppure no. 21. Quante sono le potenze distinte dell’elemento immaginario i in ℂ ? 22. Quale è l’inverso in ℂ dei seguenti elementi? E quale il loro coniugato? • 5 + 𝑖, • 1 − 2𝑖 , • 2 − 𝑖 , • − 𝑖 , • 4. 23. Si calcolino in ℂ i prodotti dei seguenti elementi. • 5 + 𝑖 × 5 − 𝑖 , • 1 + 2𝑖 × (5 − 𝑖) , • 1 + 2𝑖 × (2 + 3𝑖). 24. Nell’insieme ℤ degli interi si consideri la relazione binaria R formata dalle coppie (a, b) tali che a e b sono primi tra loro. La relazione R è di equivalenza? Di ordine? 25. Consideriamo l’insieme A tutti i numeri naturali minori o uguali di un dato valore N diverso da 0. Per a, b in A poniamo a R b se e solo se a, N hanno lo stesso minimo comune multiplo di b, N. Si provi che R è una relazione di equivalenza. Se ne descrivano le classi per N = 10 e per N = 12. 26. Stesso esercizio, ma con il massimo comune divisore al posto del minimo comune multiplo. 27. Quali sono le radici quarte di 16 in ℂ? Di ciascuna di loro si trovino il coniugato, l’inverso e il modulo. 28. Si determinino gli elementi invertibili di ℤ! . Si determini, se possibile, un elemento invertibile di ℤ! le cui potenze coincidono con tutti gli elementi invertibili di ℤ! . 29. Nell’anello ℤ! [𝑥] dei polinomi nella indeterminata 𝑥 a coefficienti in ℤ! si consideri la seguente relazione binaria R: se 𝑎(𝑥) e 𝑏 𝑥 sono due polinomi, si pone 𝑎(𝑥) R 𝑏 𝑥 se e solo se 𝑎(𝑥) e 𝑏 𝑥 ammettono gli stessi valori per ogni elemento di ℤ! . Si provi che R è una relazione di equivalenza. Quante sono le sue classi di equivalenza?