La funzione φ di Eulero
Definizione. Definiamo la funzione di Eulero
φ : N \ {0} → N
ponendo
φ(n) := {a ∈ N | 1 ≤ a ≤ n, (a, n) = 1}
per ogni n ∈ N \ {0}.
Ricordiamo che vale il seguente risultato.
Lemma. Per ogni intero positivo n si ha:
Z/nZ ∗ = φ(n),
vale a dire che φ(n) è uguale al numero di classi invertibili modulo n.
Come si calcola φ(n) ?
1) n è un numero primo p:
φ(p) = p − 1
Esempi: φ(7) = 6, φ(31) = 30.
2) n è il prodotto di due numeri primi distinti p e q:
φ(p · q) = φ(p) · φ(q) = (p − 1) · (q − 1)
Esempi:
φ(21) = φ(3)φ(7) = 2 · 6 = 12,
φ(62) = φ(2)φ(31) = 1 · 30 = 30.
3) n è potenza di un numero primo: n = pm , con p numero primo e m
intero positivo
φ(pm ) = pm − pm−1
1
Esempi:
φ(16) = φ(24 ) = 24 − 23 = 8,
φ(125) = φ(53 ) = 53 − 52 = 100.
4) n generico: scriviamo la fattorizzazione di n
mk
m2
1
n = pm
1 · p2 · · · pk
con p1 , p2 , . . . , pk numeri primi distinti e m1 , m2 , . . . , mk numeri interi
positivi. In questo caso si ha
m2
mk
1
φ(n) = φ(pm
1 ) · φ(p2 ) · · · φ(pk ) =
m1 −1
m2 −1
mk −1
1
2
k
= (pm
)(pm
) · · · (pm
)
1 − p1
2 − p2
k − pk
Esempi:
φ(24) = φ(23 · 3) = φ(23 ) · φ(3) = (23 − 22 ) · (3 − 1) = 8,
φ(108) = φ(22 · 33 ) = φ(22 ) · φ(33 ) = (22 − 21 ) · (33 − 32 ) = 36.
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