XXXI Convegno UMI _ CIIM

Compito di Algebra Lineare
Esercizi di Matematica Discreta
11 febbraio 2015
Ogni esercizio conta per 4 punti al massimo.
1. Per ciascuno dei seguenti valori complessi z si determinino quanti e quali numeri complessi lo
ammettono come quadrato:
 𝑧 = 0,
 𝑧 = – 4,
 𝑧 = 𝑖,
 𝑧 = −4𝑖.
2. Sia 𝐾 un campo. Consideriamo In 𝐾[𝑥] il polinomio 𝑎(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1. In quali dei seguenti casi
𝑎(𝑥) è riducibile in 𝐾[𝑥]?
 𝐾 è il campo complesso,
 𝐾 è il campo reale,
 𝐾 è il campo razionale,
 𝐾 = ℤ5 ,
 𝐾 = ℤ3 .
3. Consideriamo la relazione binaria ~ in ℤ12 definita ponendo, per ogni scelta di 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ12 , 𝑎~𝑏 se e
solo se in ℤ12 si ha 4𝑎 = 4𝑏. Si dimostri che ~ è una relazione di equivalenza in ℤ12 e si
determinino tutte le sue classi di equivalenza in ℤ12 .
4. Quante sono le matrici 2 × 2 a coefficienti nel campo ℤ2 ? Quante tra loro sono invertibili?
1 𝑡−2
0
5. Per quali valori del parametro reale t la matrice 𝐴 = ( 0
2
0
1
0
invertibile?
1 0
−𝑡 0) a coefficienti reali è
1 3
1 0
6. Consideriamo in ℝ3 i vettori (0, 1, 1) e (1, 0, -1). Sono linearmente indipendenti su ℝ? Formano una
base di ℝ3 su ℝ?
1 0 3
7. Su ℝ è data la matrice 𝐴 = (0 0 0). Si trovino i suoi autovalori e i corrispondenti autovettori. Si
3 0 1
stabilisca se A è o no diagonalizzabile.
8. Si consideri la trasformazione lineare di ℝ3 in ℝ3 associata alla matrice A dell’esercizio precedente.
Quale è il nucleo di questa trasformazione? E quale l’immagine?