Compito di Algebra Lineare
Esercizi di Matematica Discreta
11 febbraio 2015
Ogni esercizio conta per 4 punti al massimo.
1. Per ciascuno dei seguenti valori complessi z si determinino quanti e quali numeri complessi lo
ammettono come quadrato:
ο‚· 𝑧 = 0,
ο‚· 𝑧 = – 4,
ο‚· 𝑧 = 𝑖,
ο‚· 𝑧 = −4𝑖.
2. Sia 𝐾 un campo. Consideriamo In 𝐾[π‘₯] il polinomio π‘Ž(π‘₯) = π‘₯ 2 + π‘₯ + 1. In quali dei seguenti casi
π‘Ž(π‘₯) è riducibile in 𝐾[π‘₯]?
ο‚· 𝐾 è il campo complesso,
ο‚· 𝐾 è il campo reale,
ο‚· 𝐾 è il campo razionale,
ο‚· 𝐾 = β„€5 ,
ο‚· 𝐾 = β„€3 .
3. Consideriamo la relazione binaria ~ in β„€12 definita ponendo, per ogni scelta di π‘Ž, 𝑏 ∈ β„€12 , π‘Ž~𝑏 se e
solo se in β„€12 si ha 4π‘Ž = 4𝑏. Si dimostri che ~ è una relazione di equivalenza in β„€12 e si
determinino tutte le sue classi di equivalenza in β„€12 .
4. Quante sono le matrici 2 × 2 a coefficienti nel campo β„€2 ? Quante tra loro sono invertibili?
1 𝑑−2
0
5. Per quali valori del parametro reale t la matrice 𝐴 = ( 0
2
0
1
0
invertibile?
1 0
−𝑑 0) a coefficienti reali è
1 3
1 0
6. Consideriamo in ℝ3 i vettori (0, 1, 1) e (1, 0, -1). Sono linearmente indipendenti su ℝ? Formano una
base di ℝ3 su ℝ?
1 0 3
7. Su ℝ è data la matrice 𝐴 = (0 0 0). Si trovino i suoi autovalori e i corrispondenti autovettori. Si
3 0 1
stabilisca se A è o no diagonalizzabile.
8. Si consideri la trasformazione lineare di ℝ3 in ℝ3 associata alla matrice A dell’esercizio precedente.
Quale è il nucleo di questa trasformazione? E quale l’immagine?