Compito di Algebra Lineare Esercizi di Matematica Discreta 11 febbraio 2015 Ogni esercizio conta per 4 punti al massimo. 1. Per ciascuno dei seguenti valori complessi z si determinino quanti e quali numeri complessi lo ammettono come quadrato: 𝑧 = 0, 𝑧 = – 4, 𝑧 = 𝑖, 𝑧 = −4𝑖. 2. Sia 𝐾 un campo. Consideriamo In 𝐾[𝑥] il polinomio 𝑎(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1. In quali dei seguenti casi 𝑎(𝑥) è riducibile in 𝐾[𝑥]? 𝐾 è il campo complesso, 𝐾 è il campo reale, 𝐾 è il campo razionale, 𝐾 = ℤ5 , 𝐾 = ℤ3 . 3. Consideriamo la relazione binaria ~ in ℤ12 definita ponendo, per ogni scelta di 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ12 , 𝑎~𝑏 se e solo se in ℤ12 si ha 4𝑎 = 4𝑏. Si dimostri che ~ è una relazione di equivalenza in ℤ12 e si determinino tutte le sue classi di equivalenza in ℤ12 . 4. Quante sono le matrici 2 × 2 a coefficienti nel campo ℤ2 ? Quante tra loro sono invertibili? 1 𝑡−2 0 5. Per quali valori del parametro reale t la matrice 𝐴 = ( 0 2 0 1 0 invertibile? 1 0 −𝑡 0) a coefficienti reali è 1 3 1 0 6. Consideriamo in ℝ3 i vettori (0, 1, 1) e (1, 0, -1). Sono linearmente indipendenti su ℝ? Formano una base di ℝ3 su ℝ? 1 0 3 7. Su ℝ è data la matrice 𝐴 = (0 0 0). Si trovino i suoi autovalori e i corrispondenti autovettori. Si 3 0 1 stabilisca se A è o no diagonalizzabile. 8. Si consideri la trasformazione lineare di ℝ3 in ℝ3 associata alla matrice A dell’esercizio precedente. Quale è il nucleo di questa trasformazione? E quale l’immagine?