a. s. 2015-2016
CLASSE 4 As
Insegnante: Torchia Franca
Disciplina: Matematica
PROGRAMMA SVOLTO
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
- La misura degli angoli
- Le funzioni seno e coseno
- Le funzioni tangente e cotangente
- Le funzioni secante e cosecante
- Le funzioni goniometriche di angoli particolari
- Le funzioni goniometriche inverse
- Le funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche
LE FORMULE GONIOMETRICHE
- Gli angoli associati
- Le formule di addizione e sottrazione
- Le formule di duplicazione
- Le formule di bisezione
- Le formule parametriche
- Le formule di prostaferesi
LE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
- Le equazioni goniometriche elementari
- Le equazioni lineari in seno e coseno
- Le equazioni omogenee in seno e coseno
- Le disequazioni goniometriche
LA TRIGONOMETRIA
- I teoremi di risoluzione dei triangoli rettangoli
- Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli
o L’area di un triangolo
o Il teorema della corda
- I teoremi di risoluzione dei triangoli qualunque
o Il teorema dei seni
o Il teorema di Carnot
FUNZIONI ESPONENZIALI
- La funzione esponenziale e sue caratteristiche
- Equazioni esponenziali
- Disequazioni esponenziali
LOGARITMI
- Definizione di logaritmo
- Logaritmi decimali e naturali
- Proprietà dei logaritmi
- Cambiamento di base
- La funzione logaritmica
- Equazioni e disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi
- Equazioni logaritmiche
- Disequazioni logaritmiche
IL CALCOLO COMBINATORIO
- I raggruppamenti
- Le disposizioni semplici
- Le disposizioni con ripetizione
- Le permutazioni semplici
- Le permutazioni con ripetizione
- La funzione n!
- Le combinazioni semplici
- Le combinazioni con ripetizione
- Le potenze di un binomio – formula del binomio di Newton
I NUMERI COMPLESSI
- I numeri complessi
- I numeri immaginari
- Il calcolo con i numeri complessi in forma algebrica
- Vettori e numeri complessi
- Le coordinate polari
- La forma trigonometrica di un numero complesso
- Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica
- Le radici n-esime di un numero complesso
- La forma esponenziale di un numero complesso
LA GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
- Le coordinate cartesiane nello spazio
o Lunghezza di un segmento
o Punto medio di un segmento
- Il piano
INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO
Gli esercizi dovranno essere svolti da tutti gli studenti, sia quelli promossi a giugno che quelli
con giudizio sospeso.
L’ultimo argomento riportato nel programma svolto verrà ripreso e completato nel prossimo
anno scolastico e non sarà oggetto di domande per gli studenti con giudizio sospeso
ESPONENZIALI E LOGARITMI
1. LE POTENZE CON ESPONENTE REALE
Semplifica le seguenti espressioni, applicando le proprietà delle potenze.
5
2
54 x : 5x ;
4x 42 x 2 :16 x ;
a a x2 ;
a 5 a2x
a3
.
x 5
3 x 2 2 x 4 2 x25 410
5
;
2
;
a
;
a
2. LA FUNZIONE ESPONENZIALE
Disegna il grafico delle seguenti funzioni.
y 2 x 1.
y 2 x 1;
Disegna il grafico della funzione y f x indicata. Traccia poi i grafici delle funzioni indicate a
lato, dopo averne scritto l’espressione analitica.
y f x 3x ;
y f x , y f x , y f x , y f x 2 .
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
2
y x 1
a
3
b
y2
x R
3
x 2
2 x 3
3. LE EQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi le seguenti equazioni esponenziali.
a
2x1 2x 2x2 5
b
3x 33 x 12
c
6 x 6 x 3 6
6
8
2 x 1
x
x 2
x 1 x 2
3
x 2 x 5
1
4. LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi la seguente disequazione esponenziale.
x 1
x
1
1 1
7
3
3 3
Risolvi il seguente sistema.
x 2 x 1 1
2 3
18
4 x 2 x 20
x 1
x 1
9
x 2
5. LA DEFINIZIONE DI LOGARITMO
Calcola i seguenti logaritmi applicando la definizione.
27
1
log 2
;
log 0,01100;
log 2 ;
16
3 8
log 3 9.
4; 3; 1; 4
Calcola il valore della base a usando la definizione di logaritmo.
log a 25 2;
log a 7 1;
log a 3 4;
log a
1
1
.
5
2
1 1
5; 7 ; 4 ; 25
3
6. LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
Sviluppa le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi.
2
1 3
log 2
;
4
log 3a 2b2 ;
log
a3
.
ab
5
1
2log 2 1 3 4; log 3 2log a 2log b; 2 log a 2 log b
Applica le proprietà dei logaritmi per scrivere la seguente espressione sotto forma di un unico
logaritmo.
1
log x log x 2 3log x 2 1
2
2
log x 2 x
3
x2 1
Scrivi i seguenti logaritmi usando il logaritmo in base 10 e calcolane il valore approssimato con
quattro cifre decimali.
log 0,18;
log32 541.
log5 62;
7. LA FUNZIONE LOGARITMICA
Rappresenta le seguenti funzioni in uno stesso piano cartesiano.
y log 2 x;
y log 2 x 1.
y log 2 x 1 ;
Disegna il grafico della funzione y f x indicata. Traccia poi i grafici delle funzioni indicate a
lato, dopo averne scritto l’espressione analitica.
y f x , y f x , y f x , y 3 f x 1 .
y f x log 2 x;
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
log x 2
y
a
log x 3
b
y ln
c
y log
2x
x 1
x 3 x 4
x 1
x 1 log 4 x 3
1 x 4
8. LE EQUAZIONI LOGARITMICHE
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche.
log 2 x 1 log 2 x 2 2 log 2 3
a
b
log2 log x2 4 x 2 2log x 2
c
ln 9 x 2 ln x 3 3ln 3
d
log3 x 5 log9 x 3 log9 3x 1
x 2
x 4
3 3 5
x 0 x
2
x 11
9. LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche.
x3
log 2
a
1
x4
4 x 11
log 1 x log 1 x 2 log 1 12 x
4 x 12
b
2
c
2
2
log x 3 log x 5 log3 log 2 x 5
2 x 0
10. I LOGARITMI E LE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni.
log5 log2
x
log5
a
2 5x 3 5x1 5x1 16
b
2x3 2x2 20 2x 168
log7
x log2
c
2 3x1 3 2x1 2x3 3x
log2
x log3 log2
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
a
y
log x 2 3x 1
log 11 2 x log x
11
11
0 x 2 x 3
b
y 52 x 3 5x 2
c
y
log2
x 0 x log5
log4
x 0 x log5
3x
25 5
x
x 1
4
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
1. LA MISURA DEGLI ANGOLI
Esprimi in forma sessadecimale le seguenti misure di angoli.
23 34 29 ; 8 56 6 ; 57 1 59 .
23,57; 8,97; 57,033
Esprimi in gradi, primi e secondi le seguenti misure di angoli, espresse in forma sessadecimale
(arrotondando eventualmente i secondi).
45,68 ; 129, 41 ; 76,123 .
45 40 48; 129 24 36; 76 7 22
Completa la seguente tabella scrivendo la misura mancante, in gradi o in radianti.
Gradi
Radianti
45°
0
120°
2
270°
5
6
3
2
2. LE FUNZIONI SENO E COSENO
Utilizzando i dati della figura, deduci ciò che è indicato a fianco.
3
Sapendo che sen e , calcola cos .
a
5 2
b
Sapendo che cos
3 3
e 2 , calcola sen .
4 2
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
3cos90 2sen 0 2sen 30 4cos60 cos30 3sen 60 cos0
a
b
c
3cos90 2cos0 4cos30 4sen 60 cos60 5sen 30 2sen 0
cos
cos sen 4cos sen
3
4
4
6
3
4
5
7
4
2 3
5
2
3
2
cos sen 4cos sen
3
4
4
6
3
Semplifica l’espressione.
d
2sen
sen 2a cos
2
6 3
4 a 2 sen 2
4a sen cos +a sen 3sen 2
3. LA FUNZIONE TANGENTE
Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.
3
; ; 120; 315 .
a
4
2
; 0; 135; 240 .
b
3
Trova a quale condizione deve soddisfare il parametro a affinché sia verificata l’uguaglianza.
a
b
c
a 1
, x III quadrante .
9 a2
15
Sapendo che sen e che 90 180 , calcola il valore di
17
tg .
tg x
Calcola il coseno dell’angolo che la retta di equazione y
a 3 1 a 3
15
tg 8
3
x 2 forma con
4
4
5
l’asse x.
4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE
Utilizzando la circonferenza goniometrica rappresenta gli angoli che verificano la seguente
uguaglianza.
a
b
c
d
sec 3
cosec 4
Trasforma l’espressione y in funzione soltanto di sen :
tg 2 cosec2 1
y
.
sec3 cos
sen 2
Trasforma l’espressione y in funzione soltanto di cos :
tg 2
y 2 1 cosec3 sen .
sec
cos 2
cos 2 1
5. LA FUNZIONE COTANGENTE
Noti il valore di cotg e l’intervallo a cui appartiene l’angolo , determina sen , cos e tg .
cotg 2 , .
2
Verifica la seguente identità.
1 cos 1 cos cotg 1 2cos
2
b
1 cos
tg
a
2
1
1
;
;
2
5
5
6. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a
2 2
3 sen 60 4 cos 45 2 sen 90 3 cos 30 tg180 3 sec 30
b
3 sen
c
3a sec
3
3 tg
3
sen
6
sec
6
sen
3
sec 8cos
6
3
b
cotg a cos 3b sen
6 2
4
3
a 2b
y sen 0 x cosec 45 2 y cos 60 4 xy sen 45 x 2 sen 270 sec 60
2
c
y 2
7. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Completa le seguenti tabelle.
y arcsen x
a
x
sen y
b
x
cos y
6
–1
2
2
y arccos x
3
1
2
3
2
0
2
2
0
1
Determina il dominio della seguente funzione
y arcsen 4 x 3
Calcola il valore della seguente espressione.
1
cotg arcsen
a
2
b
2
tg arccos
2
1
1; 2
3
1
LE FORMULE GONIOMETRICHE
1. GLI ANGOLI ASSOCIATI
Semplifica le seguenti espressioni.
sen sen 90 cos 180 cos 180
a
b
cos cos90 sen180 sen180
c
3
tg cotg 2
sec 2 cos 4
2
3
3
cos cos cos sen
2
2
2
cos sen
cos sen
2
sen 2
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a
2 cos 300
2 1
2
3
tg 210 sen 405 cos 780
3
4
5
7
5
3
7
4sen cos 2cos 3tg sen
6
6
6
4
2
Verifica la seguente identità.
4 5
7
cos tg cotg
2
1
3 4
6 1
cotg
4
11
2
3
2
sen cos
3
6
b
2. LE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Applicando le formule di addizione o di sottrazione, calcola il valore delle seguenti funzioni
goniometriche.
a
sen105 ; cos195 ; tg 75 .
b
sen195 ; cos105 ; cotg195 .
Sapendo che cos
6 2 2 6
;
; 2 3
4
4
2 6
;
4
2 6
; 2 3
4
5
e che 270 360 , calcola il valore della seguente funzione
13
goniometrica.
a
sen 30
5 12 3
26
b
cos 60
5 12 3
26
Semplifica le seguenti espressioni.
a
1
5
11
cos sen cos sen
3 2
6
6
b
24
24
tg arctg arccos
7
25
2 3
cos
2
527
336
3. LE FORMULE DI DUPLICAZIONE
Calcola il valore della seguente espressione.
1 cos 2 1
1
2
2 cotg
tg 2cos sen 2
sen 2 2
2
15
Sapendo che cos
e che 180 270 , calcola la seguente funzione goniometrica senza
17
determinare .
240
sen 2
a
289
b
cos 2
161
289
4. LE FORMULE DI BISEZIONE
Semplifica la seguente espressione.
2
2
sen 2
1 tg
cos
2
2
2
Verifica la seguente identità.
tg cotg 2cosec
a
2
2
b
cotg
2
tg
2
2
cos 2
2 cotg
5. LE FORMULE PARAMETRICHE
Trasforma in t tg
la seguente espressione.
2
sen 3cos 3
1
sen
3
t
6. LE FORMULE DI PROSTAFERESI
Trasforma in prodotti le seguenti somme utilizzando le formule di prostaferesi.
a
sen 7 sen 3
b
sen 7 sen 3
2sen 5 cos 2
2cos5 sen 2
sen sen
2 sen
6
3
12
Determina il periodo della seguente funzione, dopo averla opportunamente trasformata con le
formule goniometriche.
sen 2 x
y
2
a
cos x sen 2 x
1 cos 2 x
y
2
b
3 sen x
Verifica le seguenti identità.
c
a
sen 1
2
cos cos 2sen 2sen cos 1 2
cos 2 180 sen 2 180
b
sen 180 cos 180
cos sen 180
c
tg
tg 2
sec2
sen 2 1 cos 2
d
1
tg 2
sec2
cotg sen 2 cos 2 1
e
f
2 1 cos 2 cotg
sen 2
cos 2
1
cosec2
3 1
sen sen
sen 2
2
3
6
4
g
2sen 2
2
sen cotg 1
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
1. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari.
5
x 6 2k ; x 6 2k , k Z
a
sen x cos x
1 2cos x
2
b
sen x cos x
1 5 2sen x
2
2
c
2
2
4sen x 4 3 sen x 1
9
9
d
impossibile
2 cos x sen x 1 cos 90 x
e
7 2sen 3x
2sen 3x 3
2
f
3 2
5
1
tg sen 2 x cotg sen 2 x
2
4
3
6
2
3
g
h
5
x 18 2k , k Z
x 45 k 360, k Z
x 10 k120; x 50 k120, k Z
tg x tg 45
4
sen 90
5
5
tg x cos 0
3
tg 45
4
4
i
tg x 2
2 tg x
2sen
2
3
2
l
2 tg3x 5 4 tg3x
sen
15
2
5
x
k ; x k , k Z
6
x k180, k Z
x k180, k Z
x 3 k , k Z
x 12 k 3 , k Z
2 cos
x 24 k 4 , k Z
m
2 tg 4 x
a
2 2cos2 x sen 2 x 0
3
x
k ; x k , k Z
4
b
cos2 x cos 2 x sen x cos x 0
3
x 4 k ; x k , k Z
c
3tg 2
d
cos 2 x 5 tg 2 x 5
e
5
2sen 2 x cos 2 x sen 0
6
3
6
6
tg 4 x
2
Risolvi le seguenti equazioni riducibili a equazioni elementari.
x
2cos x 2
2
x 3 2k ; x 2k , k Z
x 4 k 2 , k Z
x k 4 , k Z
2. LE EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche lineari.
a
sen x cos x 0
b
sen x 3 cos x 0
c
sen x 1 2 cos x 1 0
d
2 3 sen x 3 2 3 cos x
e
sen x
f
x 135 k180, k
x 120 k180, k Z
x 4 2k ; x 2 2k , k Z
3 2 0
x 6 2k ; x 2 2k , k Z
2 1 cos x 1 0
x 2 2k ; x 4 2k , k Z
2 1 sen x cos x 1 0
x
2
k
;
x
2k , k Z
4
3. LE EQUAZIONI OMOGENEE IN SENO E COSENO
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche.
a
b
x k ; x 3 k , k Z
2sen 2 x 3cos2 x 3 3 sen x cos x
3
x 6 k ; x 4 k , k Z
sen 2 x
cos x sen x 3 sen x
cos x
4. LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Risolvi in R le seguenti disequazioni goniometriche elementari.
a
b
c
5
4
3 2k x 3 2k , k Z
2sen x 3 0
2cos x 2 0
3
3
4 2k x 4 2k , k Z
2cos x 1 0
2
2
3 2k x 3 2k , k Z
3tg x 2
tg x 1
2
Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche non elementari.
d
a
2sen 2 x 3sen x 1 0
b
2sen x sen x 1 0
c
sen x 3 cos x 0
d
sen x 3 cos x 1 0
2
k x 2 k , k Z
5
6 2k x 6 2k , k Z
7
11
x 2 2k 6 2k x 6 2k , k Z
4
3 2k x 3 2k , k Z
11
2 2k x 6 2k , k Z
Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche.
a
b
1
sen x tg x 1 0
2
5
5
3
6 2k x 4 2k ; 2 2k x 6 2k ; 4 2k x 2 2k , k Z
sen x cos x
0
tg 2 x 1
3
4 2k x 2 2k ; 4 2k x 2k ;
5
3
7
2k x 2k ; 2k x 2 2k , k Z
4
2
4
c
sen x cos x
0
tg 2 x 3
2
3 2k x 2 2k ; 3 2k x 2k ;
4
3
5
2k x 2k ; 2k x 2 2k , k Z
3
2
3
| 2sen x |
1
sen 2 x sen x
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
sen 2 x cos 2 x 0
a
sen 2 x cos 2 x 0
d
b
4
5
2
k
x
2
k
;
2
k
x
2k , k Z
3
3
3
k x 8 k , k Z
4sen 2 x 1 0
cotg x 1
cotg x 2 cos 2 x 0
2
4
3
2 2k x 3 2k ; 3 2k x 2 2k , k Z
Determina il dominio della seguente funzione.
a
y
2 2sen x
sen x
tg x 1
5
3
2k 1 x 4 2k 2 2k x 2 k 1 , k Z
b
y
3 2cos x
sen x
1 3 tg x
7
3
2 2k x 2k 1 6 2k x 2 2k , k Z
LA TRIGONOMETRIA
1. I TRIANGOLI RETTANGOLI
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei due
angoli acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.
AB 4 cm; AC 7,5 cm.
a
8,5 cm; 28 4 20,95; 61 55 39
b
Nella semicirconferenza di centro O e diametro AB 2 è inscritto il trapezio isoscele
ABCD. Costruisci il triangolo equilatero CDE il cui vertice E appartiene al semipiano non
ˆ x:
contenente O. Posto BOC
a) esprimi l’area s x del quadrilatero OCED e rappresenta la funzione s x verificando
che vale s x
3
sen 2 x ;
2
3
3
s x 3 .
2
7 3 2
3
32
sen 2 x , x 0; ; max ;
;
a) s x
, min
; b) x
2
3
2
2
6
3
2
12
12
b) determina per quali valori di x risulta
2. APPLICAZIONI DEI TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
96 cm; 384 cm2
cos 0,6; AB 24 cm ; determina perimetro e area.
a
b
c
d
e
sen 0,8; AB 12 cm ; determina perimetro e area.
36 cm; 54 cm2
Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con
l’ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale
1
.
2 3
3
In un rettangolo la diagonale è di 20 cm e forma con un lato un angolo di 20°. Calcola il
perimetro del rettangolo.
51,26 cm
In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di
75°. Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4 6 2 cm
3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
Di un triangolo qualunque sono noti i seguenti elementi (espressi rispettando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
a 14; b 12; 50; determina sen .
sen 0,893
a
b
a 20; b 22; 40; determina sen .
c
a 8; c 23; 65; determina b .
d
b 12; c 16; 100; determina a .
sen 0,707
b 20,91
a 21,60
Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.
70
34,5 cm; 35,77 cm; 77
33
BC 20 cm
Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i
seguenti elementi.
a 20; b 28; 14 .
9,86; 29° 23 15;136° 36 44
a
b
b 10; c 33; 84 .
33, 46; 17°17 28; 78° 42 32
Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati a, b e c.
a 20; b 24; c 14 .
56 23 15; 87° 57 11 ;35° 39 44
Sia ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza rispetto alla base AB. Calcola le misure
degli angoli e dei lati basandoti sui seguenti dati.
33
30,71 cm; 53,31 cm; 54,7 cm; 76
a
71
BH 10 cm
b
In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che
gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del
trapezio.
96,82 cm; 427, 68 cm2
c
Sia P un punto appartenente all’arco AB, congruente a un quarto della circonferenza di
centro O e raggio OA.
ˆ x , costruisci la funzione f x AP PB nel dominio imposto dal
a) Posto AOP
OA
problema e verifica che può essere espressa in forma irrazionale e in forma razionale.
b) Scelta la forma razionale disegna il grafico relativo a un periodo e determina per quale
valore di x la f è massima.
5
c) Discuti le intersezioni della retta y k al variare di k in R, per x 0; .
4
x
a) f x 2 2 cos x 2 2 cos x 2 2 2 cos , x 0; ;
2
2 8
2
b) periodo: 4 , ; c) 1 sol. per 0 k 2 k 2 2 2 , 2 sol. per 2 k 2 2 2
4
d
È dato il triangolo ABC di cui sono noti il lato AC l e l’angolo BÂC
.
3
ˆ x in modo che l’area del triangolo sia k volte quella del
a) Determina l’angolo ABC
triangolo equilatero di lato l. Discussione.
b) Costruito il prisma triangolare retto di base ABC e altezza h AC sen x , trova l’area
laterale in funzione di x; traccia il grafico della funzione in relazione ai limiti del
problema e determina per quale valore di x l’area risulta massima.
3
2
2
2 sen x 1, max per x
a) x 0; , 1 sol. per k 0; b) f x l
2
6
3
3
LE APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
a
Determina la tangente dell’angolo formato dalla retta r di equazione y 3x 4 e dalla
retta per l’origine, s, che forma con l’asse delle x positive un angolo di
b
c
7
.
12
2 3
Un osservatore vede la cima di un palo verticale sotto un angolo di 30°; avvicinandosi di
10 m al piede del palo l’angolo diventa di 60°. Calcola l’altezza del palo.
5 3 m
Calcola l’altezza di un campanile la cui ombra sul terreno è 20 m più lunga quando
l’inclinazione dei raggi solari è di 30° invece che di 45°.
10 3 1 m
d
Sia P un punto della semicirconferenza di diametro AB 2r e P' la sua proiezione su AB;
ˆ x , determina, in funzione di x:
condotta la corda AP e posto BAP
a) il volume V del cono generato in una rotazione completa attorno ad AB dal triangolo
APP′;
b) l’area S della calotta sferica generata, nella medesima rotazione, dall’arco AP;
V
c) il rapporto f x .
S
d) Rappresenta la funzione f in un riferimento cartesiano, evidenzia la parte relativa al
problema e trova per quale valore di x assume il valore massimo.
r
e) Verifica che vale f x 1 cos 4 x e, utilizzando il grafico relativo al problema,
12
2 3
2 2
V
determina per quali valori di x il rapporto
è compreso fra
r e
r,
24
24
S
estremi inclusi.
8 r 3
r
a)
V
cos 4 x sen 2 x; b) S 4 r 2 cos 2 x; c) f x 1 cos 4 x ;
3
12
d)
4
; e)
24
x
16
7
11
x
16
24
I NUMERI COMPLESSI.
1. I NUMERI COMPLESSI
Determina per quali valori di k il seguente numero complesso è complesso reale e per quali valori di
k è complesso immaginario.
k 2 ki 5i k R
k 5; k 2
Calcola il modulo, il complesso coniugato e l’opposto di ciascuno dei seguenti numeri complessi.
1 4
8 ; 3i ; 7 i ; i .
a
3 9
1 2
5 ; 2i ; 5 4i ; i .
b
2 3
2. IL CALCOLO CON I NUMERI IMMAGINARI
Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti numeri immaginari.
1
2i 3i 4i :
a
i
b
3i
9
2i
4i17 5i13 i i
8
3. IL CALCOLO CON I NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA
Esegui le seguenti operazioni fra numeri complessi.
a
1 1
3i
.
2 i 3 2i ; 2 i i ; 3 2i 2 2i ;
1 i
2 2
3 3
1 3i; 2 2 i; 10 2i; 1 2i
b
2 1
i 2i ;
5 5
2 i 3 2i ;
3i
;
2i
5 2i
2
.
3
5 i; 8 i; 1 i; 21 20i
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1 i 1 i 1 2i
a
1 i 1 i
i
b
i
i 1 2i
i i 1 i i 1 i : 2i
c
2 i i
2
2 i 4 2i 2
4. VETTORI E NUMERI COMPLESSI
Disegna per ogni vettore il vettore opposto.
Disegna nel piano cartesiano i vettori aventi per componenti le seguenti coppie di numeri.
2;3 ; (5; 4) ; 7; 8 ; 0;10 .
a
3; 4 ;
(6; 7) ;
i
3
5 1 2i
2
b
2 i
4; 2 ; 12;0 .
Rappresenta nel piano di Gauss i seguenti numeri e successivamente determina il loro modulo.
a
4 2i ; 2 4i ; 7i ; 3; 3 3i .
2 2i ; 3 5i ; 4; 2i ; 5 i .
b
5. LE COORDINATE POLARI
Trasforma in coordinate cartesiane le coordinate polari dei seguenti punti.
3
3
A 8;0 ; B 2; ; C 3; ; D 5; .
a
4
6
2
2
7
A 2; ; B 8; ; C 4; ; D 3; .
4
2
3
6
Trasforma in coordinate polari le coordinate cartesiane dei seguenti punti.
b
3
7
A 3; 2 ; B 4; ; C 2 2; 4 ; D 6; 6
A 0;3 ; B 4;0 ; C 2; 2 ;
D 3 3; 3 .
Determina modulo e argomento dei seguenti numeri complessi.
3
1 3i ;
2
2
3i ; 2 i 2 ;
3
7
3, 2 ; 2, 4 ; 3, 3 ; , 6
3 i .
6. LA FORMA TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO
Scrivi i seguenti numeri complessi in forma trigonometrica.
a
3cos 3 3sen 3 i; 2 cos 4 2 sen 4 i
3 3 3
i ; 1 i .
2
2
b
3 i ; 1 i .
c
2 3 2i ; 6 .
7
7
2cos 6 2sen 6 i; 2 cos 4 2 sen 4 i
8. OPERAZIONI FRA NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA
Dati i valori seguenti di z1 e z2, calcola il valore delle espressioni indicate a fianco e scrivi il
risultato in forma algebrica.
a
z1 cos
b
z1 cos
4
i sen
12
3 1
i
2
, z2 2 cos i sen , z13 z2 .
3
3
4
i sen
1 3
1 i
2
5
5
1
, z2 cos i sen , z14 .
12
6
6
z2
Calcola il valore della seguente espressione ed esprimi il risultato in forma algebrica.
4
a
8
7
7
2 cos 12 i sen 12 cos 8 i sen 8
8
cos i sen
16
16
b
8
7
7
5
5
2 cos 12 i sen 12 cos 24 i sen 24
4
cos i sen
12
12
4
2
3 1
3 1
i
2
2
2
3 1
3 1
i
2
2
9. LE RADICI n-ESIME DI UN NUMERO COMPLESSO
Dato il numero complesso seguente calcolane le radici quadrate.
3
3
2 2 2 2 i, 2 2 2 2 i
4 cos i sen
a
4
4
5
5
8 cos i sen
4
4
Risolvi le seguenti equazioni in C
b
a
x2 6 x 13 0
b
x2 6 x 25 0
c
x4 9 0
4 2 2 4 2 2 i, 4 2 2 4 2 2 i
3 2i
3 4i
3, 3i
2, 2i
Scrivi le equazioni di secondo grado le cui radici sono date dalla seguente coppia di numeri
complessi.
x 2 4 3i x 7 49i 0
z1 3 4i , z2 7 7i .
a
d
x4 4 0
b
z1 4 8i , z2 6 i .
x 2 10 9i x 16 52i 0
10. LA FORMA ESPONENZIALE DI UN NUMERO COMPLESSO
Scrivi in forma algebrica i seguenti numeri complessi.
5
i
2
i
6e 3 ; 2e 3 .
Scrivi in forma esponenziale i seguenti numeri complessi.
a
3 3
3i; 1 3i
5
i
i 74
3
6
e
;
4
e
3 2 1 i ; 2 2i 3 .
7
i
i 34
6
4 2 i 1 ; 3 3i .
b
8e ; 2 3e
Dati i seguenti numeri complessi scritti in forma esponenziale, esegui l’operazione indicata e scrivi
il risultato in forma trigonometrica.
a
i
i
6 cos 2 i sen 2
z1 3e 6 ; z2 2e 3 ; z1 z2 .
2 cos 6 i sen 6
Calcola il valore delle seguenti espressioni ed esprimi il risultato in forma algebrica.
b
a
i
i
z1 4e ; z2 2e 6 ;
3
cos i sen
9
9
z1
.
z2
2 cos i sen
36
36
2
cos i sen
12
12
3
6
4 4 3i
2
b
2
i
i
i
3
3
4
2e e e
e
5
i
6
e
4
i
3
1 i
IL CALCOLO COMBINATORIO
1. I RAGGRUPPAMENTI
Durante una gara sportiva interscolastica una scuola viene rappresentata da quattro alunni
specializzati in quattro diverse discipline. Tenendo conto che la scuola possiede
rispettivamente 8, 10, 11 e 4 studenti accreditati per ogni disciplina sportiva, calcola
quante sono le quaterne di atleti che possono rappresentare la scuola.
[3520]
2. LE DISPOSIZIONI SEMPLICI
a
Quanti numeri di quattro cifre tutte diverse si possono costruire con gli elementi
dell’insieme
A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}? Quanti sono i numeri che iniziano con la cifra 5?
[360; 60]
b
Quanti numeri di cinque cifre tra loro diverse si possono costruire con gli elementi
dell’insieme
A = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 9}? Quanti sono i numeri che terminano con la cifra 1?
[2520; 360]
Risolvi la seguente equazione.
Dx 1,3 Dx, 2 4
[ x 2]
a
b
Dx 1, 4 Dx 1, 4 0
[ soluzione]
3. LE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
a
Quanti numeri diversi di quattro cifre si possono formare con le nove cifre significative
del sistema numerico decimale {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? Quanti sono i numeri a quattro
cifre che iniziano con la sequenza 65?
[6561; 81]
b
Calcola quanti diversi codici a sei cifre si possono realizzare con le cifre decimali da 0 a 9
e quanti tra essi terminano con la cifra 1.
[1000000; 100000]
Risolvi la seguente equazione.
3Dx, 4 3Dx , 4 0
[ soluzione]
a
b
Dx ,6 Dx, 2 Dx , 4
[ soluzione]
4. LE PERMUTAZIONI SEMPLICI
a
Calcola in quanti modi si possono disporre in fila dieci scatole diverse e, nel caso le
scatole siano sette di colore rosso e tre di colore verde, in quanti modi si trovano sistemate
prima tutte le scatole rosse e poi quelle verdi.
[3628800; 30240]
b
Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con la parola FIORE.
Quanti sono quelli dove tutte le consonanti si trovano tra loro vicine e a sinistra delle
vocali?
[120; 12]
Risolvi la seguente equazione.
6Px 1 Px 1
[x = 2]
a
b
2Px 1 5! Px 2
[x = 4]
5. LE PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
a
Data una serie di nove scatole di uguale forma di cui tre rosse, due verdi, quattro bianche,
calcola:
a) in quanti modi si possono collocare in fila le scatole;
b) quante sono le file in cui le scatole rosse occupano gli ultimi tre posti;
c) in quante file le scatole di uguale colore sono vicine tra loro.
[1260; 15; 6]
b
Data la parola BORBOTTÌO calcola:
a) quanti anagrammi, anche senza significato, si possono formare;
b) quanti sono gli anagrammi che iniziano con la sequenza BB;
c) quanti sono gli anagrammi dove le lettere uguali sono tra loro vicine.
[15120; 420; 36]
6. LA FUNZIONE n!
Stabilisci se ognuna delle seguenti uguaglianze è vera o falsa.
6!
5!
a
6
8!
4!
b
2!
c
7!5! 2!
6!5! 5·5!
Risolvi la seguente equazione.
( x 1)! 13x!
a
d
b
5( x 1)! ( x 2)!
VF
VF
VF
VF
[ x 12]
[ x 3]
7. LE COMBINAZIONI SEMPLICI
a
In un corpo di ballo vi sono cinquanta ballerine: scelta la prima ballerina, calcola in quanti
modi diversi può essere selezionato un gruppo di cinque ballerine comprimarie.
[1906884]
b
In una festa di fine anno a cui partecipano trenta invitati, calcola quanti brindisi vengono
scambiati se ogni persona brinda con tutte le altre.
[435]
Risolvi la seguente equazione.
6Cx 1, 2 3Cx 2,3 x 2 2 x
[ x 9]
a
b
6Cx 3, 2 6Cx 4,3 2 x 2 8x
[ x 13]
8. LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE
a
Considerati quattro mazzi uguali di quaranta carte ciascuno, calcola in quanti modi diversi
b
si possono estrarre quattro carte (una per ogni mazzo).
[123410]
Calcola quante somme con tre addendi si possono compiere con i numeri decimali da 1 a
9 anche ripetuti.
[165]
9. I COEFFICIENTI BINOMIALI
Calcola lo sviluppo del seguente binomio.
(x3 2 y 2 )5
a
[ x15 10 x12 y 2 40 x 9 y 4 80 x 6 y 6 80 x 3 y 8 32 y10 ]
[64 x 24 576 x 20 y 2 2160 x16 y 4 4320 x12 y 6 4860 x 8 y 8 2916 x 4 y 10 729 y 12 ]
(2 x 4 3 y 2 ) 6
Calcola il quinto termine dello sviluppo del seguente binomio.
b
a
2
1
x 3
2y
35 x 6
12
16 y
7
5
1
3x 3 2
b
6y
Risolvi la seguente equazione.
x 1 x 1
a
4 5
b
x 3 x 2
8 7
Torino, 01/06/2016
5x 3
8
432 y
[x = 8]
[x = 5]
L’Insegnante
