Matematica

a. s. 2015-2016
CLASSE 4 As
Insegnante: Torchia Franca
Disciplina: Matematica
PROGRAMMA SVOLTO
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
- La misura degli angoli
- Le funzioni seno e coseno
- Le funzioni tangente e cotangente
- Le funzioni secante e cosecante
- Le funzioni goniometriche di angoli particolari
- Le funzioni goniometriche inverse
- Le funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche
LE FORMULE GONIOMETRICHE
- Gli angoli associati
- Le formule di addizione e sottrazione
- Le formule di duplicazione
- Le formule di bisezione
- Le formule parametriche
- Le formule di prostaferesi
LE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
- Le equazioni goniometriche elementari
- Le equazioni lineari in seno e coseno
- Le equazioni omogenee in seno e coseno
- Le disequazioni goniometriche
LA TRIGONOMETRIA
- I teoremi di risoluzione dei triangoli rettangoli
- Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli
o L’area di un triangolo
o Il teorema della corda
- I teoremi di risoluzione dei triangoli qualunque
o Il teorema dei seni
o Il teorema di Carnot
FUNZIONI ESPONENZIALI
- La funzione esponenziale e sue caratteristiche
- Equazioni esponenziali
- Disequazioni esponenziali
LOGARITMI
- Definizione di logaritmo
- Logaritmi decimali e naturali
- Proprietà dei logaritmi
- Cambiamento di base
- La funzione logaritmica
- Equazioni e disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi
- Equazioni logaritmiche
- Disequazioni logaritmiche
IL CALCOLO COMBINATORIO
- I raggruppamenti
- Le disposizioni semplici
- Le disposizioni con ripetizione
- Le permutazioni semplici
- Le permutazioni con ripetizione
- La funzione n!
- Le combinazioni semplici
- Le combinazioni con ripetizione
- Le potenze di un binomio – formula del binomio di Newton
I NUMERI COMPLESSI
- I numeri complessi
- I numeri immaginari
- Il calcolo con i numeri complessi in forma algebrica
- Vettori e numeri complessi
- Le coordinate polari
- La forma trigonometrica di un numero complesso
- Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica
- Le radici n-esime di un numero complesso
- La forma esponenziale di un numero complesso
LA GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
- Le coordinate cartesiane nello spazio
o Lunghezza di un segmento
o Punto medio di un segmento
- Il piano
INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO
Gli esercizi dovranno essere svolti da tutti gli studenti, sia quelli promossi a giugno che quelli
con giudizio sospeso.
L’ultimo argomento riportato nel programma svolto verrà ripreso e completato nel prossimo
anno scolastico e non sarà oggetto di domande per gli studenti con giudizio sospeso
ESPONENZIALI E LOGARITMI
1. LE POTENZE CON ESPONENTE REALE
Semplifica le seguenti espressioni, applicando le proprietà delle potenze.
5
2
 54 x  : 5x ;
4x  42 x 2 :16 x ;
a  a x2 ;
a  5 a2x
a3
.
x 5
 3 x  2 2 x 4 2 x25 410

5
;
2
;
a
;
a




2. LA FUNZIONE ESPONENZIALE
Disegna il grafico delle seguenti funzioni.
y  2 x  1.
y  2 x 1;
Disegna il grafico della funzione y  f  x  indicata. Traccia poi i grafici delle funzioni indicate a
lato, dopo averne scritto l’espressione analitica.
y  f  x   3x ;
y  f  x  , y   f  x  , y  f  x  , y   f  x  2 .
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
2
y   x 1
a
3
b
y2
x  R 
3

 x   2 
2 x 3
3. LE EQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi le seguenti equazioni esponenziali.
a
2x1  2x  2x2  5
b
3x  33 x  12
c
6 x  6 x 3  6
6
8

2 x 1
x
 x  2
 x  1  x  2
3


 x   2  x  5
1
4. LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi la seguente disequazione esponenziale.
x 1
x
1
1 1
7       
3
 3  3
Risolvi il seguente sistema.
 x  2 x 1 1
2  3 
18

4 x  2 x  20

x 1
 x  1
9
 x  2
5. LA DEFINIZIONE DI LOGARITMO
Calcola i seguenti logaritmi applicando la definizione.
27
1
log 2
;
log 0,01100;
log 2 ;
16
3 8
log 3 9.
 4;  3;  1; 4
Calcola il valore della base a usando la definizione di logaritmo.
log a 25  2;
log a 7  1;
log a 3  4;
log a
1
1
 .
5
2
 1 1

5; 7 ; 4 ; 25
3


6. LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
Sviluppa le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi.
2
 1 3 
log 2 
 ;
4


log  3a 2b2  ;
log

a3
.
ab

5
1


 2log 2 1  3  4; log 3  2log a  2log b; 2 log a  2 log b 
Applica le proprietà dei logaritmi per scrivere la seguente espressione sotto forma di un unico
logaritmo.
1
log x  log  x  2    3log  x 2  1
2


2
log x  2 x 
3

 x2  1 

Scrivi i seguenti logaritmi usando il logaritmo in base 10 e calcolane il valore approssimato con
quattro cifre decimali.
log 0,18;
log32 541.
log5 62;
7. LA FUNZIONE LOGARITMICA
Rappresenta le seguenti funzioni in uno stesso piano cartesiano.
y  log 2 x;
y  log 2 x  1.
y  log 2  x  1 ;
Disegna il grafico della funzione y  f  x  indicata. Traccia poi i grafici delle funzioni indicate a
lato, dopo averne scritto l’espressione analitica.
y  f   x  , y   f  x  , y  f  x  , y  3  f  x  1 .
y  f  x   log 2 x;
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
log  x  2 
y
a
log  x  3
b
y  ln
c
y  log

2x
x 1
 x  3  x  4
 x  1

x  1  log  4  x   3
1  x  4
8. LE EQUAZIONI LOGARITMICHE
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche.
log 2  x  1  log 2  x  2   2  log 2 3
a
b
log2  log  x2  4 x  2   2log  x  2 
c
ln  9  x 2   ln  x  3  3ln 3
d
log3  x  5  log9  x  3  log9  3x  1
 x  2
 x  4

3  3 5 
x  0  x 

2


 x  11


9. LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche.
 x3
log 2 
a
 1
 x4
 4  x  11
log 1 x  log 1  x  2   log 1 12  x 
 4  x  12
b
2
c
2
2
log  x  3  log  x  5  log3  log  2 x  5
 2  x  0
10. I LOGARITMI E LE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni.

log5  log2 
x 
log5 

a
2  5x  3  5x1  5x1  16
b
2x3  2x2  20  2x  168

log7 
 x  log2 


c
2  3x1  3  2x1  2x3  3x

log2 
 x  log3  log2 


Determina il dominio delle seguenti funzioni.
a
y
log  x 2  3x   1
log 11  2 x   log x
11
11

0  x  2  x  3 
b
y  52 x  3  5x  2
c
y

log2 
 x  0  x  log5 



log4 
 x  0  x  log5 


3x
25  5
x
x 1
4
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
1. LA MISURA DEGLI ANGOLI
Esprimi in forma sessadecimale le seguenti misure di angoli.
23 34 29 ; 8 56 6 ; 57 1 59 .
 23,57; 8,97; 57,033
Esprimi in gradi, primi e secondi le seguenti misure di angoli, espresse in forma sessadecimale
(arrotondando eventualmente i secondi).
45,68 ; 129, 41 ; 76,123 .
45 40 48; 129 24 36; 76 7 22
Completa la seguente tabella scrivendo la misura mancante, in gradi o in radianti.
Gradi
Radianti
45°
0
120°

2
270°
5

6
3

2
2. LE FUNZIONI SENO E COSENO
Utilizzando i dati della figura, deduci ciò che è indicato a fianco.
3 
Sapendo che sen   e     , calcola cos  .
a
5 2
b
Sapendo che cos  
3 3
e     2 , calcola sen  .
4 2
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
3cos90  2sen 0  2sen 30  4cos60  cos30  3sen 60  cos0
a
b
c
3cos90  2cos0  4cos30  4sen 60  cos60  5sen 30  2sen 0
cos
 




  cos  sen   4cos sen
3 
4
4
6
3
 4
  5 
 7


 4 
2 3 


 5
 2

 3

 2





  cos  sen   4cos sen
3 
4
4
6
3
Semplifica l’espressione.
d
2sen
 
 sen   2a cos  
2
 6  3


 4  a 2  sen 2  


 4a sen   cos  +a sen    3sen 2 
3. LA FUNZIONE TANGENTE
Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.
3
 ;  ; 120; 315 .
a
4
2
 ; 0; 135; 240 .
b
3
Trova a quale condizione deve soddisfare il parametro a affinché sia verificata l’uguaglianza.
a
b
c
a 1
, x  III quadrante .
9  a2
15
Sapendo che sen   e che 90    180 , calcola il valore di
17
tg  .
tg x 
Calcola il coseno dell’angolo che la retta di equazione y 
 a  3   1  a  3
15 

 tg    8 
3
x  2 forma con
4
4
 5 
l’asse x.
4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE
Utilizzando la circonferenza goniometrica rappresenta gli angoli che verificano la seguente
uguaglianza.
a
b
c
d
sec   3
cosec   4
Trasforma l’espressione y in funzione soltanto di sen  :
tg 2   cosec2   1
y
.
sec3   cos 
sen 2  
Trasforma l’espressione y in funzione soltanto di cos  :
 tg 2 

y   2  1  cosec3   sen  .
 sec  
 cos 2  
 cos 2   1 


5. LA FUNZIONE COTANGENTE
Noti il valore di cotg  e l’intervallo a cui appartiene l’angolo , determina sen  , cos e tg  .


cotg   2 ,       .
2

Verifica la seguente identità.
1  cos  1  cos    cotg   1  2cos 
2
b
1  cos   
tg 
a
2
1
 1
;  
 ; 
2
5
 5
6. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a
2 2 


3 sen 60  4 cos 45  2 sen 90  3 cos 30  tg180  3 sec 30

b
3 sen
c
3a sec
3
 3 tg

3
 sen

6
 sec

6
sen

3
 sec   8cos

 6
3

b


 cotg  a cos   3b sen
6 2
4
3
 a  2b
y sen 0   x cosec 45  2 y cos 60  4 xy sen 45  x 2 sen 270 sec 60
2
c
 y 2 
7. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Completa le seguenti tabelle.
y  arcsen x
a
x
sen y
b
x
cos y

6
–1
2
2
y  arccos x


3
1
2


3
2
0
2
2
0
1
Determina il dominio della seguente funzione
y  arcsen  4 x  3
Calcola il valore della seguente espressione.
1

cotg  arcsen 
a
2

b

2
tg  arccos

2 


1 
  1;  2  


 3
 
1
LE FORMULE GONIOMETRICHE
1. GLI ANGOLI ASSOCIATI
Semplifica le seguenti espressioni.
sen     sen  90     cos 180     cos 180   
a
b
cos    cos90     sen180     sen180   
c
3 

tg       cotg  2   
sec   2   cos  4   
2 
 

3


3

cos       cos     cos      sen     
2
2
2






cos   sen  
cos   sen  
 2 
 sen 2  
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a
2 cos 300 
 2  1


2 

3
tg 210  sen 405  cos 780
3
 4
5
7
5
3
7
4sen   cos   2cos   3tg   sen 
6
6
6
4
2
Verifica la seguente identità.
4  5
7 
cos   tg   cotg  
2
1
3  4
6  1
 cotg  
4
11
2
3
2
 sen   cos 
3
6
b
2. LE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Applicando le formule di addizione o di sottrazione, calcola il valore delle seguenti funzioni
goniometriche.
a
sen105 ; cos195 ; tg 75 .
b
sen195 ; cos105 ; cotg195 .
Sapendo che cos  
 6 2  2 6

;
; 2  3

4
4


 2 6
;

4


2 6
; 2  3
4

5
e che 270    360 , calcola il valore della seguente funzione
13
goniometrica.
a
sen   30
 5  12 3 


 26 
b
cos   60
 5  12 3 


 26 
Semplifica le seguenti espressioni.
a
 1
5 
11 



cos      sen   cos       sen     
3 2
6 
6 



b

 24 
 24  
tg  arctg     arccos    
 7 
 25  

2  3

cos  

 2

 527 
  336 
3. LE FORMULE DI DUPLICAZIONE
Calcola il valore della seguente espressione.
1  cos 2  1

1

2
 2 cotg  
 tg   2cos    sen 2

sen 2  2

2

15
Sapendo che cos   
e che 180    270 , calcola la seguente funzione goniometrica senza
17
determinare .
 240 
sen 2
a
 289 
b
cos 2
 161 
 289 
4. LE FORMULE DI BISEZIONE
Semplifica la seguente espressione.


2  
2 
 sen 2
1  tg
  cos
2
2
2

Verifica la seguente identità.


tg  cotg  2cosec 
a
2
2
b
cotg

2
 tg

2
 2
cos 2 
 2 cotg 
5. LE FORMULE PARAMETRICHE
Trasforma in t  tg

la seguente espressione.
2
sen   3cos   3
1
sen 
3
 t 
6. LE FORMULE DI PROSTAFERESI
Trasforma in prodotti le seguenti somme utilizzando le formule di prostaferesi.
a
sen 7  sen 3
b
sen 7  sen 3
 2sen 5 cos 2 
 2cos5 sen 2 







sen      sen    
2 sen     

6
3


 12


Determina il periodo della seguente funzione, dopo averla opportunamente trasformata con le
formule goniometriche.
sen 2 x
y
 2 
a
cos x  sen 2 x
1  cos 2 x
y
 2 
b
3  sen x
Verifica le seguenti identità.
c
a
sen   1
2
 cos   cos   2sen    2sen   cos   1  2
cos 2 180     sen 2 180   
b
sen 180     cos 180   
 cos      sen 180   
c
tg 
tg 2 

 sec2 
sen 2 1  cos 2
d
1
tg 2 

 sec2 
cotg  sen 2 cos 2  1
e
f


2 1  cos 2   cotg 
sen 2
 cos 2  
1
cosec2 
3 1




sen      sen     
 sen 2
2
3

6
 4
g
2sen 2

2
 sen   cotg   1
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
1. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari.

5


 x  6  2k ; x  6   2k , k  Z 
a
sen x  cos x 
1  2cos x
2
b
sen x  cos x 
1 5  2sen x

2
2
c
 
2 
2  

4sen  x     4  3 sen  x     1
9 
9  

 
d
impossibile
2 cos x  sen x  1  cos  90  x 
e
7  2sen 3x
 2sen 3x  3
2
f
3 2

5
1



tg  sen  2 x    cotg   sen  2 x  
2
4
3
6
2
3


g
h
5


 x  18   2k , k  Z 
 x  45  k 360, k  Z
 x  10  k120; x  50  k120, k  Z
tg x  tg 45
4
 sen 90 
5
5
tg x  cos 0
3
 tg 45 
4
4
i
tg x  2
 2  tg x
 2sen 
2
3
2
l
2 tg3x  5  4  tg3x
sen
15

2
5


x

  k ; x    k , k  Z 

6

 x  k180, k  Z
 x  k180, k  Z



 x  3  k , k  Z 




 x   12  k 3 , k  Z 
 2 cos





 x  24  k 4 , k  Z 
m
2 tg 4 x 
a
2  2cos2 x  sen 2 x  0
3


x

  k ; x  k , k  Z 

4

b
cos2 x  cos 2 x  sen x cos x  0
3


 x  4   k ; x  k , k  Z 
c
3tg 2
d
cos 2 x  5 tg 2 x  5
e
5 




2sen   2 x  cos  2 x     sen  0
6 
3
6


6


tg   4 x 
2

Risolvi le seguenti equazioni riducibili a equazioni elementari.
x
 2cos x  2
2



 x   3  2k ; x  2k , k  Z 




 x  4  k 2 , k  Z 



 x  k 4 , k  Z 
2. LE EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche lineari.
a
sen x  cos x  0
b
sen x  3 cos x  0
c
sen x  1  2 cos x  1  0
d
 2  3  sen x  3  2 3  cos x 
e
sen x 

f



 x  135  k180, k  
 x  120  k180, k  Z




 x   4  2k ; x   2  2k , k  Z 

3 2  0




 x   6  2k ; x  2  2k , k  Z 
2  1 cos x  1  0





 x   2  2k ; x  4  2k , k  Z 
2  1 sen x  cos x  1  0



x




2
k

;
x

 2k , k  Z 

4

3. LE EQUAZIONI OMOGENEE IN SENO E COSENO
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche.
a
b



 x  k ; x   3  k , k  Z 
2sen 2 x  3cos2 x  3  3 sen x cos x
3




 x  6  k ; x  4  k , k  Z 
sen 2 x
 cos x  sen x  3 sen x
cos x
4. LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Risolvi in R le seguenti disequazioni goniometriche elementari.
a
b
c
5
4

 3   2k  x  3   2k , k  Z 
2sen x  3  0
2cos x  2  0
3
 3

  4   2k  x  4   2k , k  Z 
2cos x  1  0
2
 2

  3   2k  x  3   2k , k  Z 
3tg x  2
 tg x  1
2
Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche non elementari.
d
a
2sen 2 x  3sen x  1  0
b
2sen x  sen x  1  0
c
sen x  3 cos x  0
d
sen x  3 cos x  1  0
2



 k  x  2  k , k  Z 
5


 6  2k  x  6   2k , k  Z 

7
11


 x  2  2k  6   2k  x  6   2k , k  Z 
4


 3  2k  x  3   2k , k  Z 
11


 2  2k  x  6   2k , k  Z 
Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche.
a
b
1

 sen x    tg x  1  0
2



5
5
3


 6  2k  x  4  2k ; 2  2k  x  6   2k ; 4   2k  x  2   2k , k  Z 
sen x  cos x
0
tg 2 x  1

3

 4  2k  x  2  2k ; 4   2k  x    2k ;
5
3
7

  2k  x    2k ;   2k  x  2  2k , k  Z 
4
2
4

c
sen x  cos x
0
tg 2 x  3

2

 3  2k  x  2  2k ; 3   2k  x    2k ;
4
3
5

  2k  x    2k ;   2k  x  2  2k , k  Z 
3
2
3

| 2sen x |
1
sen 2 x  sen x
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
sen 2 x  cos 2 x  0
a

sen 2 x  cos 2 x  0
d
b

4
5


2
k


x


2
k

;


2
k


x

  2k , k  Z 

3
3
3




 k  x  8  k , k  Z 
4sen 2 x  1  0

cotg x  1
cotg x  2 cos 2 x  0

2
4
3


 2  2k  x  3   2k ; 3   2k  x  2   2k , k  Z 
Determina il dominio della seguente funzione.
a
y
2  2sen x 
sen x
tg x  1
5
3


 2k  1   x  4   2k  2   2k  x  2  k  1  , k  Z 
b
y
3  2cos x 
sen x
1  3 tg x
7
3


 2  2k  x   2k  1   6   2k  x  2   2k , k  Z 
LA TRIGONOMETRIA
1. I TRIANGOLI RETTANGOLI
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei due
angoli acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.
AB  4 cm; AC  7,5 cm.
a
8,5 cm; 28 4 20,95; 61 55 39
b
Nella semicirconferenza di centro O e diametro AB  2 è inscritto il trapezio isoscele
ABCD. Costruisci il triangolo equilatero CDE il cui vertice E appartiene al semipiano non
ˆ  x:
contenente O. Posto BOC
a) esprimi l’area s  x  del quadrilatero OCED e rappresenta la funzione s  x  verificando
che vale s  x  
3


 sen  2 x   ;
2
3

3
 s  x  3 .
2


 7 3  2 
3

32



 
 sen  2 x   , x  0;  ; max  ;
;
a) s  x  
 , min 
 ; b)  x  
2
3
2 
2 
6
3 

 2

 12
 12
b) determina per quali valori di x risulta
2. APPLICAZIONI DEI TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
96 cm; 384 cm2 
cos   0,6; AB  24 cm ; determina perimetro e area.
a
b
c
d
e
sen   0,8; AB  12 cm ; determina perimetro e area.
36 cm; 54 cm2 
Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con
l’ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale
1
.
2 3
 
 3 
In un rettangolo la diagonale è di 20 cm e forma con un lato un angolo di 20°. Calcola il
perimetro del rettangolo.
51,26 cm
In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di
75°. Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4 6  2 cm

 
3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
Di un triangolo qualunque sono noti i seguenti elementi (espressi rispettando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
a  14; b  12;   50; determina sen  .
sen   0,893
a
b
a  20; b  22;   40; determina sen  .
c
a  8; c  23;   65; determina b .
d
b  12; c  16;   100; determina a .
sen   0,707
b  20,91
 a  21,60
Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.
  70

34,5 cm; 35,77 cm; 77
  33
BC  20 cm

Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i
seguenti elementi.
a  20; b  28;   14 .
9,86; 29° 23 15;136° 36 44
a

b
b  10; c  33;   84 .
33, 46; 17°17 28; 78° 42 32
Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati a, b e c.
a  20; b  24; c  14 .
56 23 15; 87° 57 11 ;35° 39 44
Sia ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza rispetto alla base AB. Calcola le misure
degli angoli e dei lati basandoti sui seguenti dati.
  33

30,71 cm; 53,31 cm; 54,7 cm; 76
a
   71
 BH  10 cm

b
In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che
gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del
trapezio.
96,82 cm; 427, 68 cm2 
c
Sia P un punto appartenente all’arco AB, congruente a un quarto della circonferenza di
centro O e raggio OA.
ˆ  x , costruisci la funzione f  x   AP  PB nel dominio imposto dal
a) Posto AOP
OA
problema e verifica che può essere espressa in forma irrazionale e in forma razionale.
b) Scelta la forma razionale disegna il grafico relativo a un periodo e determina per quale
valore di x la f è massima.
 5 
c) Discuti le intersezioni della retta y  k al variare di k in R, per x  0;  .
 4 



x 
 
a) f  x   2  2 cos x  2  2 cos   x   2 2  2 cos    , x  0;  ;
2

2 8
 2



b) periodo: 4 , ; c) 1 sol. per 0  k  2  k  2 2  2 , 2 sol. per 2  k  2 2  2 
4

d
È dato il triangolo ABC di cui sono noti il lato AC  l e l’angolo BÂC 

.
3
ˆ  x in modo che l’area del triangolo sia k volte quella del
a) Determina l’angolo ABC
triangolo equilatero di lato l. Discussione.
b) Costruito il prisma triangolare retto di base ABC e altezza h  AC sen x , trova l’area
laterale in funzione di x; traccia il grafico della funzione in relazione ai limiti del
problema e determina per quale valore di x l’area risulta massima.

3
 

 2 

2
2 sen x    1, max per x  
a) x  0; , 1 sol. per k  0; b) f x   l

2 
6 
3
 3 


LE APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
a
Determina la tangente dell’angolo formato dalla retta r di equazione y   3x  4 e dalla
retta per l’origine, s, che forma con l’asse delle x positive un angolo di
b
c
7
.
12
2  3 


Un osservatore vede la cima di un palo verticale sotto un angolo di 30°; avvicinandosi di
10 m al piede del palo l’angolo diventa di 60°. Calcola l’altezza del palo.
5 3 m 


Calcola l’altezza di un campanile la cui ombra sul terreno è 20 m più lunga quando
l’inclinazione dei raggi solari è di 30° invece che di 45°.
10 3  1 m 



d

Sia P un punto della semicirconferenza di diametro AB  2r e P' la sua proiezione su AB;
ˆ  x , determina, in funzione di x:
condotta la corda AP e posto BAP
a) il volume V del cono generato in una rotazione completa attorno ad AB dal triangolo
APP′;
b) l’area S della calotta sferica generata, nella medesima rotazione, dall’arco AP;
V
c) il rapporto f  x   .
S
d) Rappresenta la funzione f in un riferimento cartesiano, evidenzia la parte relativa al
problema e trova per quale valore di x assume il valore massimo.
r
e) Verifica che vale f  x   1  cos 4 x  e, utilizzando il grafico relativo al problema,
12
2 3
2 2
V
determina per quali valori di x il rapporto
è compreso fra
r e
r,
24
24
S
estremi inclusi.

8 r 3
r
a)
V

cos 4 x sen 2 x; b) S  4 r 2 cos 2 x; c) f  x   1  cos 4 x  ;

3
12

d)

4
; e)

24
x

16

7
11 
x
16
24 
I NUMERI COMPLESSI.
1. I NUMERI COMPLESSI
Determina per quali valori di k il seguente numero complesso è complesso reale e per quali valori di
k è complesso immaginario.
k  2  ki  5i  k  R 
 k  5; k  2
Calcola il modulo, il complesso coniugato e l’opposto di ciascuno dei seguenti numeri complessi.
1 4
8 ; 3i ; 7  i ;  i .
a
3 9
1 2
5 ; 2i ; 5  4i ;  i .
b
2 3
2. IL CALCOLO CON I NUMERI IMMAGINARI
Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti numeri immaginari.
1

2i   3i  4i  : 
a
i

b
3i
9
 2i 
 4i17  5i13    i  i 
 8
3. IL CALCOLO CON I NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA
Esegui le seguenti operazioni fra numeri complessi.
a
1 1
3i
.
 2  i    3  2i  ;  2  i     i  ;  3  2i    2  2i  ;
1  i
2 2 
3 3


 1  3i; 2  2 i; 10  2i;  1  2i 
b
2  1

  i     2i  ;
5  5

 2  i  3  2i  ;
3i
;
2i
 5  2i 
2
.
3

 5  i; 8  i; 1  i; 21  20i 
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1  i 1  i 1  2i


a
1 i 1 i
i
b

i  
i   1  2i
 i  i  1    i  i  1   i  : 2i
 
 

c
2  i  i
2

2  i 4  2i 2
4. VETTORI E NUMERI COMPLESSI
Disegna per ogni vettore il vettore opposto.
Disegna nel piano cartesiano i vettori aventi per componenti le seguenti coppie di numeri.
 2;3 ; (5; 4) ;  7; 8 ;  0;10  .
a
 3; 4  ;
(6; 7) ;
i 
3

 5 1  2i  
2
b
2  i
 4; 2  ; 12;0  .
Rappresenta nel piano di Gauss i seguenti numeri e successivamente determina il loro modulo.
a
4  2i ; 2  4i ; 7i ; 3; 3  3i .
2  2i ; 3  5i ; 4; 2i ; 5  i .
b
5. LE COORDINATE POLARI
Trasforma in coordinate cartesiane le coordinate polari dei seguenti punti.
 3 
 
 3 
A 8;0 ; B  2;  ; C 3;   ; D 5;   .
a
 4 
 6
 2 
 
 
 2 
 7 
A  2;  ; B 8;  ; C  4;   ; D 3;   .
 4
 2
 3 
 6 
Trasforma in coordinate polari le coordinate cartesiane dei seguenti punti.
b
  
3 

 7 
 A 3; 2  ; B  4;   ; C  2 2; 4   ; D 6; 6   





 
A  0;3 ; B  4;0  ; C  2; 2  ;


D 3 3; 3 .
Determina modulo e argomento dei seguenti numeri complessi.
3

1  3i ; 
2
2

3i ;  2  i 2 ;


3

7 
 
3, 2 ; 2, 4  ; 3, 3 ;  , 6  

3 i .
6. LA FORMA TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO
Scrivi i seguenti numeri complessi in forma trigonometrica.
a

 

 
 
3cos 3   3sen 3  i; 2 cos 4   2 sen 4  i 



 

3 3 3

i ; 1 i .
2
2
b
3  i ; 1 i .
c
2 3  2i ; 6 .

 

7
7  

 2cos 6   2sen 6  i; 2 cos 4    2 sen 4   i 



 

8. OPERAZIONI FRA NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA
Dati i valori seguenti di z1 e z2, calcola il valore delle espressioni indicate a fianco e scrivi il
risultato in forma algebrica.
a
z1  cos
b
z1  cos

4
 i sen

12
 3 1 
i

 2 



, z2  2  cos  i sen  , z13  z2 .
3
3
4


 i sen

1  3

1  i 

 2

5
5
1
, z2  cos   i sen  , z14  .
12
6
6
z2
Calcola il valore della seguente espressione ed esprimi il risultato in forma algebrica.
4
a
8 
7
7  


 2  cos 12   i sen 12      cos 8  i sen 8 
 

 
8

 

 cos  i sen 
16
16 

b
8 
7
7  
5
5 
 2  cos 12   i sen 12      cos 24   i sen 24  
 

 
4

 

 cos  i sen 
12
12 

4
2
 3 1
3 1 

i

2 
 2
2
 3 1
3 1 

i

2 
 2
9. LE RADICI n-ESIME DI UN NUMERO COMPLESSO
Dato il numero complesso seguente calcolane le radici quadrate.
3
3 

 2  2  2  2 i,  2  2  2  2 i 
4  cos   i sen  
a


4
4 

5
5 

8  cos   i sen  
4
4 

Risolvi le seguenti equazioni in C
b
a
x2  6 x  13  0
b
x2  6 x  25  0
c
x4  9  0
  4  2 2  4  2 2 i, 4  2 2  4  2 2 i 


3  2i 
3  4i 
  3,  3i 


  2,  2i 


Scrivi le equazioni di secondo grado le cui radici sono date dalla seguente coppia di numeri
complessi.
 x 2   4  3i  x  7  49i  0
z1  3  4i , z2  7  7i .
a
d
x4  4  0
b
z1  4  8i , z2  6  i .
 x 2  10  9i  x  16  52i  0
10. LA FORMA ESPONENZIALE DI UN NUMERO COMPLESSO
Scrivi in forma algebrica i seguenti numeri complessi.
5
i 
2
i 
6e 3 ; 2e 3 .
Scrivi in forma esponenziale i seguenti numeri complessi.
a
 3  3
3i;  1  3i

5
i  
 i 74
3
6
e
;
4
e




3 2 1  i  ; 2  2i 3 .
7
i  
 i 34 
6
4 2  i  1 ; 3  3i .
b
8e ; 2 3e 


Dati i seguenti numeri complessi scritti in forma esponenziale, esegui l’operazione indicata e scrivi
il risultato in forma trigonometrica.
a
i

i
 

 
6  cos 2  i sen 2  

 

z1  3e 6 ; z2  2e 3 ; z1  z2 .


 

 
 2  cos 6  i sen 6  

 
Calcola il valore delle seguenti espressioni ed esprimi il risultato in forma algebrica.
b
a
i
i
z1  4e ; z2  2e 6 ;
3



 cos  i sen 
9
9

z1
.
z2
 

 
  2  cos  i sen  
36
36  
 
2

 

 cos  i sen 
12
12 

3
6
 4  4 3i 


2
b

2

i 
i 
i

3
3
4
 2e e   e


e
5
i 
6
e
4
i 
3
 1  i 
IL CALCOLO COMBINATORIO
1. I RAGGRUPPAMENTI
Durante una gara sportiva interscolastica una scuola viene rappresentata da quattro alunni
specializzati in quattro diverse discipline. Tenendo conto che la scuola possiede
rispettivamente 8, 10, 11 e 4 studenti accreditati per ogni disciplina sportiva, calcola
quante sono le quaterne di atleti che possono rappresentare la scuola.
[3520]
2. LE DISPOSIZIONI SEMPLICI
a
Quanti numeri di quattro cifre tutte diverse si possono costruire con gli elementi
dell’insieme
A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}? Quanti sono i numeri che iniziano con la cifra 5?
[360; 60]
b
Quanti numeri di cinque cifre tra loro diverse si possono costruire con gli elementi
dell’insieme
A = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 9}? Quanti sono i numeri che terminano con la cifra 1?
[2520; 360]
Risolvi la seguente equazione.
Dx 1,3  Dx, 2  4
[ x  2]
a
b
Dx 1, 4  Dx 1, 4  0
[ soluzione]
3. LE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
a
Quanti numeri diversi di quattro cifre si possono formare con le nove cifre significative
del sistema numerico decimale {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? Quanti sono i numeri a quattro
cifre che iniziano con la sequenza 65?
[6561; 81]
b
Calcola quanti diversi codici a sei cifre si possono realizzare con le cifre decimali da 0 a 9
e quanti tra essi terminano con la cifra 1.
[1000000; 100000]
Risolvi la seguente equazione.
3Dx, 4  3Dx , 4  0
[ soluzione]
a
b
Dx ,6  Dx, 2  Dx , 4
[ soluzione]
4. LE PERMUTAZIONI SEMPLICI
a
Calcola in quanti modi si possono disporre in fila dieci scatole diverse e, nel caso le
scatole siano sette di colore rosso e tre di colore verde, in quanti modi si trovano sistemate
prima tutte le scatole rosse e poi quelle verdi.
[3628800; 30240]
b
Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con la parola FIORE.
Quanti sono quelli dove tutte le consonanti si trovano tra loro vicine e a sinistra delle
vocali?
[120; 12]
Risolvi la seguente equazione.
6Px 1  Px 1
[x = 2]
a
b
2Px 1  5! Px 2
[x = 4]
5. LE PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
a
Data una serie di nove scatole di uguale forma di cui tre rosse, due verdi, quattro bianche,
calcola:
a) in quanti modi si possono collocare in fila le scatole;
b) quante sono le file in cui le scatole rosse occupano gli ultimi tre posti;
c) in quante file le scatole di uguale colore sono vicine tra loro.
[1260; 15; 6]
b
Data la parola BORBOTTÌO calcola:
a) quanti anagrammi, anche senza significato, si possono formare;
b) quanti sono gli anagrammi che iniziano con la sequenza BB;
c) quanti sono gli anagrammi dove le lettere uguali sono tra loro vicine.
[15120; 420; 36]
6. LA FUNZIONE n!
Stabilisci se ognuna delle seguenti uguaglianze è vera o falsa.
6!
 5!
a
6
8!
 4!
b
2!
c
7!5! 2!
6!5! 5·5!
Risolvi la seguente equazione.
( x  1)! 13x!
a
d
b
5( x  1)! ( x  2)!
VF
VF
VF
VF
[ x  12]
[ x  3]
7. LE COMBINAZIONI SEMPLICI
a
In un corpo di ballo vi sono cinquanta ballerine: scelta la prima ballerina, calcola in quanti
modi diversi può essere selezionato un gruppo di cinque ballerine comprimarie.
[1906884]
b
In una festa di fine anno a cui partecipano trenta invitati, calcola quanti brindisi vengono
scambiati se ogni persona brinda con tutte le altre.
[435]
Risolvi la seguente equazione.
6Cx 1, 2  3Cx  2,3  x 2  2 x
[ x  9]
a
b
6Cx 3, 2  6Cx  4,3  2 x 2  8x
[ x  13]
8. LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE
a
Considerati quattro mazzi uguali di quaranta carte ciascuno, calcola in quanti modi diversi
b
si possono estrarre quattro carte (una per ogni mazzo).
[123410]
Calcola quante somme con tre addendi si possono compiere con i numeri decimali da 1 a
9 anche ripetuti.
[165]
9. I COEFFICIENTI BINOMIALI
Calcola lo sviluppo del seguente binomio.
(x3  2 y 2 )5
a
[ x15  10 x12 y 2  40 x 9 y 4  80 x 6 y 6  80 x 3 y 8  32 y10 ]
[64 x 24  576 x 20 y 2  2160 x16 y 4  4320 x12 y 6  4860 x 8 y 8  2916 x 4 y 10  729 y 12 ]
(2 x 4  3 y 2 ) 6
Calcola il quinto termine dello sviluppo del seguente binomio.
b
a
 2
1 
 x  3 
2y 

 35 x 6 

12 
16 y 
7
5

1 
  3x 3  2 
b
6y 

Risolvi la seguente equazione.
 x  1  x  1

  

a
 4   5 
b
 x  3  x  2 

  

 8   7 
Torino, 01/06/2016
 5x 3 

8
 432 y 
[x = 8]
[x = 5]
L’Insegnante