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II
Trigonometria:relazioni e formule
Eterovalutazione
Soluzione degli esercizi proposti.
J
I
Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
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Abstract
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Lo scopo di questo lavoro è quello di proporre esercizi,con
relative soluzioni, su relazioni e formule di trigonometria.
Lo studente dopo aver svolto gli esercizi proposti pu inviare
le soluzioni al tutor on-line per verificare l’esattezza delle
soluzioni.
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Esercizi Proposti
Esercizio 1
Dato un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in C. I lati
opposti agli angoli
√ Â,B̂,Ĉ sono rispettivamente a, b e c . Sapendo
che B̂= π3 e b = 7 3, calcolarne il perimetro P.
Soluzione:
√ √
√
a = 7 3 ctg π3 = 7 3 33 = 7;
√
Per il teorema di Pitagora c = a2 + b2 = 14;
Pertanto si ha:
√ P =a+b+c=7 3+ 3 .
Esercizio 2
Dato un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in C. I lati
opposti agli angoli Â,B̂,Ĉ sono rispettivamente a, b e c . Sapendo
che Â= π4 e c = 5, calcolarne l’area.
Soluzione:
Il triangolo e’ isoscele,
pertanto
√
b = a = 5 cos π4 = 5 2 2 ;
25
Dunque si ha Area = a·b
2 = 4
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Esercizio 3
Utilizzando le formule trigonometriche, verificare le seguenti identita’ .
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1. 2sen2 x2 = (tgx − senx) ctgx
2. cosx 1 + tg 2 x2 = 1 − tg 2 x2
3. 2cos2 x2 − senx ctgx = 1
4.
π
sen 92 π+sen 18
5
π
sen 36
π cos 12
5. 2cos
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+
α
2
cos
6.
2sen3α−sen6α
2sen3α+sen6α
7.
2cos2 α
2 (1+cos2α)
sen2α cosα
8.
senα+senβ
senα−senβ
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π
4
−2=0
π
4
−
α
2
= cosα
= tg 2 32 α
= ctg α2
α−β
= 2tg α+β
2 ctg 2
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Soluzione:
1. per la formula di duplicazione del seno si ha
x
1 − cosx
2sen2 = 2
= 1 − cosx
2
2
e
(tgx − senx) ctgx =
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senx
cosx
− senx
= 1 − cosx;
cosx
senx
2. per la formula di bisezione della tangente si ha
1 + cosx + 1 − cosx
1 − cosx
cosx 1 +
= cosx
=
1 + cosx
1 + cosx
aggiungiamo e sottraiamo al numeratore 1, si ha
=
2cosx
2cosx + 1 − 1
cosx + 1 + cosx − 1
=
=
=
1 + cosx
1 + cosx
1 + cosx
=
cosx + 1 cosx − 1
1 − cosx
x
+
=1−
= 1 − tg 2 ;
1 + cosx 1 + cosx
1 + cosx
2
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3. dalla formula di duplicazione del coseno si ottiene
1 + cosx
cosx
x
− senx
=
2cos2 − senx ctgx = 2
2
2
senx
= 1 + cosx − cosx = 1;
4. utilizzando le formule di prostaferesi il numeratore e’ ugale
al doppio del denominatore, oppure utilizzando le formule di
Werner il denominatore e’ la meta’ del numeratore;
5. utilizzando le formule di addizione e sottrazione del coseno
si ha
π α
π α
cos
=
2cos
+
−
4
2
4
2
π
α
π
α α
π
α
π
= 2 cos cos − sen sen
cos cos + sen sen
=
4
2
4
2
4
2
4
2
α
π
α
π
= 2 cos2 cos2 − sen2 sen2
=
4
2
4
2
1 1 + cosα
1 1 − cosα
=2
−
=
2
2
2
2
1
= 2 (1 + cosα − 1 + cosα) = cosα;
4
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6. utilizando le formule di duplicazione del seno e di bisezione
della tangente si ha :
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2sen3α − sen6α
2sen3α − 2sen3α cos3α
=
=
2sen3α + sen6α
2sen3α + 2sen3α cos3α
2sen3α (1 − cos3α)
1 − cos3α
3
=
= tg 2 α
2sen3α (1 + cos3α)
1 + cos3α
2
7. utilizzando le formule di bisezione del coseno e di duplicazione del seno e del coseno si ha:
2 1+cosα
1 + cos2 α − sen2 α
2cos2 α2 (1 + cos2α)
2
=
=
sen2α cosα
2senα cos2 α
2cos2 α (1 + cosα)
=
2senα cos2 α
1 + cosα
1 + cosα
1 + cosα
= ±√
;
=
= ±p
senα
1 − cos2 α
(1 − cosα) (1 + cosα)
√
moltiplicando numeratore e denominatore per 1 + cosα si
ottiene
r
1 + cosα
α
±
= ctg
1 − cosα
2
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8.
senα+senβ
senα−senβ
=
2sen α+β
cos α−β
2
2
2sen α−β
cos α+β
2
2
α−β
= 2tg α+β
2 ctg 2
