Scarica - Facoltà di Ingegneria

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Trigonometria:relazioni e frmule
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Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
JJ
II
J
I
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Abstract
Lo scopo di questo lavoro è quello di fornire all’utente uno
strumento per verificare il suo grado di preparazione relativamente all’argomento: Trigonometria: relazioni e formule.
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1 Trigonometria: relazioni e formule
3
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Riferimenti teorici
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JJ
II
J
I
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7
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II
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I
Pagine 3 di 6
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1.
Trigonometria: relazioni e formule
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla che
riguardano i relazioni e formule di trigonometria.
Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto è quella corretta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlo
cliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che si
ritiene corrisponda alla risposta corretta.
Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma procederà ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventualmente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Dato un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in C.I lati
opposti agli angoli Â,B̂,Ĉ sono rispettivamente a, b e c. Se
c=2 e Â= π3 quanto valgono a e b?
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√
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
a = √33 , b = 12
a = 3, b =√1
a = 12 , b = √33
a = 1, b = √ 3
a = 1, b = 33
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JJ
II
J
I
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2. Dato un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in C.I lati
opposti
√ agli angoli Â,B̂,Ĉ sono rispettivamente a, b e c .Se
a = 2 3 e B = π6 quanto vale b?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√
b= 2
b=6
b = 2√
b=2 2
b = √23
3. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a)
(b)
(c)
(d)
sen α2 = sen(2 · α4 ) = 2sen α4
α
cos α4 = cos 22 = 12 cos α2
sen(α · β) = senα cosβ
2tg α
∀α ∈ R senα = 1+tg22 α
2
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Esci
3α
(e) cos α4 cosα = 12 [cos 5α
4 + cos 4 ]
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Contenuti
JJ
II
4. Quale delle seguenti affermazioni e’ falsa?
2
2
(a) 1
q− 8sen α cos α = cos4α
(b) 1−cos16α
= |sen8α|
2
(c) (1 + cosα)(1 + tg 2 α) = 2
α−β
(d) senα−senβ
cosα+cosβ = ctg 2
(e) senα senβ − 12 cos(α − β) = − 12 cos(α + β)
5. L’espressione cos2 1 − sen2 1 e’ uguale a
J
I
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
−( π2 )2
cos2
1
2cos1 − 2sen1
− 12
Pieno Schermo
6. Quale tra le seguenti equazioni e’ un’identita’ ?
Chiudi
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II
J
I
Pagine 6 di 6
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Pieno Schermo
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Esci
(a) sen(x + π4 ) = senx + sen π4
(b) cosx − ctgx senx = sen2x
2
(c) (senx + cosx) + sen(−2x) = tg π4
2
1+tg x
(d) 1−sen
2 x = cosx
(e) 1 + cos2x = 3 − 2sen2 x
7. Quale tra le seguenti equazioni non e’ un’identita’ ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
cos4 x − sen4 x = cos2x
x
2sen 3x
2 cos 2 = senx(2cosx + 1)
cos3x = cosx (1 − 4sen2 x)
sen3x = senx (3 − 4sen2 x)
−senx cos(π − x) ctgx − 2 − cos( π2 − x) cos( π2 + x) = 0
Fine Quiz
Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tua
preparazione consultando pagine teoriche relative agli argomenti
trattati in questa sezione del Quiz.
Per visualizzare le pagine teoriche clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
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I
Trigonometria:relazioni e formule
Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in A.Per semplicita’
di disegno supponiamo che il lato CB abbia lunghezza maggiore
di 1.Con centro in C tracciamo una circonferenza di raggio 1 che
incontra CB in B 0 , sia poi A’ il piede della perpendicolare al cateto
CA passante per B 0 .
Per definizione risulta senα = A0 B 0 , cosα = CA0 .Per le proprieta’
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dei triangoli simili (i triangoli ABC e A’B’C sono simili perche’
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hanno angoli corrispondenti uguali fra di loro) vale la proporzione
A0 B 0 : CB 0 = AB : CB.
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II
J
I
Dato che CB 0 = 1, risulta quindi
senα = A0 B 0 =
AB
.
CB
Si ricava quindi che AB = CBsenα. Abbiamo percio’ verificato
che in un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto e’ uguale
alla lunghezza dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.
Analogamente per il coseno si ottiene
Pagine 8 di 6
cosα = CA0 =
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CA
;
CB
cioe’ CA = CBcosα. Quindiin un triangolo rettangolo la lunghezza
di un cateto e’ uguale alla lunghezza dell’ipotenusa per il coseno
dell’angolo adiacente.
Dividendo membro a membro le due relazioni trovate: AB =
CBsenα, CA = CBcosα, otteniamo
AB
senα
=
= tgα;
cosα
CA
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Contenuti
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II
J
I
cioe’ AB = CA tgα.Quindi in un triangolo rettangolo la lunghezza
di un cateto e’ uguale alla lunghezza dell’altro cateto per la tan1
gente dell’angolo opposto. Poiche’ ctgα = tgα
, si ha CA = ABctgα.
Quindi in un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto e’
uguale alla lunghezza dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo
adiacente.
ESEMPIO
Consideriamo il triangolo ABC retto in B con ipotenusa AC = 5
e Â= π6 ( si indica con  l’angolo con vertice in A). Trovare il lati
AB e BC.
Pagine 9 di 6
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Soluzione
√
AB = 5cosα = 5cos π6 = 5 23 , BC = 5senα = 5sen π6 = 52 .
ESERCIZI
1. Dato un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in C.I
lati opposti agli angoli Â,B̂,Ĉ sono rispettivamente a, b e c.
Se c=2 e Â= π3 quanto valgono a e b?
Esci
√
A)a =
3
3 ,b
=
1
2
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B)a =
C)a =
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√
3, b = 1
1
2, b
√
=
D)a = 1, b =
3
3
√
3
√
Contenuti
E)a = 1, b =
3
3
Soluzione: B).
JJ
II
J
I
Infatti a = 2 sen π3 =
A)b =
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Esci
3, e b = 2 cos π3 = 1;
2. Dato un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in C.I
lati opposti
√ agli angoli Â,B̂,Ĉ sono rispettivamente a, b e c
.Se a = 2 3 e B = π6 quanto vale b?
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√
√
2
B)b = 6
C)b = 2
√
D)b = 2 2
E)b =
√2
3
Soluzione: C).
√
Infatti b = 2 3 tg π6 = 2;
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FORMULE TRIGONOMETRICHE.
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
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II
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I
Pagine 11 di 6
Indietro
Queste formule esprimono il seno, coseno, tangente e cotangente
degli angoli α ± β, mediante il valore del seno, coseno, tangente e
cotangente degli angoli α e β.
sen(α ± β) = senα cosβ ± senβ cosα
cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ senα cosβ
tgα±tgβ
π
tg(α ± β) = 1∓tgα
tgβ , con α, β, α ± β 6= 2 + kπ, k ∈ Z
ctg(α ± β) =
ctgα ctgβ∓1
ctgβ±ctgα ,α, β, α
± β 6= kπ, k ∈ Z
ESEMPI
π
π
π
1. calcolare a)sen 12
, b)cos 12
, c)tg 12
Soluzione
Pieno Schermo
π
12
= ( π3 − π4 ),allora utilizzando le formule di sottrazione si
ha:
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Esci
π
= sen( π − π4 ) = sen π3 cos π4 − sen π4 cos π3 =
a)sen 12
√ √ 3
√
6− 2
2 1
;
4
2 2 =
π
b)cos 12
= cos( π3 −
π
4)
√
= cos π3 cos π4 + sen π3 sen π4 =
3
2
1
2
√
2
2
−
√
2
2
+
√
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Contenuti
3
2
√
2
2
√
=
√
2+ 6
;
4
π
c)tg 12
= tg( π3 −
√
√
4−2 3
=2− 3
2
π
4)
=
π
tg π
3 −tg 4
π
1+tg π
3 tg 4
√
=
3−1
√
1+ 3
=
√
2
( 3−1)
2
=
5
5
2. Calcolare a)sen 12
π, b)cos 12
π
Soluzione
JJ
II
J
I
5
12 π
= ( π6 + π4 ),allora utilizzando le formule di addizione si
ha:
Pagine 12 di 6
Indietro
5
a)sen 12
π = sen( π6 + π4 ) = sen π6 cos π4 + sen π4 cos π6 =
√ √
√ √
2
3
2+ 6
=
;
2
2
4
5
b)cos 12
π = cos( π6 + π4 ) = cos π6 cos π4 − sen π6 sen π4 =
√
√ √
2
6− 2
1
;
2 2 =
4
1
2
√
3
2
√
2
2
+
√
2
2
−
FORMULE DI DUPLICAZIONE
Pieno Schermo
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Esci
Le formule di duplicazione degli angoli sono quelle che danno il
valore delle funzioni trigonometriche dell’angolo 2α, conoscendo il
valore delle funzioni trigonometriche dell’angolo α. Queste formule
si deducono immediatamente dalle formule di addizione; ponendo
in queste β = α si ha
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sen2α = 2senα cosα
cos2α = cos2 α − sen2 α = 1 − 2sen2 α
2tgα
tg2α = 1−tg
2α
ctg2α =
Contenuti
JJ
II
J
I
ctg 2 α−1
2ctgα
ESEMPIO
Verificare la seguente identita’ :
sen2α
2
2
2senα + cos2α + sen α + cos2α = 3cos α + cosα − 1
Soluzione
Pagine 13 di 6
Indietro
Utilizzando le formule di duplicazione del seno e del coseno si ha:
sen2α
2senα
2
+ cos2α + sen2 α + cos2α =
sen α = cosα + 2cos2 α − sen2 α
2senα cosα
2senα
+ 2cos2 α − 2sen2 α +
Pieno Schermo
Per la formula fondamentale della trigonometria si ha
Chiudi
Esci
cosα + 2cos2 α − sen2 α = cosα + 2cos2 α − 1 + cos2 α = cosα +
3cos2 α − 1
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 14 di 6
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Esci
FORMULE DI BISEZIONE
Queste formule servono, noti i valori di senα, cosα, tgα, ctgα, a
calcolare i valori delle funzioni trigonometriche dell’angolo meta’
,cioe’ : sen α2 , cos α2 , tg α2 , ctg α2 .
q
• sen α2 = ± 1−cosα
2
q
• cos α2 = ± 1+cosα
2
q
• tg α2 = ± 1−cosα
1+cosα
q
1+cosα
• ctg α2 = ± 1−cosα
ESEMPIO
Utilizzano le formule di bisezione calcolare
a)sen π8 , b)cos π8 , c)tg π8 , d)ctg π8
Soluzione
π
8
=
π
4
2
. Pertanto si ha
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Contenuti
JJ
II
J
I
a)
sen π8
b)
cos π8
=
=
q
q
1−cos π
4
2
1+cos π
4
2
q
=
q
=
√
1− 22
2
√
1+ 22
2
=
q
√
2− 2
4
√
=
√
2− 2
2
√ √
q √
2
= 2+4 2 = 2+
2
q √ 2
√
√ 2 =
= (2−2 2) = 2−
2
q √
q
1−cos π
√2
c) tg π8 = 1+cos π4 = 2−
2+ 2
4
√
2−1
q
√
1+cos π
1
= 2+1
d) ctg π8 = 1−cos π4 = √2−1
√
2 2−2
2
=
4
FORMULE DI PROSTAFERESI
Pagine 15 di 6
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Pieno Schermo
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Esci
Queste formule permettono di trasformare in prodotto la somma o
differenza dei seni di due angoli e la somma e differenza dei coseni
di due angoli.
α∓β
senα ± senβ = 2sen α±β
2 cos 2
α−β
cosα + cosβ = 2cos α+β
2 cos 2
α−β
cosα − cosβ = −2sen α+β
2 sen 2
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ESEMPIO
Trasformare nel prodotto di seni e coseni la somma sen5α+sen3α.
Titolo della Pagina
Soluzione
Contenuti
Utilizzando la prima delle formule precedenti si ha
JJ
II
J
I
Pagine 16 di 6
sen5α + sen3α = 2sen 5α+3α
cos 5α−3α
= 2sen4α cosα
2
2
FORMULE DI WERNER
Queste formule trasformano un prodotto di seni e coseni in una
somma algebrica.
Indietro
senα senβ = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)]
Pieno Schermo
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Esci
cosα cosβ = 12 [cos(α + β) + cos(α − β)]
senα cosβ = 12 [sen(α + β) + sen(α − β)]
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ESEMPIO
Trasformare in una somma di coseni il prodotto cos3α cos5α.
Titolo della Pagina
Soluzione
Contenuti
Utilizzando la seconda delle formule di Werner si ha
JJ
II
J
I
cos3α cos5α = 12 [cos(3α+5α)+cos(3α−5α)] = 12 [cos8α+cos(−2α)] =
1
2 [cos8α + cos2α]
FORMULE DI RAZIONALIZZAZIONE
Pagine 17 di 6
Indietro
Pieno Schermo
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Esci
Le formule seguenti esprimono senα, cosα, tgα e ctgα come funzione razionale di tg α2 e sono utili, ad esempio per risolvere per
sostituzione alcune equazioni trigonometriche.
2t
1 − t2
2t
1 − t2
senα =
,
cosα
=
,
tgα
=
,
ctgα
=
1 + t2
1 + t2
1 − t2
2t
α
con t = tg 2 e α 6= π + 2kπ
ESERCIZI
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1. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A)sen α2 = sen(2 · α4 ) = 2sen α4
α
Contenuti
B)cos α4 = cos 22 = 12 cos α2
C)sen(α · β) = senα cosβ
JJ
II
J
I
Pagine 18 di 6
Indietro
D)∀α ∈ R senα =
2tg α
2
1+tg 2 α
2
3α
E)cos α4 cosα = 12 [cos 5α
4 + cos 4 ]
Soluzione:E)per le formule di Werner.
La A) e la B) sono false, si vedano le formule di duplicazione
del seno e di bisezione del coseno; la C) e’ falsa: il seno non
gode di questa proprieta’ ; la D) e’ falsa in quanto dalle formule di razionalizzazione discende che l’uguaglianza in questione e’ vera per α 6= π + 2kπ.
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
2. Quale delle seguenti affermazioni e’ falsa?
A)1 − 8sen2 α cos2 α = cos4α
q
= |sen8α|
B) 1−cos16α
2
C)(1 + cosα)(1 + tg 2 α) = 2
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α−β
D) senα−senβ
cosα+cosβ = ctg 2
E) senα senβ − 12 cos(α − β) = − 12 cos(α + β)
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Contenuti
JJ
II
J
I
Soluzione:D)
La A) e’ vera:utilizzando le formule di duplicazione del seno
e del coseno si ha 1 − 8sen2 α cos2 α = 1 − 2(4sen2 α cos2 α) =
1 − sen2 2α = cos2(2α) = cos4α;
La B) e’ vera: dalla formula di bisezione del seno segue
q
1−cos16α
= ±sen 16α
2
2 = ±sen8α = |sen8α|;
La C) e’ vera:
Pagine 19 di 6
1 − cosα
)=
1 + cosα
1 + cosα + 1 − cosα
= (1 + cosα)
= 2;
1 + cosα
(1 + cosα)(1 + tg 2 α) = (1 + cosα)(1 +
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
La D) e’ falsa: utilizzando le formule di prostaferesi si ha
senα−senβ
cosα+cosβ
=
2cos α+β
sen α−β
2
2
α+β
2cos 2 cos α−β
2
= tg α−β
2 ;
La E) e’ vera:
Esci
1
senα senβ − cos(α − β) =
2
1
1
= senα senβ − cosα cosβ − senα senβ =
2
2
1
1
= senα senβ − cosα cosβ =
2
2
1
1
= − (cosα cosβ − senα senβ) = − cos(α + β);
2
2
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Contenuti
JJ
II
J
I
3. L’espressione cos2 1 − sen2 1 e’ uguale a
A)−( π2 )2
B)cos2
C)1
Pagine 20 di 6
D)2cos1 − 2sen1
Indietro
E)− 12
Soluzione: B)per la formula di duplicazione del coseno.
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4. Quale tra le seguenti equazioni e’ un’identita’ ?
A)sen(x + π4 ) = senx + sen π4
B)cosx − ctgx senx = sen2x
Esci
2
C)(senx + cosx) + sen(−2x) = tg π4
2
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1+tg x
D) 1−sen
2 x = cosx
E)1 + cos2x = 3 − 2sen2 x
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 21 di 6
Soluzione:C)
A)Dalla formula di addizione del seno segue sen(x +
senx cos π4 + cosx sen π4 ;
B)cosx − ctgx senx = cosx −
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Esci
=
senx = 0;
C)Utilizzando la formula fondamentale della trigonometria e
2
la formula di duplicazione del seno si ha (senx + cosx) +
sen(−2x) = sen2 x + cos2 x + 2cosx senx − 2senx cosx = 1 =
tg π4 ;
D)Poiche’ 1 + tg 2 x =
2
Indietro
cosx
senx
π
4)
1+tg x
1−sen2 x
=
1
cos2 x
e 1 − sen2 x = cos2 x si ha
1
cos4 x ;
E)Dalla formula di duplicazione del coseno segue 1+cos2x =
2 − 2sen2 x;
5. Quale tra le seguenti equazioni non e’ un’identita’ ?
A)cos4 x − sen4 x = cos2x
x
B)2sen 3x
2 cos 2 = senx(2cosx + 1)
C)cos3x = cosx (1 − 4sen2 x)
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D)sen3x = senx (3 − 4sen2 x)
E)−senx cos(π − x) ctgx − 2 − cos( π2 − x) cos( π2 + x) = 0
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JJ
II
J
I
Soluzione:E)
La A) e’ un’identita’ :utilizzando la formula fondamentale
della trigonometria e la formula di duplicazione del coseno si
ha
cos4 x − sen4 x = (cos2 x + sen2 x)(cos2 x − sen2 x) =
(cos2 x − sen2 x) = cos2x;
Pagine 22 di 6
La B) e’ un’identita’ : utilizzando le formule di Werner e poi
quella di duplicazione del seno si ha
Indietro
2sen
Pieno Schermo
3x
x
cos = sen2x + senx =
2
2
2senx cosx + senx = senx(2cosx + 1);
Chiudi
La C) e’ un’identita’ : utilizzando la formula do addizione
del coseno si ha
Esci
cos3x = cos(2x + x) = cos2x cosx − sen2x senx
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Contenuti
e dalle formule di duplicazione del coseno e del seno, l’espressione
e’ uguale a
(1 − 2sen2 x)cosx − (2senx cosx) senx =
= cosx − 2sen2 x cosx − 2sen2 x cosx =
cosx − 4senx cosx = cosx (1 − 4sen2 x);
JJ
II
J
I
Pagine 23 di 6
Indietro
La D) e’ un’identita’ : utilizzando la formula di addizione
del seno si ha
sen3x = sen(2x + x) = sen2x cosx + cos2x senx
e dalle formule di duplicazione del seno e coseno e’ uguale a
2senx cos2 x + (1 − 2sen2 x) senx =
= 2senx (1 − sen2 x) + (1 − 2sen2 x) senx =
Pieno Schermo
Chiudi
2senx − 2sen2 x + senx − 2sen2 x =
= 3senx − 4sen2 x = senx (3 − 4sen2 x);
La E) non e’ un’identita’ :
Esci
−senx cos(π − x) ctgx − 2 − cos(
π
π
− x) cos( + x) =
2
2
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 24 di 6
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
−senx(−cosx)
cosx
−2−senx(−senx) = cos2 x−2+sen2 x = −1;
senx
Per tornare alla simulazione del Quiz clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1