Formulario di geometria analitica

G. Di Maria
Formulario di geometria analitica
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Formulario di geometria analitica
G. Di Maria1
Rette
Forma generale (implicita)
Forma ridotta (esplicita)
Forma segmentaria
Forma normale
ax  by  c  0
y  mx  q
x y
 1
p q
x cos  y sin   n  0
 = angolo formato dalla normale
della retta con l’asse x
p,q = lunghezze dei segmenti
staccati dalla retta sugli assi
misurati a partire dall’origine
n = distanza della retta dall’origine
Angolo tra due rette r,r’:
tan  
ab  a ' b
aa ' bb'
 tan  
Condizione di parallelismo:
ab'a ' b  0
m 2  m1
1  m1m 2
m1  m 2
Condizione di perpendicolarità:
aa 'bb'  0
m1  
1
m2
Equazione della retta parallela ad r condotta dal punto (x1,y1):
a x  x1   by  y1   0
y  y1  mx  x1 
Equazione della retta perpendicolare ad r condotta dal punto (x1,y1):
bx  x1   a y  y1   0
y  y1  
1
x  x1 
m
Equazione della retta individuata dai punti (x1,y1) e (x2,y2):
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Condizione di allineamento di tre punti:
y 3  y1 x 3  x1

y 2  y1 x 2  x1
ovvero
 x1

det  x 2
x
 3
y1 1

y 2 1  0
y 3 1
Area di un triangolo individuato da tre punti:
 x1 y1 1

 1
1
A  abs det  x 2 y 2 1  x 3  x1 y 2  y1   y 3  y1 x 2  x1  
2
x
 2
 3 y 3 1
1
 x1 y 2  x 2 y 3  x 3 y1  y1x 2  y 2 x 3  y 3 x1
2
Coordinate del baricentro di un triangolo:
 x  x 2  x 3 y1  y 2  y 3 
G  1
,

3
3


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Docente di Matematica presso I.P.I.A. di Miano
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Distanza di un punto da una retta:
d
ax 1  by1  c
d
a 2  b2
mx1  y1  q
1  m2
Distanza tra due rette parallele:
d
c  c'
a 2  b2
Distanza tra due punti:
d
x 2  x1 2  y 2  y1 2
Punto medio di un segmento:
 x  x 2 y1  y 2 
M 1
,

2 
 2
Punto che divide un segmento in parti proporzionali ai numeri m ed n:
 nx  mx 2 ny1  my 2 
P 1
,

n

m
nm 

Asse di un segmento:

 
2x1  x 2 x  2y1  y 2 y  x1  x 2  y1  y 2
Bisettrici di due rette:
a1x  b1 y  c1
a1  b1
2
2

2
a 2 x  b2 y  c2
a 2  b2
2
2
2
2
2

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Coniche
Equazione generale:
ax 2  2bxy  cy2  2dx  2ey  f  0
Invarianti di una conica rispetto ad un’isometria piana.
Invariante lineare:
I1 : a  c
Invariante quadratico:
I 2 : ac  b 2
Invariante cubico:
a b d


I 3 : det  b c e 
d e f 


Condizione affinché la conica rappresenti un’ellisse:
I 2  0  I3  0
Inoltre, l’ellisse è reale solo se I3 è discorde da I1.
Condizione affinché la conica rappresenti una circonferenza:
a c  b0
Condizione affinché la conica rappresenti un’iperbole:
I 2  0  I3  0
Condizione affinché la conica rappresenti un’iperbole equilatera:
I1  0  I3  0
Condizione affinché la conica rappresenti una parabola:
I 2  0  I3  0
Condizione affinché la conica si spezzi in due rette:
I3  0
Inoltre:
 I 2  0  rette immaginari e coniugate non parallele

 I 2  0  rette parallele o coincidenti (reali o no)
I  0  rette reali distinte incidenti (perpendicolari se I  0)
1
2
Equazione della tangente nel punto (x1,y1), (formula di sdoppiamento) :
ax1x  by1x  x1y  cy1y  dx  x1   ey  y1   f  0
Diametro della conica coniugato alla retta y=mx:
ax  by  d  mbx  cy  e  0
Diametro coniugato all’asse x:
ax  by  d  0
Diametro coniugato all’asse y:
bx  cy  e  0
Coordinate del centro di una conica:
Sono date dalla soluzione del sistema lineare:
ax  by  d  0

bx  cy  e  0
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Definizioni geometriche per le coniche:
 Dicesi cono indefinito a due falde la superficie generata da una retta r (generatrice) in una
rotazione completa intorno ad una retta t (asse) che la incontri non perpendicolarmente in un punto V
(vertice). L’angolo acuto  formato dall’asse e dalla generatrice dicesi apertura del cono.
 Una conica è data dalla sezione del cono con un piano non passante per il vertice.
 La sezione sarà una circonferenza se il piano è perpendicolare all’asse.
 La sezione sarà un’ellisse, una parabola o un’iperbole se l’angolo formato dal piano con l’asse è
rispettivamente maggiore, uguale o minore dell’apertura .
 Dicesi asse principale di una conica la proiezione dell’asse t sul piano secante.
 L’asse principale è asse di simmetria per la conica.
 Si dicono vertici principali i punti di incontro di una conica con l’asse principale.
 L’ellisse e l’iperbole hanno due vertici principali, la parabola uno (l’altro si può considerare il punto
all’infinito del suo asse).
 Si dice fuoco di una conica il punto di contatto del piano secante con una sfera tangente ad esso ed
inscritta od ex-inscritta al cono.
 L’ellisse ha due fuochi interni all’asse principale, la parabola ne ha uno solo interno, l’iperbole ne ha
due esterni all’asse principale.
 Nell’ellisse e nell’iperbole i fuochi sono equidistanti dai vertici.
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Circonferenza
Definizione:
Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro.
La distanza è il raggio della circonferenza.
Equazione della circonferenza di centro C  ,  e raggio r:
x  2  y  2  r 2
ovvero, in modo equivalente:


x 2  y 2  2x  2x   2  2  r 2  0
Centro e raggio di una circonferenza di equazione data:
x 2  y 2  mx  ny  p  0
 m n
C  ,     , 
 2 2
r   2  2  p
Qualora il radicando fosse negativo la circonferenza sarebbe immaginaria.
Tangente alla circonferenza nel punto P(x1,y1) giacente su di essa:
x1x  y1 y 
m
x  x1   n y  y1   p  0
2
2
Asse radicale tra due circonferenze:
m  m'x  n  n'y  p  p'  0
Se due circonferenze si intersecano in due punti, l’asse radicale rappresenta la retta passante per essi.
Tuttavia la definizione è sensata anche nel caso le circonferenze siano tangenti o esterne.
Potenza di un punto (x1,y1) rispetto a una circonferenza:
  x1  y1  mx1  ny1  p
2
2
Si ha che il punto P è interno, giacente, esterno alla circonferenza se la potenza è rispettivamente negativa,
positiva o nulla.
Polare di un punto P:
x1x  y1 y 
m
x  x1   n y  y1   p  0
2
2
Qualora P giaccia sulla circonferenza, la polare coincide con la tangente.
Se P è esterno alla circonferenza, la polare rappresenta la retta passante per i due punti di contatto tra la
circonferenza e le tangenti ad essa condotte da P.
Se P è interno alla circonferenza, la polare è una retta esterna. Per costruirla considerare due corde passanti
per P, condurre le tangenti nei punti di contatto di ciascuna corda, e considerare i due punti di intersezione.
La polare è la retta passante per tali punti.
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Ellisse
Definizione:
Luogo dei punti del piano in cui è costante la somma delle distanze da due punti detti fuochi. Tale somma è
pari alla lunghezza 2a del segmento che interseca l’ellisse col suo asse principale, detto semiasse maggiore.
Il punto medio dei due fuochi è il centro dell’ellisse e il segmento passante per il centro, perpendicolare
all’asse principale con estremi i punti di intersezione con l’ellisse è detto semiasse minore di lunghezza 2b.
Equazione dell’ellisse in forma canonica:
x 2 y2

1
a 2 b2
dove a, b rappresentano le lunghezze dei semiassi. Supponiamo a>b.
Semidistanza focale:
c  a 2  b2
Eccentricità dell’ellisse:
e
c
1
a
Tangente all’ellisse in un suo punto:
x1x y1 y
 2 1
a2
b
Parabola
Definizione:
Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. La
retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco è l’asse principale della parabola, e il vertice della
parabola giace sull’asse in modo equidistante tra fuoco e direttrice.
La distanza p tra fuoco e direttrice si chiama parametro della parabola.
Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y:
y  ax 2  bx  c
Se a<0 la parabola è concava (rivolta verso l’alto), se a>0 la parabola è convessa (rivolta verso l’alto).
Poniamo   b  4ac .
Coordinate del vertice, del fuoco, ed equazione della direttrice:
2

 b
V    , 
 2a 4a 
 b 1  
F   ,

 2a 4a 
1 
d:y  
4a
Tangente alla parabola in un suo punto:
y  y1  2ax1x  bx  x1   2c
Equazione di una parabola riferita all’asse e alla tangente nel vertice:
y 2  2px
Fuoco:
p= parametro
F   p / 2,0
Direttrice:
d : x  p / 2
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Iperbole
Definizione:
Luogo dei punti del piano in cui è costante la differenza delle distanze da due punti detti fuochi.
Equazione dell’ellisse in forma canonica:
x 2 y2

1
a 2 b2
dove a,b rappresentano le lunghezze dei semiassi, trasverso e non trasverso.
Semidistanza focale:
c  a 2  b2
Eccentricità dell’iperbole:
e
c
1
a
Asintoti dell’iperbole:
b
y x
a
Tangente all’iperbole in un suo punto:
x1x y1 y
 2 1
a2
b
Iperbole equilatera riferita ai propri assi:
x 2  y2  a 2
Lunghezza semiassi:
a
Semidistanza focale:
ca 2
Eccentricità:
e 2
Asintoti:
y  x
Tangenti in un punto:
x1x  y1 y  a 2
Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti:
xy  k
Lunghezza semiassi:
a  2k
Semidistanza focale:
c2 k
Eccentricità:
e 2
Asintoti:
x  0, y  0
Tangenti in un punto:
y1x  x1y  2k
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