am1-2016-12-07-esercitazione-19

Schede di Analisi Matematica 1
Fulvio Di Sciullo
Anno accademico 2016/2017 | Politecnico di Torino
19
Esercitazione 07/12/2016
(Q, Esercizio 5.2.1). Scrivere l'equazione della retta tangente al graco delle
seguenti funzioni nel punto di ascissa x0 precisato, utilizzando una approssimazione locale.
Esercizio 19.1
(a) f (x ) = log(4x + 1) + esin(x )−1 , per x0 = 0
(b) f (x ) = |x + 1|x +3 , per x0 = 0 e x1 = 1
Polinomio di Taylor e Polinomio di Mc Laurin
Esercizio 19.2. Calcolare lo sviluppo di McLaurin arrestato all'ordine 2 e quello arrestato
all'ordine 3 delle funzioni:
(a) f1 (x ) = 2 − x + x 2 − 3x 3
(c) f3 (x ) = 2 − x + x 2 − 3x 5 + 6x 6
(b) f2 (x ) = 2 − x + x 2 − 3x 3 + 6x 6
Calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in x0 = 2, arrestato all'ordine 3 per
la funzione f1 (x ) = 3 − x + x 2 .
Esercizio 19.3.
Esercizio 19.4.
all'ordine 6.
Esercizio 19.5.
Calcolare lo sviluppo di McLaurin per la funzione f (x ) = sin(x ) arrestato
Calcolare la formula di McLaurin arrestata all'ordine 4 delle funzioni
(a) f1 (x ) = log(1 − sin2 x )
(b) f2 (x ) =
ex
.
1+x
2
19
Esercitazione 07/12/2016
Risultano utili in diverse situazioni, gli sviluppi notevoli di McLaurin (per x → 0) per funzioni
elementari
Sviluppi notevoli di McLaurin
(a) sin x = x −
x3
x5
(−1)n 2n+1
+
+ ··· +
x
+ o (x 2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(b) cos x = 1 −
x4
(−1)n 2n
x2
+
+ ··· +
x + o (x 2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(c) ex = 1 + x +
x3
xn
x2
+
+ ··· +
+ o (x n )
2!
3!
n!
(d) log(1 + x ) = x −
(e) arctan x = x −
x2
x3
x4
(−1)n−1 n
+
−
+ ··· +
x + o (x n )
2
3
4
n
x3
x5
(−1)n 2n+1
+
+ ··· +
x
+ o (x 2n+2 )
3
5
2n + 1
(f) sinh x = x +
x3
x5
1
+
+ ··· +
x 2n+1 + o (x 2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(g) cosh x = 1 +
x2
x4
1 2n
+
+ ··· +
x + o (x 2n+1 )
2!
4!
(2n)!
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + o (x n )
1−x
α 2
α 3
α n
(i) (1 + x )α = 1 + αx +
x +
x + ··· +
x + o (x n ),
2
3
n
(h)
dove
α
k
=
α·(α−1)····(α−k +1)
k!
Casi particolari della (i) di uso frequente:
(j)
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + o (x n )
1−x
1
= 1 − x + x 2 − x 3 + · · · + (−1)n x n + o (x n )
1+x
√
1
1 2
1 3
1/2 n
(l) 1 + x = 1 + x − x + x + · · · +
x + o (x n )
2
8
16
n
1
1
3
5
−1/2 n
(m) √
= 1 − x + x2 − x3 + · · · +
x + o (x n )
2
8
16
n
1+x
(k)
Si osservi la somiglianza tra le espressioni delle funzioni goniometriche, la funzione esponenziale
e le funzioni iperboliche.
3
Esercizio 19.6.
Calcolare la formula di Taylor nelle seguenti situazioni.
(a) f (x ) = sin x , centro x0 = π/2, ordine 4
(b) f (x ) = ex , centro x0 = 1, ordine generico n
(c) f (x ) = log x , centro x0 = 3, ordine generico n
(d) f (x ) = 2x , centro x0 = 2, ordine generico n
(e) f (x ) = ex · sin x , centro x0 = 0, ordine 5
Esercizio 19.7.
Data la funzione f (x ) = ex · sin x , calcolare
f (4) (0)
Esercizio 19.8.
e
f (5) (0).
Calcolare la parte principale, per x → 0 delle seguenti funzioni:
f (x ) = cosh2 x −
e calcolare quindi lim
x →0
p
1 + 2x 2 ,
g (x ) = e−x cos x + sin x − cos x
f (x )
.
g (x )2
Numerosi esercizi, svolti e non, possono essere trovati nella sezione Sviluppi di Taylor della
pagina web http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/materiale.html.
Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati:
(RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 2013.
(Q) G. G. Quelali,
Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 2014.
(MS) P. Marcellini, C. Sbordone,
Esercizi di matematica, Liguori Editore.