ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 – SETTIMANA 11 (1) (a

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 – SETTIMANA 11
(1) (a) Determinate il polinomio di Taylor di ordine 9 centrato nel punto x0 = 0 (o polinomio
di MacLaurin) della funzione f (x) := sin(x + x2 + x3 ) (evitate, se vi è possibile, di
calcolare 9 derivate).
(b) Determinate
√ il polinomio di Taylor di ordine 3 centrato nel punto x0 = 0 della funzione
f (x) := 1 + sin x.
(c) Determinate il polinomio di Taylor di ordine 5 centrato nel punto x0 = 0 della funzione
g(x) := x2 log(1 + sin x).
(2) Verificate che la funzione
f (x) :=
(
12
e− x
0
x 6= 0
x=0
è derivabile infinite volte nel punto x0 = 0. Scrivetene il polinomio di Mac Laurin.
(3) Sapendo che per (per x > −1) la derivata di log(1 + x) è
sviluppi di Mac Laurin
N
N
X
1
xN +1 X k
=
=
xk +
x + o(xN ),
1−x
1−x
k=0
1
e che valgono i seguenti
1+x
k=0
x 6= 1
N
N
X
(−1)N +1 xN +1 X
1
(−1)k xk +
(−1)k xk + o(xN ),
=
=
1+x
1−x
k=0
k=0
x 6= 1,
verificate che per x > −1 lo sviluppo di Mac Laurin di log(1 + x) si può ricavare (ignorando
gli o-piccoli) determinando il polinomio che vale 0 per x = 0 e la cui derivata è il polinomio
1
di Mac Laurin di
.
1+x
Analogamente a quanto fatto sopra, ricavate lo sviluppo di Mac Laurin di arctan x senza
calcolare le derivate successive, ma basandosi solo sulla sua derivata prima.
(4) Scrivete i primi termini del polinomio di Taylor con centro in x0 = 0 delle seguenti funzioni:
(a) f (x) := log(1 + sinh(x)) − x;
(b) f (x) := sin(x2 ) − tan(x2 );
(c) f (x) := sinh(x) − x cosh(x);
(d) f (x) := sin(log(x + 1)) + x log(sin(x)) − x log(x) − x
(e) f (x) := 2 arctan(sin(x)) − sin(2x);
Scrivete esplicitamente nei vari casi la forma del resto secondo Peano.
(5) Calcolate, quando esistono, i seguenti limiti:
log2 (1 + sin x
(a) lim
;
lim
x→0
x→0
√ x tan x
1 − cos x − 3 sin x
;
(b) lim
+
x
x→0
√
x − sin2 x − sin2 x
;
(c) lim
x→0
x2
sin x
x
1/x2
√
;
1 − cos x − 3 sin x
;
x
((1 − x)−1 + ex )2 − 4e2x − 2x2
lim
;
x→0
x3
lim
x→0−
1
(6) (pag 299 Es 18 ) Se dovete calcolare sin 1 oppure cos 1 con h cifre decimali esatte usando la
formula di Mac Laurin per sin x oppure per cos x, quanti termini dovete considerare?
(7) (pag 299 Es 17 ) Calcolate π con 5 cifre decimali esatte utilizzando la formula di Mac Laurin
per arctan x e la seguente identità (di Gauss)
1
1
1
π = 48 arctan
+ 32 arctan
− 20 arctan
.
8
57
239
(8) Provate a calcolare log 48 alla seconda cifra decimale (... solo con carta e penna).
(9) (Difficile? ) Calcolate
lim sin(2πn!e)
n→+∞
(10) Per ciascuna delle seguenti funzioni trovate, se esistono, i punti e i valori di massimo o
minimo assoluto e relativo.
 2x−x2
x < − 21
 2x2 +1
f (x) :=
− 21 ≤ x < 0
−x − 34

3
2
−x + 2x − x + 1
x≥0
2 3
2
0≤x≤3
3 x − 3x + 4x
g(x) :=
3−x
3e
3 < x.
(11) Sia f : [a, b] → R una funzione Riemann integrabile. Se g : [a, b] → R coincide con f tranne
che, al più, in un numero finito di punti dimostrate che anche g è Riemann integrabile e che
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)dx =
a
a
(12) Sia f : [a, b] → R una funzione continua e tale che f (x) ≥ 0 in [a, b]. Dimostrate che se
Rb
a f (x)dx = 0 allora f (x) = 0 per ogni x ∈ [a, b]. Ricordando il problema precedente,
osservate che se f non fosse continua l’enunciato sarebbe falso.
(13) Usando
elementari Zcalcolate le seguenti primitive:
Z
Z la tabella delle primitive
2
√
3 − 4x
x
3
√
dx;
dx;
2x + 1 dx;
(a)
5
3
1 Z+ x2
Z
Z 3+x
1 − sin x
1
2
√
(b)
dx;
xe−x dx;
dx;
Z x + cos x
Zx 1 − log x
Z
√
1
2x
3
(c)
cos x sin x dx;
dx;
dx.
2
2
3x + 2
cos (2x + 3)
2