Schede di Analisi Matematica 1 20 Esercitazione 09/12/2015

Schede di Analisi Matematica 1
Fulvio Di Sciullo
Anno accademico 2015/2016 | Politecnico di Torino | Corso A5
Sommario
Queste schede raccolgono la traccia seguita durante l'esercitazione, i testi degli esercizi svolti in aula
ed ulteriori altri esercizi utili per l'esercitazione autonoma.
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Esercitazione 09/12/2015
Richiami sull'approssimazione
Al ne di costruire delle forme polinomiali che approssimano una funzione f (x ) si possono
dare le seguenti.
Denizione. Data una funzione f (x ) derivabile n volte in un x0 , il Polinomio di Taylor
associato ad f (x ) in x0 di ordine n è:
pn (x ) =
n
X
f (k ) (x0 )
k =0
k!
(x − x0 )k .
Fatto. Accade che f (x ) = pn (x ) + o (x − x0 )n .
Denizione. Se x0 = 0 il Polinomio di Taylor prende il nome di Polinomio di McLaurin.
Polinomio di Taylor e Polinomio di Mc Laurin
Esercizio 20.1. Calcolare lo sviluppo di McLaurin arrestato all'ordine 2 e quello arrestato
all'ordine 3 delle funzioni:
(a) f1 (x ) = 2 − x + x 2 − 3x 3
(b) f2 (x ) = 2 − x + x 2 − 3x 3 + 6x 6
(c) f3 (x ) = 2 − x + x 2 − 3x 5 + 6x 6
Esercizio 20.2. Calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in x0 = 2, arrestato all'ordine 3 per
la funzione f1 (x ) = 3 − x + x 2 .
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Risultano utili in diverse situazioni, gli sviluppi notevoli di McLaurin (per x → 0) per funzioni
elementari
Sviluppi notevoli di McLaurin
(a) sin x = x −
x3
x5
(−1)n 2n+1
+
+ ··· +
x
+ o (x 2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(b) cos x = 1 −
x4
(−1)n 2n
x2
+
+ ··· +
x + o (x 2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(c) ex = 1 + x +
x3
xn
x2
+
+ ··· +
+ o (x n )
2!
3!
n!
(d) log(1 + x ) = x −
(e) arctan x = x −
x2
x3
x4
(−1)n−1 n
+
−
+ ··· +
x + o (x n )
2
3
4
n
x3
x5
(−1)n 2n+1
+
+ ··· +
x
+ o (x 2n+2 )
3
5
2n + 1
(f) sinh x = x +
x3
x5
1
+
+ ··· +
x 2n+1 + o (x 2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(g) cosh x = 1 +
x2
x4
1 2n
+
+ ··· +
x + o (x 2n+1 )
2!
4!
(2n)!
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + o (x n )
1−x
α 2
α 3
α n
(i) (1 + x )α = 1 + αx +
x +
x + ··· +
x + o (x n ),
2
3
n
(h)
dove
α
k
=
α·(α−1)····(α−k +1)
k!
Casi particolari della (i) di uso frequente:
(j)
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + o (x n )
1−x
1
= 1 − x + x 2 − x 3 + · · · + (−1)n x n + o (x n )
1+x
√
1
1 2
1 3
1/2 n
(l) 1 + x = 1 + x − x + x + · · · +
x + o (x n )
2
8
16
n
1
1
3
5
−1/2 n
(m) √
= 1 − x + x2 − x3 + · · · +
x + o (x n )
2
8
16
n
1+x
(k)
Si osservi la somiglianza tra le espressioni delle funzioni goniometriche, la funzione esponenziale
e le funzioni iperboliche.
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Esercizio 20.3. Calcolare lo sviluppo di McLaurin per la funzione f (x ) = sin(x ) arrestato
all'ordine 6.
Esercizio 20.4. Calcolare la formula di McLaurin arrestata all'ordine 4 delle funzioni
(a) f1 (x ) = log(1 − sin2 x )
(b) f2 (x ) =
ex
.
1+x
Esercizio 20.5. Calcolare la formula di Taylor nelle seguenti situazioni.
(a) f (x ) = sin x , centro x0 = π/2, ordine 4
(b) f (x ) = ex , centro x0 = 1, ordine generico n
(c) f (x ) = log x , centro x0 = 3, ordine generico n
(d) f (x ) = 2x , centro x0 = 2, ordine generico n
(e) f (x ) = ex · sin x , centro x0 = 0, ordine 5
Esercizio 20.6. Data la funzione f (x ) = ex · sin x , calcolare
f (4) (0)
e
f (5) (0).
Esercizio 20.7. Calcolare la parte principale, per x → 0 delle seguenti funzioni:
f (x ) = cosh2 x −
e calcolare quindi lim
x →0
p
1 + 2x 2 ,
g (x ) = e−x cos x + sin x − cos x
f (x )
.
g (x )2
Esercizio 20.8.
Numerosi esercizi, svolti e non, possono essere trovati nella sezione Sviluppi di Taylor della
pagina web http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/materiale.html.
Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati:
(RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 2013.
Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 2014.
(MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.
(Q) G. G. Quelali,