CORREZIONE DEL COMPITO
Esercizi di geometria
1) Determinare l'equazione della circonferenza avente il centro sulla retta r di equazione y = 1 e passante
per i punti A = (3 + ;0) e B = (1;1). Calcolare inoltre i vertici del triangolo rettangolo isoscele circoscritto
alla circonferenza e avente la base sulla retta x = 5 e l'altezza sulla retta y = 1.
Risoluzione:
Il centro della circonferenza avrà la forma C=(x;1) e deve essere equidistante da A e B. Uguagliando le
distanze da A e B (ed elevando i membri al quadrato per eliminare le radici) si ottiene
Sviluppando l’equazione si ottiene x=3 e di conseguenza il raggio della circonferenza è pari a 2. Ne segue
che l’equazione della circonferenza dovrà essere
D
E
F
Troviamo ora i vertici del triangolo DEF: innanzitutto notiamo che il lato DE è contenuto su una retta
tangente alla circonferenza e avente coefficiente angolare pari a 1, pertanto tale retta avrà la forma y=x+q.
per trovare l’intercetta è sufficiente mettere a sistema retta e circonferenza e poi porre il discriminante pari
a 0:
Ponendo Δ=0 si avrà
Guardando la figura è immediato capire che a noi interessa la tangente più “in alto” e pertanto sceglieremo
la soluzione col “+”. Per trovare il punto D ci basta ora porre a sistema la retta appena trovata con la retta
di equazione x=5, mentre il punto E può essere trovato mettendo la retta a sistema con y=1. In concreto si
otterrà
Il punto F può essere trovato come simmetrico di D rispetto alla retta y=1: la distanza tra punto e retta
risulta essere 2+
e pertanto deduciamo che l’ordinata di F sarà data da
3) In un triangolo ABC l'angolo α con vertice in A è tale che
, l'angolo β con vertice in B è tale
che
, infine AB = 4. Calcolare il perimetro del triangolo. Determinare inoltre le lunghezze dei lati
del rettangolo FGHK, con K in AC e H in BC, la cui base FG, contenuta in AB, è doppia dell'altezza FK.
Risoluzione:
Siccome i coseni sono positivi possiamo affermare che gli angoli in A e in B sono acuti, pertanto possiamo
calcolarne i seni usando la formula
Sostituendo i valori noti otteniamo
A questo punto possiamo calcolare il seno dell’angolo in C e poi utilizzare il teorema dei seni per risolvere il
trianolo ABC:
Applichiamo ora il teorema dei seni e calcoliamo il lato AC:
In modo del tutto simile si calcola che BC=3 e quindi il perimetro del triangolo risulta pari a 9. Vediamo ora
la seconda parte del problema.
C
K
H
x
A
G
F
B
Chiamiamo x il lato FK: guardando il triangolo AKF otteniamo la relazione
In modo del tutto simile troviamo
Osserviamo ora come AB, la cui misura è nota, è anche
esprimibile come somma di AF, FG e BG. Ne risulta la seguente equazione che ci permette di calcolare x:
Una volta noto KF è automatico calcolare FG raddoppiando il risultato appena ottenuto.
5) Dato il triangolo isoscele ABC con base AB =
e angolo al vertice
, si divida il lato BC in
tre parti uguali mediante i punti M e N. Si determinino le lunghezze dei segmenti AM e AN.
Risoluzione:
Questo esercizio può essere risolto mediante ripetute applicazioni del teorema di Carnot (o del coseno, che
dir si voglia):
Ricordando che il triangolo è isoscele, e quindi AC=BC, troviamo facilmente i lati obliqui del triangolo:
C
M
N
A
B
Per trovare i segmenti AM e AN basta applicare due volte il teorema del coseno, prima al triangolo ACM e
poi al trianolo ACN, ricordando che AC=6a, CM=2a, e che il coseno dell’angolo C vale -1/2. Otterremo
In modo del tutto analogo si trova che AN=
7) Assegnate la circonferenza C di equazione
, la parabola P di equazione
e la retta r di equazione
, trovare la retta t parallela ad r e tangente a C e a P.
Inoltre, detti A e B i rispettivi punti di tangenza, determinare le coordinate dei vertici dei quadrati aventi un
lato coincidente col segmento AB.
Risoluzione:
La condizione di parallelismo ci dice subito che la retta t deve avere la forma y=x+q. Mettiamo questa
equazione a sistema con quella della della parabola e troviamo il valore di q ponendo il discriminante
uguale a 0:
La condizione sul discriminante diventa quindi
La retta t avrà dunque equazione y=x-1. Intersecando questa retta con le due coniche (i calcoli sono stati
omessi in quanto molto semplici) si trovano i punti A=(1;0) e B=(-1;-2). Notiamo come questi calcoli siano
anche importanti per verificare come t sia tangente anche alla circonferenza C.
C
G
F
A
B
P
E
D
t
Osservando lo scarto tra le ascisse e le ordinate di A e B è sempre pari a 2 è immediato calcolare i vari punti
dei due quadrati. Ad esempio per calcolare la posizione di D ci basta dire che dobbiamo contare due scarti
verso il basso rispetto ad A, quindi avremo
Ragionando in questo modo troveremo anche gli altri vertici, ovvero
9) Esternamente al triangolo equilatero ABC costruire la semicirconferenza di diametro BC. Tracciare su di
essa la corda PQ = BC/2 parallela a BC e calcolare il perimetro del triangolo PAQ e il
.
Risoluzione:
Per prima cosa analizziamo la figura.
A
O
B
C
P
Q
Il triangolo OPQ è equilatero in quanto tutti i suoi lati misurano r. Per ragioni di simmetria, gli angoli
e
sono congruenti, e pertanto misurano 60° ciascuno. Ne segue che il triangolo BOP dev’essere
anch’esso equilatero (in quanto isoscele e con angolo al vertice di 60°): questo ci porta a concludere che il
lato BP deve essere pari a r e che l’angolo
misuri 60°. A questo punto, sommando le misure degli
angoli
e
, otteniamo che l’angolo
misura 120°. Con questa informazione possiamo applicare
il teorema di Carnot al triangolo ABP e calcolare il lato AP:
Ovviamente anche il lato AQ avrà la medesima misura. Il perimetro del triangolo sarà allora
Per calcolare infine il coseno dell’angolo al vertice del triangolo APQ basta usare nuovamente il teorema del
coseno:
