ESERCIZI DI MATEMATICA
1. Data l’ellisse di equazione
x2
a2
2
+ by2 = 1, trovare il rettangolo inscritto di area massima.
2. Dopo aver determinato le coordinate dei punti base A e B del fascio di parabole y(a + 1) + 2ax2 − x(11a + 1) = 0, scrivere
l’equazione della parabola p del fascio che ha per asse la retta x = 2. Nel segmento parabolico delimitato da p e dalla retta AB
inscrivere il triangolo ABQ di area massima.
3. Individuare il punto della parabola y = −x2 per il quale è minima la distanza dalla retta y = x + 3.
4. Sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura 2 e siano M il punto medio di AB e N la sua proiezione su BC. Determinare
un punto P appartenente al lato AC in modo che, detta Q la sua proiezione su PC, sia massima l’area del trapezio MNQP.
b del triangolo equilatero ABC il cui lato misura a, una semiretta uscente da A in
5. Determinare, internamente all’angolo BAC
modo che, dette H e K rispettivamente le proiezioni ortogonali di C e B su di essa, sia massima la somma 2CH + BK.
6. Un cateto di un triangolo rettangolo è lungo 2a, dove a è una lunghezza nota, e l’angolo acuto adiacente ad esso ha coseno
uguale a 54 . Condotta per il vertice dell’angolo retto una retta t che non attraversa il triangolo e indicata con x la misura
dell’angolo che questa retta forma col cateto maggiore, esprimere in funzione di x il volume V (x) del solido generato dal
triangolo quando compie una rotazione completa intorno alla retta t. Verificato che risulta
1
V (x) = πa3 (4 sin x + 3 cos x)
2
stabilire per quale valore di x si avrà il solido di volume massimo.
