Continuità e derivabilità 2

Continuità e derivabilità: un esempio.
{
1
sen
f

x=
1. La funzione
x
0
Infatti lim sen
x 0
per x≠0
non è continua per x=0 .
per x=0
1
non esiste, quindi la funzione ha per
x
x=0 un punto di discontinuità di seconda specie.
In pratica, più ci avviciniamo al valore x=0 e più
rapidamente la funzione oscilla tra i valori y=−1 e
y=1 , senza tendere a nessun dato valore di y.
{
1
x
sen
2. La funzione f  x=
x
0
per x≠0
Funzione y=sen 1/ x
è continua, ma non derivabile per x=0 .
per x=0
1
f  x= f 0 e, pertanto, la
Infatti lim  x sen =0 per il teorema del confronto, quindi lim
x

0
x
x 0
funzione è continua per x=0 .
Invece, applicando la definizione di derivata:
lim
x0
f  x− f 0
x sen 1/ x
1
=lim
=lim sen
x
x
x
x0
x 0
che non esiste, quindi la funzione non è derivabile per x=0 .
Possiamo dire che, mentre ci avviciniamo al valore x=0 , la
funzione oscilla sempre più rapidamente, ma l'ampiezza delle
oscillazioni diminuisce, per cui i valori della funzione tendono Funzione y= x sen 1/ x
ad y=0 .
{
1
x 2 sen
per x≠0
f

x=
3. La funzione
è continua e derivabile per x=0 .
x
0
per x=0
1
2
Infatti lim  x sen =0 per il teorema del confronto,
x
x 0
f  x= f 0 e, pertanto, la funzione è
quindi lim
x0
continua per x=0 .
Inoltre, applicando la definizione di derivata:
lim
x0
f  x− f 0
x 2 sen 1/ x
1
=lim
=lim  x sen =0
x
x
x
x0
x0
Funzione y= x 2 sen 1/ x
per il teorema del confronto, quindi la funzione è derivabile per x=0 ed f ' 0=0 .
4. Osserva che non avremmo potuto ritrovare il precedente risultato utilizzando le regole di
derivazione. Infatti:
1
1
1
1
1
1
D  x 2 sen =2 x sen x 2 cos ⋅− 2 =2 x sen −cos
x
x
x
x
x
x
e lim cos
x0
1
non esiste.
x
5. In generale, vale il seguente teorema:
Sia f  x una funzione continua nell'intervallo chiuso [a , b] e derivabile in ] a , b [ ∖ {x 0 } ,
f '  x=l , allora esiste anche
dove x 0 ∈] a , b [ . In questo caso, se esiste finito il xlim
x
0
f '  x 0  e si ha f '  x 0 =l .
In termini più discorsivi, se il limite della funzione derivata ci dà un risultato finito, allora tale
risultato è anche la derivata nel punto a cui tende la variabile x.
L'esempio precedente, però, ci mostra che il teorema non è invertibile, per cui, se il limite della
derivata non esiste, è comunque possibile che esista e sia finita la derivata nel punto a cui tende
la variabile x.