INFERRE
COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Direttore
Corrado T
Università degli Studi di Palermo
Comitato scientifico
Giuseppe R
Università degli Studi di Palermo
Francesco R
University of Cape Town
Francesco T
Università degli Studi di Palermo
INFERRE
COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Credo che il calcolo delle probabilità sia l’unica branca della matematica in cui
buoni autori ottengono spesso risultati completamente sbagliati.
Charles P
La collana è orientata verso due direzioni diverse ma connesse tra
loro. La prima ha come obiettivo quello di trasferire gradualmente
al lettore (studente o meno) un messaggio preciso, anche se a prima
vista ovvio: i metodi della matematica pura sono fondamentali e formano il tessuto connettivo essenziale al calcolo delle probabilità e alla
statistica. Ciò non è scontato, perché si nota una carenza significativa
nel panorama editoriale italiano di testi orientati in tal senso. Questa
chiave di lettura, quindi, privilegia testi con linguaggio formale della
matematica pura nella teoria delle probabilità e della statistica matematica, senza escludere le applicazioni. I volumi sono pensati per gli
studenti delle scuole di matematica.
La seconda direzione, usando un linguaggio meno formale ma pur
sempre essenziale e rigoroso, riguarda l’applicazione del calcolo delle
probabilità e della statistica descrittiva a specifici temi, quali la teoria
dei giochi, le scienze naturali, la chimica, la farmacia, la medicina,
l’ingegneria, la biologia, la sociologia, l’economia e la finanza.
Corrado Tanasi
Calcolo delle probabilità
con elementi di Statistica matematica
II edizione
Aracne editrice
www.aracneeditrice.it
[email protected]
Copyright © MMXVI
Gioacchino Onorati editore S.r.l. – unipersonale
www.gioacchinoonoratieditore.it
[email protected]
via Sotto le mura,
Canterano (RM)
()
----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: maggio
Indice
Introduzione
1 Algebra degli eventi
1.1 Algebra di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elementi di calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . .
17
117
27
2 Probabilità di un evento
2.1 Stupirsi di un evento poco probabile
2.1.1 Dove cade un fulmine? . . . .
2.2 Teorema delle probabilità totali . . .
2.3 Probabilità di alcuni giochi popolari
2.3.1 Legge del caso? . . . . . . . .
2.3.2 Lotto . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Superenalotto . . . . . . . . .
2.3.4 WinforLife . . . . . . . . . . .
2.4 Diagramma ad albero . . . . . . . .
2.5 Il problema della rovina del giocatore
2.6 Formula di Bayes . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
44
51
52
56
56
57
59
64
65
67
71
3 Variabili aleatorie discrete
3.1 Modelli discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Speranza matematica (o valore atteso) . . . . . . . .
3.2.1 Speranza matematica e gioco equo . . . . . .
3.2.2 Speranza matematica come operatore lineare
3.2.3 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
7 7
77
80
81
83
88
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
Indice
Indice
3.2.4
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Speranza matematica di una funzione di una
variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . .
Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Notizie storiche e significato dei momenti . . .
Coefficiente di correlazione di due variabili aleatorie . .
Variabile aleatoria di Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
La variabile aleatoria polinomiale . . . . . . . . . . . .
La variabile aleatoria ipergeometrica . . . . . . . . . .
La speranza matematica e la varianza di una H(a, b, n)
Variabile aleatoria geometrica . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Variabile aleatoria di Poisson . . . . . . . . . .
3.9.2 La distribuzione di Poisson come limite della
binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Modelli continui
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Variabile aleatoria qualunque . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Variabili aleatorie assolutamente continue . . .
4.3 Cenni sull’integrale di Riemann-Stieltjes . . . . . . . .
4.4 Momenti di una variabile aleatoria qualunque . . . . .
4.5 Disuguaglianza di Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Disuguaglianza di Markov e di Bienaymé-Tchebychev .
4.7 La mediana e i quantili . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 La variabile aleatoria uniforme . . . . . . . . .
4.8.2
La variabile aleatoria normale o di LaplaceGauss N (m, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3 Cos’è normale? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.4 Ulteriori proprietà della Normale . . . . . . . .
4.8.5 Approssimazione normale alla distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.6 La tavola di Galton . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.7 Variabili aleatorie esponenziali . . . . . . . . .
89
90
95
96
99
104
105
108
109
111
118
119
119
120
124
130
134
136
141
142
147
145
146
149
152
153
159
161
162
9
Indice
Indice
4.8.8 Un atomo non ha memoria . . . . . . . . . . . 169
4.8.9 Amnesia discreta e continua . . . . . . . . . . . 170
4.8.10 Variabile aleatoria di Cauchy . . . . . . . . . . 173
5 Variabili aleatorie n dimensionali
5.1 Leggi di probabilità congiunte . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Variabili aleatorie bidimensionali . . . . . . . .
5.2 Speranza matematica condizionata di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 La retta di regressione e dei minimi quadrati . . . . . .
5.4 Variabile aleatoria normale bidimensionale . . . . . . .
5.5 Somma di due variabili aleatorie . . . . . . . . . . . .
5.6 La funzione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Teorema di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Esempi di funzione caratteristica di variabili aleatorie
note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 La funzione caratteristica in Rn . . . . . . . . . . . . .
175
175
181
6 Successioni di variabili aleatorie
6.0.1 Convergenza in probabilità . . . .
6.0.2 Convergenza in legge . . . . . . . .
6.0.3 Convergenza in media quadratica .
6.1 La legge dei grandi numeri . . . . . . . . .
6.2 Il caso “domato” . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Quando un campione è numeroso?
215
215
217
221
225
229
231
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Distribuzioni legate alla normale
7.0.2 La variabile aleatoria χ2 . . . . . . . . . . . . .
7.0.3 La distribuzione di t-Student . . . . . . . . . .
7.0.4 La distribuzione di Behrens-Fisher-Snedecor . .
7.0.5 La distribuzione Gamma . . . . . . . . . . . .
7.1 La distribuzione delle statistiche campionarie . . . . .
7.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Campioni e popolazioni e tecniche di campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Media e varianza empirica . . . . . . . . . . . .
187
189
193
198
199
205
209
210
23 5
235
241
246
248
250
250
250
251
10
Indice
Indice
7.1.4
Campione di Laplace -Gauss
. . . . . . . . . . 256
8 Stime e test d’ipotesi
8.0.5 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.0.6 Efficienza di uno stimatore . . . . . . . . . . .
8.0.7 La verosimiglianza e stimatori di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.0.8 Elementi della teoria dell’informazione . . . . .
8.0.9 Stimatore efficiente . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Statistica esaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Quantità di informazione di una statistica . . .
8.2 Stimatori bayesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Stime intervallari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Test d’ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Generalità sulla teoria dei test . . . . . . . . . .
8.5 Test tra ipotesi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 9
270
272
9 Catene di Markov il caso irriducibile
9.1 Primo esempio di convergenza . . . . . . . . .
9.2 Secondo esempio di non convergenza . . . . . .
9.3 Definizione di catena di Markov . . . . . . . . .
9.4 Grafico associato a una catena di Markov . . .
9.5 La matrice di transizione della catena . . . . .
9.6 Uso della matrice di transizione P . . . . . . .
9.7 Scrittura con vettori riga . . . . . . . . . . . . .
9.8 Scrittura con vettori colonna . . . . . . . . . .
9.9 Dallo stato n allo stato n + m. La matrice P m
9.10 Matrici stocastiche. Una osservazione . . . . . .
9.11 Catena di Markov irriducibile . . . . . . . . . .
9.12 Catena di Markov regolare . . . . . . . . . . . .
9.13 Legge invariante di una catena irriducibile . . .
9.14 Convergenza di una catena irriducibile . . . . .
9.15 Qual è il limite eventuale? . . . . . . . . . . . .
9.16 In termini di matrici . . . . . . . . . . . . . . .
9.17 Convergenza di una catena irriducibile . . . . .
9.18 Enunciati ed esempi . . . . . . . . . . . . . . .
337
337
340
341
342
345
346
346
347
331
348
350
352
352
355
356
357
357
357
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
274
278
281
287
294
301
304
316
317
321
Indice
Indice
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
Calcolo esplicito dello stato al tempo n .
Catene di Markov irriducibili periodiche
Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Catene di Markov riducibili . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
359
36 1
36 3
36 8
370
12
Presentazione degli autori
Indice
Introduzione
Decisamente la matematica è una disciplina ambiziosa, infatti ha sviluppato strumenti di una scienza impensabile: quella del caso. Immaginiamo una teoria razionale e coerente, che voglia rendere conto di
ciò che, per sua natura, è sfuggente e sembra inaccessibile alla ragione: il caso. Ora gli eventi casuali interessano al filosofo, che cerca di
dare risposta al quesito: il caso esiste nel mondo reale? La fisica, con
la teoria quantistica, introduce l’aleatorio all’interno stesso dei suoi
modelli di materia. La matematica, con la teoria delle probabilità, sviluppa indagini e fornisce mezzi di conoscenza del caso. La psicologia
si occupa dell’aleatorio ponendosi la questione se esso sia qualcosa di
reale o di soggettivo. Ogni persona d’altra parte fa delle congetture,
che poi giudica, su cui ragiona e poi regola i propri atti e interessi in
funzione delle loro probabilità , è quello che nella vita pratica ci accompagna costantemente. La filosofia segue un tipo di riflessione che
verosimilmente non si chiuderà mai. Anche se l’approccio al soggetto
viene affrontato dal filosofo in maniera interessante, questo ci aiuta
poco. La fisica quantistica propone un modello che non prova l’esistenza del caso e come la filosofia, non fornisce la definizione formale
del caso e non risponde alla questione della sua esistenza nel mondo.
Restano la matematica e la psicologia le due discipline sono più di
tutte in grado di farci scoprire e fare luce sull’aleatorio. Diversi domini della matematica studiano il caso. Le probabilità sono in grado di
“misurare” il caso, di predire se non i dettagli di un processo aleatorio,
almeno in grandi linee di fornirne alcune caratteristiche globali. Uno
dei meravigliosi risultati della teoria delle probabilità è che da eventi
casuali ne può scaturire una struttura, in altri termini da un insieme
disordinato si può scorgere un certo determinismo. Vedremo in questo
13
14
Introduzione
corso come la probabilità manipola il caso, quali sono le leggi, come
è possibile comprendere e usare i fenomeni aleatori.
Presentiamo, in forma chiara e accessibile, i fondamenti del calcolo
delle probabilità, presupponendo solo la conoscenza di elementi del
calcolo infinitesimale. Il testo è rivolto agli studenti delle Scuole di
Scienze Applicate e di Base, in particolare agli studenti della facoltà
di Ingegneria, Scienze Matematiche e Informatiche e Scienze Fisiche
e Naturali ed Economia.
Diamo ora in sintesi, una rassegna degli argomenti trattati nei
singoli capitoli, sarà sottinteso che per quasi ogni nuova nozione introdotta, viene accompagnata da esempi ed esercizi svolti.
Nel Capitolo 1 si costruisce l’ambiente matematico idoneo a definire la probabilità di un evento. Introducendo gli elementi fondamentali
di calcolo combinatorio, si è in grado poi di risolvere vari problemi e
di dare esempi.
Nei Capitoli 2 e 3 con gli assiomi di algebra e σ-algebra di probabilità e di σ-algebra probabilità subordinata, si dimostrano vari
teoremi utili, riguardanti la probabilità di variabili aleatorie discrete
e si prova il teorema della probabilità totale. Prendendo spunto da
alcuni giochi popolari: Superenalotto, Lotto, Winforlife.. se ne calcola la probabilità e si prova che in tutti i casi si tratta di giochi non
equi, si verifica l’inequità in dettaglio nel caso del gioco del Lotto e
Superenalotto. Infine si presenta la formula di Bayes, ricca di implicazioni. Si definisce poi il momento di qualunque ordine finito, con un
breve excursus storico sull’argomento. Dopo aver analizzato i modelli
classici di variabili aleatorie discrete, si definisce e si fornisce qualche
caratterizzazione del coefficiente di correlazione.
Nel Capitolo 4 si motiva l’uso dei modelli di variabili aleatorie
continue e mediante l’integrale di Riemann-Stieltjes si entra nell’ambito matematico dei modelli probabilistici di variabile aleatoria di tipo
continuo e assolutamente continuo. Si introducono, in questo ambito,
i momenti di qualunque ordine finito e le disuguaglianze di Hölder,
di Markov di Bienaymé-Tchebychev, si esaminano poi alcuni modelli
classici di variabile aleatoria continue, come la uniforme, di Laplace
Gauss, ed esponenziale.
Introduzione
15
Nel Capitolo 5 la nozione di variabile aleatoria si estende al caso
multidimensionale e si analizzano alcune leggi di probabilità congiunte. Si definisce la nozione di funzione caratteristica di una variabile
aleatoria uno e multidimensionale se ne sottolinea la ragion d’essere,
insieme e la sua utilità nella teoria delle probabilità e si dimostra il
teorema di inversione.
Il Capitolo 6 presenta vari tipi di convergenza: in Probabilità,
in Legge e in Media Quadratica. Il capitolo si chiude con la legge
forte dei grandi numeri e le dimostrazioni del teorema di Levy e del
fondamentale teorema del limite centrale definito come il teorema del
“caso domato”.
Il Capitolo 7 tratta di variabili aleatorie legate alla distribuzione
normale, introduce la nozione statistica secondo Fisher di un campione con brevi nozioni di tecniche di campionamento e la variabile
aleatoria χ2 , di T-student. La nozione di media e varianza campionaria si studiano nei dettagli, si dimostra l’interessante Teorema di
Geary, il capitolo si chiude con l’ovvia conseguenza del teorema di
Bernstein.
Nel Capitolo 8 mostra come usare i dati per stimare di alcuni
parametri di interesse e introduce la nozione di efficienza di una statistica e limite di Cramer-Rao. Si prosegue con la nozione di massima
verosimiglianza e di statistica esaustiva e di stima per intervalli. Gli
argomenti introdotti sono accompagnati da esempi. Poi si introducono
i test d’ipotesi semplici con il metodo di Neyman-Pearson, l’argomento è accompagnato da esempi sia teorici che numerici. Una buona
parte dell’ “arsenale” della teoria della probabilità viene impiegato in
questi ultimi capitoli, in un mixing di risultati teorici e di indirizzo
puramente pratico.
Nell’ultimo capitolo si trattano le catene di Markov. Alcuni esempi
ci faranno strada per capire due tipi di catene, quelle irriducibili e non
irriducibili con cui si chiude il capitolo.
16
Presentazione degli autori
Indice
Capitolo 1
Algebra degli eventi
1.1
Algebra di Boole
Definizione 1. Consideriamo una famiglia non vuota A e supponiamo che in A siano definite tre operazioni interne che indicheremo con
∩ , ∪ e c . La famiglia A si dice algebra di Boole, se sono verificati i
seguenti assiomi:
1) (A ∪ B) = (B ∪ A), (A ∩ B) = (B ∩ A), proprietà commutativa
di ∩ e ∪, ∀A, B ∈ A.
2) (A∪B)∪C = A∪(B ∪C), (A∩B)∩C = A∩(B ∩C), ∀A, B, C ∈
A, proprietà associativa.
3) A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A, ∀A, B, C ∈ A, proprietà
di assorbimento.
4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪
B) ∩ (A ∪ C), ∀A, B, C ∈ A proprietà distributiva di ∩ rispetto
a ∪ e viceversa.
5) (A ∩ c A) ∪ B = B, (A ∪ c A) ∩ B = B, ∀A, B ∈ A proprietà
del complementare.
Esempi di algebre di Boole:
1. Lo spazio euclideo n-dimensionale Rn con le ordinarie operazioni
di intersezione, unione e passaggio al complementare di sottoinsiemi
di Rn .
17
