Convergenza in distribuzione e teorema cen- trale di

Convergenza in distribuzione e teorema centrale di convergenza
• {Xn} = (X1, . . . , Xn, . . .) successione infinita di variabili aleatorie definite sullo stesso spazio di probabilità di X. Siano FXn
la funzione di ripartizione di Xn ed FX quella di X. La sucd
cessione converge in distribuzione ad X, Xn −→ X, se vale:
lim FXn (x) = FX (x)
n→∞
• Teoremi:
d
– g è una funzione continua e limitata: Xn −→ X se e solo
se E [g (Xn)] −→ E [g (X )]
– (Teorema di Levy-Cramér ) ψXn è la funzione caratteristica associata a ciascuna variabile aleatoria Xn della sucd
cessione {Xn}: Xn −→ X se e solo se limn→∞ ψXn (u) =
ψX (u)
– (Teorema Centrale di Convergenza o di Lindeberg-Levy)
{Xn} è una successione di variabili aleatorie indipendenti
ed ugualmente distribuite con E (Xn) = µ e Var (Xn) =
1 Pn
σ 2 < ∞, la variabile aleatoria X n = n
i=1 Xi è la media
aritmetica dei primi n elementi della successione
La successione
n
Xn
o
converge sempre in distribuzione a
2
σ
una variabile aleatoria X con valore atteso µ, varianza n
e densità normale:
d
X n −→ X ∼ N µ,
σ2
n
!
– (Teorema di de Moivre-Laplace) In un processo bernoulliano con probabilità di successo pari a p, al divergere del
numero delle prove n, la frequenza relativa dei successi
converge in distribuzione a una variabile aleatoria continua
1p 1 − p
con funzione di densità normale di parametri p e n
(
)