Convergenza in distribuzione e teorema centrale di convergenza • {Xn} = (X1, . . . , Xn, . . .) successione infinita di variabili aleatorie definite sullo stesso spazio di probabilità di X. Siano FXn la funzione di ripartizione di Xn ed FX quella di X. La sucd cessione converge in distribuzione ad X, Xn −→ X, se vale: lim FXn (x) = FX (x) n→∞ • Teoremi: d – g è una funzione continua e limitata: Xn −→ X se e solo se E [g (Xn)] −→ E [g (X )] – (Teorema di Levy-Cramér ) ψXn è la funzione caratteristica associata a ciascuna variabile aleatoria Xn della sucd cessione {Xn}: Xn −→ X se e solo se limn→∞ ψXn (u) = ψX (u) – (Teorema Centrale di Convergenza o di Lindeberg-Levy) {Xn} è una successione di variabili aleatorie indipendenti ed ugualmente distribuite con E (Xn) = µ e Var (Xn) = 1 Pn σ 2 < ∞, la variabile aleatoria X n = n i=1 Xi è la media aritmetica dei primi n elementi della successione La successione n Xn o converge sempre in distribuzione a 2 σ una variabile aleatoria X con valore atteso µ, varianza n e densità normale: d X n −→ X ∼ N µ, σ2 n ! – (Teorema di de Moivre-Laplace) In un processo bernoulliano con probabilità di successo pari a p, al divergere del numero delle prove n, la frequenza relativa dei successi converge in distribuzione a una variabile aleatoria continua 1p 1 − p con funzione di densità normale di parametri p e n ( )