INFERRE
COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Direttore
Corrado T
Università degli Studi di Palermo
Comitato scientifico
Giuseppe R
Università degli Studi di Palermo
Francesco R
University of Cape Town
Francesco T
Università degli Studi di Palermo
INFERRE
COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Credo che il calcolo delle probabilità sia l’unica branca della matematica in cui
buoni autori ottengono spesso risultati completamente sbagliati.
Charles P
La collana è orientata verso due direzioni diverse ma connesse tra
loro. La prima ha come obiettivo quello di trasferire gradualmente
al lettore (studente o meno) un messaggio preciso, anche se a prima
vista ovvio: i metodi della matematica pura sono fondamentali e formano il tessuto connettivo essenziale al calcolo delle probabilità e alla
statistica. Ciò non è scontato, perché si nota una carenza significativa
nel panorama editoriale italiano di testi orientati in tal senso. Questa
chiave di lettura, quindi, privilegia testi con linguaggio formale della
matematica pura nella teoria delle probabilità e della statistica matematica, senza escludere le applicazioni. I volumi sono pensati per gli
studenti delle scuole di matematica.
La seconda direzione, usando un linguaggio meno formale ma pur
sempre essenziale e rigoroso, riguarda l’applicazione del calcolo delle
probabilità e della statistica descrittiva a specifici temi, quali la teoria
dei giochi, le scienze naturali, la chimica, la farmacia, la medicina,
l’ingegneria, la biologia, la sociologia, l’economia e la finanza.
Corrado Tanasi
Calcolo delle probabilità
con elementi di Statistica matematica
Copyright © MMXIV
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
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via Quarto Negroni,
Ariccia (RM)
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I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: ottobre
Indice
Introduzione
11
1 Algebra degli eventi
1.1 Algebra di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elementi di calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . .
13
13
23
2 Probabilità di un evento
2.0.1 Legge del caso? . . . . . . . .
2.0.2 Lotto . . . . . . . . . . . . .
2.1 Probabilità subordinata . . . . . . .
2.2 Stupirsi di un evento poco probabile
2.2.1 Dove cade un fulmine? . . . .
2.3 Teorema delle probabilità totali . . .
2.4 Il problema della rovina del giocatore
2.5 Diagramma ad albero . . . . . . . .
2.6 Formula di Bayes . . . . . . . . . . .
33
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3 Variabili aleatorie discrete
3.1 Modelli discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Speranza matematica (o valore atteso) . . . . . . . . .
3.2.1 Speranza matematica e gioco equo . . . . . . .
3.2.2 Speranza matematica come operatore lineare .
3.2.3 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Speranza matematica di una funzione di una
variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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75
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68
Indice
Indice
INDICE
3.3.1 Notizie storiche e significato dei momenti . . .
3.4 Coefficiente di correlazione tra due variabili aleatorie .
3.5 Variabile aletoria di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . .
3.6 La variabile aleatoria polinomiale . . . . . . . . . . . .
3.7 La variabile aleatoria ipergeometrica . . . . . . . . . .
3.8 Probabilità di alcuni giochi popolari . . . . . . . . . .
3.8.1 Superenalotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 WinforLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Speranza matematica e varianza ipergeometrica . . . .
3.10 Variabile aleatoria geometrica . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Variabile aleatoria di Poisson . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 La distribuzione di Poisson come limite della
binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Modelli continui
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Variabile aleatoria qualunque . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Variabili aleatorie assolutamente continue . . . . . . .
4.5 Cenni sull’integrale di Riemann-Stieltjes . . . . . . . .
4.6 Momenti di una variabile aleatoria qualunque . . . . .
4.7 Disuguaglianza di Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Disuguaglianza di Markov e di BienaymÈ-Tchebychev
4.9 La mediana e i quantili . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.1 La variabile aleatoria uniforme . . . . . . . . .
4.10.2 La variabile aleatoria normale o di LaplaceGauss N (m, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.3 Cos’è normale? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.4 Ulteriori proprietà della Normale . . . . . . . .
4.10.5 Approssimazione normale alla distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.6 La tavola di Galton . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.7 Variabili aleatorie esponenziali . . . . . . . . .
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INDICE
Indice
Indice 79
4.10.8 Un atomo non ha memoria . . . . . . . . . . . 157
4.10.9 Amnesia discreta e continua . . . . . . . . . . . 158
4.10.10 Variabile aleatoria di Cauchy . . . . . . . . . . 161
5 Variabili aleatori n dimensionali
5.1 Leggi di probabilità congiunte . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Indipendenza multidimensionale . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Variabili aleatorie bidimensionali . . . . . . . .
5.3 Speranza matematica subordinata . . . . . . . . . . .
5.4 La retta di regressione e dei minimi quadrati . . . . . .
5.5 Variabile aleatoria normale bidimensionale . . . . . . .
5.6 Somma di due variabili aleatorie . . . . . . . . . . . .
5.7 La funzione caratteristica di una variabile aleatoria . .
5.8 Teorema di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Esempi di funzione caratteristica di variabili aleatorie
note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 La funzione caratteristica in Rn . . . . . . . . . . . . .
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6 Convergenza di successioni di variabili aleatorie
6.1.1 Convergenza in probabilità . . . . . . . .
6.1.2 Convergenza in legge . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Convergenza in media quadratica . . . . .
6.2 La legge dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . .
6.3 Il Teorema del limite centrale: il caso “domato” .
6.3.1 Quando un campione è numeroso? . . . .
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7 Distribuzioni legate alla normale
7.1.2 La variabile aleatoria χ2 . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 La distribuzione di t-Student . . . . . . . . . .
7.1.4 La distribuzione di Behrens-Fisher-Snedecor . .
7.1.5 La distribuzione Gamma . . . . . . . . . . . .
7.2 La distribuzione delle statistiche campionarie . . . . .
7.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Campioni e popolazioni e tecniche di campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Media e varianza empirica . . . . . . . . . . . .
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225
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240
240
242
810 Indice
Indice
7.2.4
INDICE
Campione di Laplace -Gauss
. . . . . . . . . . 246
8 Stime e test d’ipotesi
8.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Efficienza di uno stimatore . . . . . . . . . . .
8.1.3 La verosimiglianza e stimatori di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Elementi della teoria dell’informazione . . . . .
8.1.5 Stimatore efficiente . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Statistica esaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Quantità di informazione di una statistica . . .
8.3 Stimatori bayesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Stime intervallari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Test d’ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Generalità sulla teoria dei test . . . . . . . . . .
8.6 Test tra ipotesi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduzione
Decisamente la matematica è una disciplina ambiziosa, infatti ha sviluppato strumenti di una scienza impensabile: quella del caso. Immaginiamo dunque, una teoria razionale e coerente che voglia rendere
conto di ciò che, per sua natura, è sfuggente e sembra inaccessibile
alla ragione. Vedremo nel corso di questo libro come la probabilità
manipola il caso, quali le loro leggi, come è possibile comprendere e
anche utilizzare i fenomeni aleatori.
Ma perchè un nuovo testo dedicato al Calcolo delle Probabilità?
L’editoria di questi anni, dopo un periodo di carenza su questo soggetto, con l’eccezione di qualche illustre predecente ormai datato, ha
rapidamente colmato la lacuna con saggi di buon livello, sia di autori italiani che di validi testi tradotti soprattutto dall’inglese. Allora
perchè un altro testo se già esiste un’ottima produzione bibliografica
al riguardo? Ora per chi è stato o è docente da molti anni, un opera
di più non appare sorprendente, nel corso degli anni si acquista sensibilità e “gusto” e un modo personale di trattare gli argomenti che
sono sparsi qui e lì, ma non si trovano tutti in unico testo tra quelli
visitati e/o adottati nel corso di molti anni. Allora la tentazione almeno di provare a mettere insieme quei temi secondo il proprio modo
di vedere le cose, è forte. Ma rappresenta anche un omaggio ai tanti
anni di lavoro su questo soggetto e ai tantissimi studenti che si sono
formati nei vari anni. I gusti personali sono sempre opinabili e anche
in questo caso lo sono, ma qualunque sia l’opinione che si possa avere
in proposito, la pluralità dei modi in cui gli argomenti sono presentati,
costituisce almeno un valore aggiunto nel panorama editoriale. Il gusto personale è basato sulla prevalenza del metodo matematico usato
in forma chiara, accessibile, coivolgente e accompagnato da esempi
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Introduzione
Capitolo 0. Introduzione
e richiami storici. Il testo si rivolge principalmente agli studenti delle lauree triennali nelle Facoltà di Ingegneria, Scienze Matematiche,
Fisiche e Naturali, Scienze Economiche.
Nel Capitolo 1 si introduce l’ambiente matematico adatto per definire la probabilità di un evento. Con gli elementi di calcolo combinatorio poi si pongono le basi del calcolo delle probabilità sul discreto.
Nel Capitolo 2 si enunciano gli assiomi della teoria delle probabilità e vari teoremi utili nel calcolo delle probabilità sul discreto, si
trattano alcuni esempi di giochi popolari: superenalotto, lotto..
Nel Capitolo 3 è il fulcro dello studio delle variabili aleatorie discrete e si introduce la nozione di momenti di qualunque ordine, con
il significato dei momenti introdotto da Fisher ecc... accompagnato
dai principali teoremi.
Nel Capitolo 4 si motiva l’introduzione dei modelli continui e
con l’integrale di Stieltjes si entra nell’ambiente matematico dei modelli continui. Si studiano i modelli più importanti, con un numero
adeguato di esempi.
Nel Capitolo 5 e 6 e 7 si introducono le leggi di probabilità congiunte, la funzione caratteristica a una o più variabili e le convergenza
di successioni di variabili aleatorie, si dimostra l’importante teorema del limite centrale e si studiano le variabili aleatorie legate alla
distribuzione normale.
Nel Capitolo 8 mostra come usare i dati per la stima di alcuni
parametri di interesse, introducendo le nozioni di efficienza di una
statistica e limite di Cramer-Rao, di massima verosimiglianza, di statistica esaustiva e di stime per intervalli. Gli argomenti trattati sono
accompagnati da esempi. Si fornisce poi un’introduzione ai test d’ipotesi semplici con il metodo di Neyman-Pearson con esempi sia teorici
che numerici. Una buona parte dell’“aresenale” del calcolo delle probabilità viene impiegato in questi ultimi capitoli mescolando risultati
teorici a quelli di indirizzo meramente pratico.
Rigraziamento: Un profondo e sentito grazie devo a due miei
studenti (di cui non ho i nomi), che in un anno accademico ormai
lontano, hanno elaborato gli appunti delle mie lezioni e che ho usato
come traccia per questo testo.
