Programma di esame del corso di Probabilità e Statistica
Anno accademico 2008/ 2009
Corso di laurea triennale in Matematica, 3 anno, Facoltà di Scienze matematiche,
fisiche e naturali, Università degli Studi di Trieste
Docente: Dott. Claudio Asci
Probabilità
Algebre, -algebre, funzioni di insieme. Misure, spazi misurabili, spazi di
misura. -algebra di Borel e misura di Lebesgue. Teorema di estensione di
Carathéodory. Probabilità, spazi di probabilità, eventi. -sistemi e d-sistemi.
Lemma di Dynkin. Criterio di Carathéodory. Lemma di Fatou e lemma di
Fatou inverso per insiemi. 1 teorema di Borel-Cantelli.
Funzioni misurabili: definizione e proprietà. Funzioni boreliane. Misura
immagine. -algebra generata da una famiglia di funzioni. Teorema della
classe monotona. Funzioni (Y)-misurabili e criterio di Doob.
Integrale di Lebesgue. Funzioni integrabili e semintegrabili. Teorema di
Beppo-Levi, lemma di Fatou, lemma di Fatou inverso, teorema di Lebesgue,
teorema di Scheffé. Misura definita da una densità. Prodotto di spazi di
misura. Prodotto di misure definite da densità. Teorema di Tonelli.
Diffeomorfismi e cambiamenti di variabili.
Variabili aleatorie e vettori aleatori. Leggi e funzioni di ripartizione di
variabili e vettori aleatori. Leggi marginali e congiunte. Variabili aleatorie
identicamente distribuite. Variabili aleatorie discrete e continue. Densità di
probabilità. Moda. Vettori aleatorie discreti e continui. Densità marginali e
congiunte. Composizione di un vettore aleatorio continuo con
diffeomorfismi. Convoluzione di leggi e di densità.
Indipendenza di variabili aleatorie, eventi, -algebre: definizione e proprietà.
Criteri di indipendenza. 2 teorema di Borel-Cantelli. -algebra di coda.
Teorema 0-1 di Kolmogorov.
Media di una variabile aleatoria: definizione e proprietà. Media della
composizione di funzioni misurabili. Media di una variabile aleatoria
continua. Media di una variabile aleatoria discreta. Disuguaglianze di Jensen,
di Cauchy-Schwarz, di Hölder, di Minkowski. Media del prodotto di
1
variabili aleatorie indipendenti. Media di una variabile aleatoria non
negativa. Momenti, momenti centrali, momenti assoluti, momenti fattoriali.
Quantili, mediana, quartili, midrange.
Covarianza e varianza: definizione e proprietà. Scarto quadratico medio.
Coefficiente di correlazione. Matrice di covarianza. Variabili aleatorie non
correlate. Disuguaglianze di Markov e di Tchebycheff.
Probabilità condizionata. Leggi, densità, funzioni di ripartizione
condizionate. Formule di Bayes. Formula delle alternative. Media
condizionata.
Esempi di variabili aleatorie discrete: variabile aleatoria uniforme discreta, di
Bernoulli, binomiale, geometrica, di Pascal, di Poisson, ipergeometrica.
Esempi di variabili aleatorie continue: variabile aleatoria uniforme continua,
gamma, beta, esponenziale, di Cauchy, normale, chi-quadrato, t di Student.
Funzione generatrice di probabilità. Funzione generatrice dei momenti.
Variabili aleatorie complesse. Funzione caratteristica. Calcolo dei momenti.
Convergenza quasi certa, in media, in probabilità, in legge. Teorema di Paul
Lévy. Legge debole e legge forte dei grandi numeri. Teorema limite centrale
ed approssimazione normale.
Statistica
Popolazioni e campioni. Spazio dei parametri. Statistiche. Media, mediana,
varianza, scarto quadratico medio, momenti campionari. Statistiche d’ordine.
Concetto di inferenza statistica. Verosimiglianza. Stimatori puntuali. Metodi
di ricerca degli stimatori puntuali: metodo dei momenti e metodo di massima
verosimiglianza. Proprietà degli stimatori puntuali: correttezza, consistenza,
efficienza. Distorsione. Errore quadratico medio.
Intervalli di confidenza e stima per intervalli. Campionamento dalla
distribuzione normale: intervalli di confidenza per la media e per la varianza.
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