TFA - geometria - tecniche di conteggio Francesca Merola merola

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TFA - geometria - tecniche di conteggio
Francesca Merola
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Attività
Ad Alice piace andare a da casa a scuola facendo ogni giorno un percorso
differente: le possibili strade sono rappresentate in figura. Sapendo che la sua casa
è in (0, 0), la scuola è in (7, 4), e che Alice si sposta sempre di un’unità verso destra
o di un’unità verso l’alto, quanti sono i possibili percorsi da casa a scuola?
(7, 4)
(0, 0)
Esercizi su coefficienti binomiali
Mostrare che si ha:
n 2
k=0 k
Pn
2n
n
;
2. nk kl = l n−l
k−l ;
n Pk
m
m+m
3.
;
i=0 i
k−i =
k
Pn
n
n−1 .
4.
k=1 k k = n2
1.
=
n
1
Attività
“Trovare” nel triangolo di Tartaglia i numeri triangolari, i quadrati, i numeri
di Fibonacci.
Figure 1: Il triangolo di Tartaglia/Pascal
Esercizi
1. Sia Fn l’n-mo numero di Fibonacci.
(a) Ci sono n sedie in fila. Mostrare che il numero di modi di scegliere un
sottoinsieme di sedie senza che ce ne siano due consecutive è dato da
Fn+1 .
(b) Mostrare che si ha Fn2 − Fn+1 Fn−1 = (−1)n per n ≥ 1.
P
(c) Mostrare che si ha ni=0 Fi = Fn+2 − 1.
2. Trovare la successione che soddisfa la ricorrenza lineare
gn = 5gn−1 − 6gn−2
con le condizioni iniziali g0 = 1, g1 = 2.
2
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