Primi esercizi sui numeri reali
1. Mostrare che, se un numero naturale non è un quadrato perfetto, la sua radice
quadrata è un numero irrazionale algebrico.
2. Mostrare che, se p ∈ N è un numero primo, il numero log10 p è irrazionale.
3. Siano α e β due numeri reali irrazionali. Che cosa si può dire circa l’irrazionalità
dei numeri α + β, αβ, 1/α ?
4. Si considerino due numeri naturali di cui almeno uno non sia un quadrato perfetto.
Mostrare che la somma delle loro radici quadrate è un numero irrazionale algebrico.
5. Sia α un numero reale e sia n un numero naturale. Mostrare che esiste un intero
relativo m (ovviamente dipendente da α) tale che il numero razionale m/n disti da α non
1
.
più di
2n
6. Per quali interi positivi n la rappresentazione decimale del numero n300 non ha più
di 100 cifre?
7. Sia α il numero (positivo) tale che log10 α = 3, 3 . Quante cifre ha, in rappresentazione decimale, la parte intera del numero α2 ?
8. Mostrare che non è possibile ordinare i numeri razionali positivi in una successione
che risulti monotona.
