Esercizi di algebra superiore

Esercizi di algebra superiore.
1. Sia L=sl(2,F), con F campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Sia V un L-modulo
non necessariamente di dimensione finita. Siano e1,…,ek autovettori di h di autovalori
rispettivamente λ1,…,λk con λi≠ λj per i≠j. Sia U=Span(e1,…,ek) e W un sottomodulo di V.
Dimostrare che se U∩W≠0 allora W contiene almeno uno degli ei (potrà essere utile il
determinante di Vandermonde).
2. Si vuole verificare che il teorema di Weyl non vale per moduli di dimensione infinita. Sia
quindi V lo spazio vettoriale avente base v0, v1,…di cardinalità numerabile. Si ponga
h.vi =(λ-2i) vi
x.vi =i(λ-i+1) vi-1
y.vi =vi+1
dove v-1=0 e λ è un elemento di F. (Sono le stesse definizioni usate a lezione per costruire i
moduli irriducibili di dimensione finita). Chiamiamo Z(λ) questo L-modulo.
(a) Verificare che ogni sottomodulo contiene un vettore massimale (cioè annullato da x).
(b) Se λ+1=i è un intero positivo mostrare che vi è un vettore massimale.
(c) Mostrare che esiste un unico L-omomorfismo f:Z(λ-2i)→Z(λ) tale che f(v0)= vi e che tale
L-omomrfismo è iniettivo.
(d) Mostrare che Im(f) e Z(λ)/Im(f) sono irriducibili, ma Z(λ) non è completamente
riducibile.
(e) Mostrare che se λ+1 non è un intero positivo allora Z(λ) è irriducibile.
3. Sia L un’algebra di Lie scelta a caso tra B1, C2, D2.
(a) Determinare un’algebra H torale massimale;
(b) Descrivere le radici di L e la decomposizione di Cartan di L;
(c) Decomporre L come somma di sottoalgebre di Lie isomorfe a sl(2,F). che si intersecano
in H