Esercizi per il corso di Algebra 2 Foglio 2 1 Esercizi da consegnare 1. Mostrare che K[x, y] con K campo è un Noetheriano ma non è un PID. (Più in generale: Sia A un anello, mostrare che A è un campo se e solo se A[x] è un PID.) 2. Mostrare che in un PID D le seguenti tre affermazioni sono equivalenti: (a) a 6= 0 e (a) ideale massimale; (b) a 6= 0 e (a) ideale primo; (c) a è un elemento primo di D; (d) a è un elemento irriducibile di D. 3. Mostrare che l’anello dei polinomi K[x] a coefficienti in un campo K con la funzione δ(p(x)) = deg p(x) è euclideo. 4. Mostrare che Z[x] è un UFD ma non è un PID. √ 5. Trovare, se possibile, in Z[ −6]: • Un irriducibile che non sia primo; • due elementi non nulli a, b tali che M CD(a, b) non esista; • due √ elementi a, b tali che M CD(a, b) = 1 ma non esistono α, β ∈ Z[ −6] tali che aα + bβ = 1. 2 Altri esercizi 1. Mostrare che se I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·, è una catena ascendente di ideali di un anello A, allora I = ∪Ii è un’ideale A. 2. Mostrare che due elementi a, b di un dominio A ammettono due MCD d e d0 se e solo se d è associato a d0 . 3. Determinare gli invertibili di R[x]/(x2 + 1). 4. Sia A = C[x]/(x2 − x). • Si determini il gruppo A∗ degli elementi invertibili di A; 1 • Si ponga N = {[a]|a ∈ C∗ }. Si faccia vedere che N è un sottogruppo di A∗ , e che ogni elemento di A∗ è congruo modulo N ad un unico elemento dell’insieme {[ax − 1]|a ∈ C}; • Si mostri che per ogni n ≥ 1 esistono esattamente n2 elementi a ∈ A∗ con an = 1. 5. Calcolare il resto di 77126 modulo 10, il resto di 55400 modulo 12 e il resto di 10547 6. Trovare il più piccolo intero positivo k tale che k ≡ 7 (mod 25), e k ≡ 33 (mod 162). 7. Trovare il più piccolo intero positivo k tale che k ≡ 1 (mod 5), k ≡ 2 (mod 7), e k ≡ 5 (mod 12). 8. Sia m un intero maggiore di 1. (a) Dimostrare che se m è un prodotto di primi distinti (ossia se nella scomposizione in fattori primi di m nessun primo appare con esponente maggiore di 1) per ogni intero a si ha che aδ(m)+1 ≡ a (mod m). Cenno di soluzione: Questo è il teorema di Fermat se m è primo. Cercate di ridurvi a questo caso. (b) Fate vedere che questo enunciato è falso se m è il quadrato di un primo. 9. Sia R = K[x1 , x2 , . . . , xn . . .] l’anello dei polinomi su infinite variabili. Mostrare che R non è Noetheriano. 10. Sia D un domino di integrità e sia M := {(a, b)|a, b ∈ D}. Definiamo in M la seguente relazione: (a, b) ∼ (c, d) se e solo se ad = bc. (a) Mostrare che ∼ è una relazione di equivalenza; (b) Mostrare che M/ ∼ è un campo (tale campo si chiama Campo delle Frazioni associato a D); (c) Mostrare che il campo delle frazioni dell’anello R definito nell’Esecizio 9 é Noetheriano (da qui si può dedurre che un sottoanello di un Noetheriano non è necessariamente Noetheriano). √ √ 11. Decidere se 5 è irriducibile in Z, Z[x], Z[ −1], Z[ −2]. 12. Mostrare che (x2 + 1, y) ⊂ R[x, y] è un ideale massimale. 13. Sia f (x, y) = x2 + y 2 − 1 ∈ Q[x, y]. (a) Dimostrare che f è irriducibile in Q[x, y]; (b) Dimostrare che l’ideale (f ) non è massimale in Q[x, y]. 2