IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

IL TRIANGOLO
DI TARTAGLIA
Cecilia Leto
BIOGRAFIA
Niccolò Fontana conosciuto come Tartaglia, nacque nella città di
Brescia nell'anno 1499 circa, in una famiglia poverissima.
Stava per morire a dodici anni a causa di orrende ferite facciali,
che tagliarono la sua mascella e il palato durante l’assedio da
parte dei francesi nel 1512. Le cure della madre assicurarono che
il giovane potesse sopravvivere, ma nel corso della vita Niccolò
portò sempre la barba per nascondere le sue ferite
e poté solo parlare con difficoltà: gli venne, perciò,
affibbiato il soprannome Tartaglia, che significa
proprio balbuziente. Niccolò Tartaglia fu
autodidatta in matematica e, avendo una
straordinaria abilità, fu capace di guadagnarsi da
vivere insegnando a Verona e a Venezia.
Partecipò a un gran numero di dibattiti.
Niccolò Tartaglia fu oggetto di attenzioni da parte di Gerolamo
Cardano, che nel marzo del 1539 lo invitò a Milano e si fece
confidare la famosa formula, dietro la promessa che non ne
avrebbe parlato ad alcuno. Basandosi sulla formula di Tartaglia,
Cardano e Ludovico Ferrari, il suo assistente, fecero grandi
progressi trovando conferma di tutti i casi della cubica e, persino
risolvendo l'equazione quartica. Tartaglia non si mosse a
pubblicare la sua formula. Molto probabilmente egli desiderava
tenere la sua formula di scorta per un eventuale dibattito.
Nel 1545 Cardano pubblico "Ars magna" conosciuta per le
soluzioni cubiche e le equazioni quartiche e tutto il lavoro
addizionale che egli aveva completato dalla formula di Tartaglia.
Oggi la formula per risolvere la
cubica viene chiamata formula di
Cardano-Tartaglia. Tuttavia,
Tartaglia diede un contributo alla
matematica anche in altri campi.
Morì a Venezia il giorno 13
dicembre 1557.
IL TRIANGOLO DI
TARTAGLIA/ PASCAL
IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA O DI PASCAL
x
Se indichiamo con x e y due numeri successivi
posti su di una stessa riga, l’elemento posto tra
essi, nella riga immediatamente al di sotto, è la
loro somma.
y
x+y
ESEMPIO
1
1
4
6
4
1
1+4
4+6
6+4
4+1
5
10
10
5
1
COEFFICIENTI BINOMIALI
Gli elementi del triangolo di Tartaglia sono detti
coefficienti binomiali poiché coincidono con i
coefficienti delle potenze di un binomio.
Riga
Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b)
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
(a+b)0 = 1
(a+b) =1a+1b=a+b
(a+b)2 =1a2 +2ab+1b2
(a+b)3 =1a3 +3a2b+3ab2 +1b3
(a+b)4 =1a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3 +1b4
(a+b) =1a5+5a4b+10a3b2 +10a2b3 +5ab4 +1b5
(a+b) =1a6 +6a5 b+15a4b2 +20a3b3 +15a2b4 +6ab5 +1b6
I numeri che compaiono nel triangolo di Tartaglia hanno
moltissime applicazioni: possono essere usati, per esempio, per
risolvere problemi di probabilità. Possiamo calcolare la potenza
n-esima di un binomio utilizzando il triangolo.
(A + B)1 = 1 A + 1 B
(A + B)2 = 1 A2 + 2 AB + 1 B
(A + B)3 = 1 A3 + 3 A2B + 3 AB2 + A B3
1 1
2 1 2 1
1 3 3 1
- I coefficienti di (A+B)1 coincidono con i numeri della riga 1 del
triangolo di Tartaglia
- I coefficienti di (A+B)2 coincidono con i numeri della riga 2 del
triangolo di Tartaglia
- I coefficienti di (A+B)3 coincidono con i numeri della riga 3 del
triangolo di Tartaglia
POTENZA n-ESIMA DI UN BINOMIO
Lo sviluppo della potenza m-esima di (A+B) è un polinomio
omogeneo di grado n. ordinato secondo le potenze decrescenti di A
e crescenti di B, i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del
triangolo di Tartaglia.
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+ b2
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
(a+b)5= a5 + 5a4b + 10a3b2 +10 a2b3+ 5ab4 +b5
ESEMPIO
(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
(x2 + 2)5 = x10 + 10 x8 + 40 x6 + 80 x4 + 80 x2 +32
FINE