Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

Università di Bergamo
Primo anno di Ingegneria
Anno accademico 2016–2017
Foglio 9
Geometria e Algebra Lineare
Autovalori, autovettori e diagonalizzazione
Esercizio 9.1. Trovare gli autovalori e gli



0 0 1
1



0 0 0 ,
1
A=
B=
0 1 0
2
autovettori delle matrici



0
0
1 1 1
2 −1  e C =  0 2 1  .
2 −1
0 0 3
Tali matrici sono diagonalizzabili?
Esercizio 9.2. Calcolare autovalori e autovettori delle 3 matrici seguenti. Dire per
ciascuna se sono diagonalizzabili.


10 −2 −11
5
16 
A1 =  −12
12 −2 −13


10
5 −4
4 
A2 =  −12 −7
12 10 −1


3 −2
1
3
5 
A3 =  10
−10
4 −4


1
Esercizio 9.3. Determinare i valori di k per i quali x =  1  è un autovettore di
2


1−k 0
0
A =  −1 2 −1 
−k 2 −1
Dire se, per tali valori di k, la matrice A è diagonalizzabile.
1
Esercizio 9.4. Per rendersi conto del fatto che non c’è alcun legame tra la diagonalizzabilità di una matrice e l’annullarsi o meno del suo determinante, esibire quattro matrici
quadrate di ordine 4 con le seguenti proprietà:
(a) diagonalizzabile e con determinante nullo;
(b) non diagonalizzabile e con determinante nullo;
(c) diagonalizzabile e con determinante non nullo;
(d) non diagonalizzabile e con determinante non nullo.
Esercizio 9.5. Par quali valori di a la matrice


1 1 0
A =  a a −a 
0 1 1
si può scrivere come A = SΛS −1 , con Λ diagonale e S invertibile? Determinare in tal
caso S e Λ.
Esercizio 9.6. Per quali valori di t le matrici




t 1 0
3
−1
−1
A= 1 0 t  e B = t−1 t+3 t+1 
0 1 t
−t
−t 2 − t
sono diagonalizzabili?
Esercizio 9.7. Determinare una base ortonormale di autovettori della matrice
√ 1√ −2 2
.
A=
3
−2 2
Esercizio 9.8. Determinare (per i valori di
male di autovettori di

2

0
A=
3−k
k per i quali è possibile) una base ortonor
0 1+k
4
0 .
0
2
Esercizio 9.9. Trovare una matrice A che abbia
 
1

0  come autovettore relativo all’autovalore 1;
h1 =
1 
 
0
0



1 , h3 =
1  come autovettori relativi all’autovalore 2.
e h2 =
0
2
2