Algebra delle matrici

Algebra delle Matrici
Matrice inversa
Una matrice è invertibile solo se il suo determinate è diverso da 0,
l’inversa di una matrice quadrata A è un'altra matrice quadrata
indicata con A1 .
La matrice inversa è tale che:
1
A A  I
Matrice identità
1
A A I
Autovalori e autovettori
Considerata una matrice quadrata A di ordine n, ci si chiede sotto quali
condizioni esistono un vettore x e uno scalare λ tali che il vettore Ax sia
proporzionale a x secondo il numero λ, cioè:
autovalore
Ax  x
autovettore
Autovalori e autovettori
La precedente è soddisfatta dal vettore x=0 per qualsiasi λ; cerchiamo,
se esistono, altre soluzioni. Si può scrivere:
 A  I x  0
Essa è l’equazione caratteristica. Si tratta di una equazione di
grado n dell’incognita λ.
Autovalori e autovettori
Ad esempio considerata la matrice A
2  2 3 


A  1 1
1
 1 3  1


L’equazione caratteristica è:
2 2
1
1 
1
3
3
1
1 
calcolando il determinante, ad esempio con la regola di Sarrus:
 3  22  5  6  (  1)(  2)(  2)  0
Gli autovalori sono le tre soluzioni distinte dell’equazione precedente e
precisamente:
1  1
2  2
3  3
0
Norma vettoriale
||x|| dato un vettore restituisce un valore
reale
Proprietà
 ||x||=>0
 ||x||=0 se e solo se x=0
 ||x+y|| <=||x||+||y||
 ||ax||=|a| ||x||>=0

Tipi di norma vettoriale
|| x ||1  i 1 | x || x1 |  | x2 | .... | xn |
n

Norma1

Euclidea

infinito
|| x || 2  xx
T
|| x ||   max | xi |