Esame Algebra Lineare 2015

Master in insegnamento della matematica nella scuola
media
Esame di Ammissione 2015
Algebra lineare
Supporti consentiti
I materiali ausiliari ammessi sono una calcolatrice senza funzionalità CAS (Computer Algebra
System) e un formulario matematico.
1. Sono date le seguenti matrici:
𝟏
𝟏
𝟑
−𝟏 𝟏 −𝟏
−
−
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝑩=
,
𝑪
=
(
)
,
𝑫
=
(
𝟏 𝟏
𝟓
𝟏 𝟏 𝟏)
𝟎
𝟐
𝟐
−
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎
𝟏 )
( 𝟎
a. Associa a ciascuna delle matrici il corretto insieme di autovalori, scelto tra i seguenti. Giustifica
a parole e/o tramite un calcolo ciascuna risposta.
𝟑
𝟐 𝟏
𝑨 = (−𝟐 −𝟏 𝟏) ,
𝟏
𝟏 𝟎

{𝟑, 𝟎, 𝟎}

{𝟏, 𝟏, 𝟏}

{−𝟏, 𝟐, 𝟏}

{𝟑, 𝟐, 𝟏}

{𝟏, 𝟐 , −𝟏}

{𝟎, 𝟏, 𝟏}
𝟏
b. Per ciascuna delle seguenti affermazioni indica se è vera o falsa e giustifica a parole e/o tramite
un calcolo.

𝑫 = 𝑫𝑻 quindi 𝑫 è invertibile.

𝑩 è invertibile.

𝑨 è l’inversa di 𝑪.

La matrice 𝑩 è idempotente, ovvero 𝑩 ∙ 𝑩 = 𝑩.

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨.

𝐝𝐞𝐭(𝑨) = −𝟐
c. Calcola gli autovettori di A relativi a uno dei suoi autovalori a tua scelta.
Master Matematica – Esame Analisi 2015
2/2
𝟏 𝟐 𝟏 −𝟏
2. È data l’applicazione lineare reale 𝒇 definita dalla matrice 𝑨 = (
).
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏
a. Determina l’insieme di definizione e lo spazio delle immagini dell’applicazione 𝒇.
𝟎
b. Trova tutti i vettori 𝒙 tali che 𝒇(𝒙) = ( ).
𝟎
𝟏
c. Trova tutti i vettori 𝒙 tali che 𝒇(𝒙) = ( ).
𝟐
3. È dato il piano 𝜶: 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟐 = 𝟎 e il punto 𝑷(𝟏, 𝟐, 𝟏). Determina le coordinate del punto 𝑩
opposto di 𝑷 rispetto al piano 𝜶.
MSc Matematica – Esame Analisi 2015