Esame Algebra Lineare 2015

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Master in insegnamento della matematica nella scuola
media
Esame di Ammissione 2015
Algebra lineare
Supporti consentiti
I materiali ausiliari ammessi sono una calcolatrice senza funzionalità CAS (Computer Algebra
System) e un formulario matematico.
1. Sono date le seguenti matrici:
𝟏
𝟏
πŸ‘
βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’πŸ
βˆ’
βˆ’
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝑩=
,
π‘ͺ
=
(
)
,
𝑫
=
(
𝟏 𝟏
πŸ“
𝟏 𝟏 𝟏)
𝟎
𝟐
𝟐
βˆ’
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎
𝟏 )
( 𝟎
a. Associa a ciascuna delle matrici il corretto insieme di autovalori, scelto tra i seguenti. Giustifica
a parole e/o tramite un calcolo ciascuna risposta.
πŸ‘
𝟐 𝟏
𝑨 = (βˆ’πŸ βˆ’πŸ 𝟏) ,
𝟏
𝟏 𝟎
ο‚·
{πŸ‘, 𝟎, 𝟎}
ο‚·
{𝟏, 𝟏, 𝟏}
ο‚·
{βˆ’πŸ, 𝟐, 𝟏}
ο‚·
{πŸ‘, 𝟐, 𝟏}
ο‚·
{𝟏, 𝟐 , βˆ’πŸ}
ο‚·
{𝟎, 𝟏, 𝟏}
𝟏
b. Per ciascuna delle seguenti affermazioni indica se è vera o falsa e giustifica a parole e/o tramite
un calcolo.
ο‚·
𝑫 = 𝑫𝑻 quindi 𝑫 è invertibile.
ο‚·
𝑩 è invertibile.
ο‚·
𝑨 è l’inversa di π‘ͺ.
ο‚·
La matrice 𝑩 è idempotente, ovvero 𝑩 βˆ™ 𝑩 = 𝑩.
ο‚·
𝑨 βˆ™ 𝑩 = 𝑩 βˆ™ 𝑨.
ο‚·
𝐝𝐞𝐭(𝑨) = βˆ’πŸ
c. Calcola gli autovettori di A relativi a uno dei suoi autovalori a tua scelta.
Master Matematica – Esame Analisi 2015
2/2
𝟏 𝟐 𝟏 βˆ’πŸ
2. È data l’applicazione lineare reale 𝒇 definita dalla matrice 𝑨 = (
).
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏
a. Determina l’insieme di definizione e lo spazio delle immagini dell’applicazione 𝒇.
𝟎
b. Trova tutti i vettori 𝒙 tali che 𝒇(𝒙) = ( ).
𝟎
𝟏
c. Trova tutti i vettori 𝒙 tali che 𝒇(𝒙) = ( ).
𝟐
3. È dato il piano 𝜢: πŸπ’™ βˆ’ π’š + 𝒛 βˆ’ 𝟐 = 𝟎 e il punto 𝑷(𝟏, 𝟐, 𝟏). Determina le coordinate del punto 𝑩
opposto di 𝑷 rispetto al piano 𝜢.
MSc Matematica – Esame Analisi 2015
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