Universit`a Politecnica delle Marche Matematica 2 (Algebra Lineare)

Università Politecnica delle Marche
Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica (Nettuno)
Anno Accademico 2006/2007
Matematica 2 (Algebra Lineare)
Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N. matr.:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ancona, 20 luglio 2007
Lo studente svolge ciascun tema e risponde alle domande in modo sintetico,
ma completo.
1. (15 pt) Sistemi omogenee.
(a) definire quando un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo;
(b) descrivere l’algoritmo per trovare la soluzione generale del sistema
AX = 0 dove A è una matrice arbitraria n × m;
(c) dimostrare che la soluzione generale del sistema omogeneo AX = 0
è un sottospazio vettoriale di Rm (Teorema 4.4) e spiegare come si
trova una base per tale sottospazio;
(d) quale condizione deve soddisfare la matrice A (n × m) per avere il
sistema AX = 0 soluzioni non nulle; e se la matrice A è quadrata
(n = m)?
(e) indicare per quali valori del parametro
soluzioni non nulle dove
⎧⎛
⎨ 0 k
A = ⎝ 1 −k
⎩
1 0
k il sistema AX = 0 amette
⎞⎫
1 ⎬
0 ⎠ .
⎭
1
2. (15 pt) Autovalori ed autovettori.
(a) definire gli autovalori e gli autovettori di una matrice A;
(b) definire il polinomio caratteristico di A;
(c) descrivere l’algoritmo per il calolo degli autovalori ed gli autovettori
spiegando i concetti di moltiplicità algebrica e geometrica di un autovalore;
(d) definire quando una matrice si dice diagonalizzabile; indicare il criterio che ci permette a stabilire se una matrice è diagonalizzabile;
1
(e) trovare tutti gli autovalori e autovettori della matrice
⎞
⎛
2 −1 0
A=⎝ 0 2 1 ⎠
0 0 1
e spiegare se matrice A è diagonalizzabile.
Parte 2
1. (7 pt) Dato il piano π in R3 definito dalla seguente equazione cartesiana
−2x + y = 3 − 2y
(a) trovare l’equazione del piano π , parallelo ad π che passa per il punto
P = (0, 0, −1);
(b) trovare la retta passante per P e ortogonale ai piani π e π .
2. (7 pt) Trovare la soluzione del seguente sistema lineare, utilizzando l’eliminazione
di Gauss:
⎧
x+z+t=1
⎪
⎪
⎨
x + 3z + t = 0
y+t=0
⎪
⎪
⎩
2x − y = −1.
3. (9 pt) Sia e1 , e2 , e3 la base canonica di R3 . Data l’applicazione lineare
T : R3 → R3 tale che
T (e1 ) = e1 − e3 ,
T (e2 ) = −e1 + e2 ,
T (e3 ) = e2 − e3 ;
(a) trovare la matrice associata rispetto alla base canonica;
(b) tovare una base per lo spazio immagine e per il nucleo.
4. (7 pt) Dire se i seguenti vettori in R4 sono linearmente indipendenti e
determinare una base per il loro span.
u1 = (1, 0, 2, −2);
u2 = (−2, 3, 1, 0);
2
u3 = (2, −1, 0, 2);
u4 = (1, 2, 3, 0).