GEOMETRIA 1 - sesta parte

GEOMETRIA 1
sesta parte
Cristina Turrini
C. di L. in Fisica - 2014/2015
Cristina Turrini (C. di L. in Fisica - 2014/2015)
GEOMETRIA 1
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Siano V e W spazi vettoriali f.g. sul campo K con n = dim(V), m = dim(W)
e sia f : V → W un’appplicazione lineare.
PROBLEMA - Esistono basi B di V e C di W tali che la matrice
rappresentativa di f in queste basi sia "particolamente semplice", ossia di
elementi
aij = 1 se i = j = 1, . . . k, aij = 0 in tutti gli altri casi, ovvero sia della
forma
I O
A = Ok O .
Anzitutto, perché ciò sia possibile è necessario che sia k = dim(Im(f )) (il
rango della matrice rappresentativa conicide con la dimensione dell’immagine
dell’applicazione).
Se k = dim(Im(f )) la risposta è SÌ.
Per il teorema nullità + rango, si ha dim(ker(f )) = n − r.
Sia inoltre {vk+1 , . . . , vn } una base di ker(f ) (se n > r) e la si completi ad una
base B = {v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn } di V.
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Allora {f (v1 ), . . . , f (vk )} è una base di Im(f ). Si completi tale base ad una
base C = {f (v1 ), . . . , f (vk ), wk+1 , . . . wm } di W.
La matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi ha la forma richiesta.
Ad esempio, per f : R3 → R2 definita da
!
x
2x − y
y
f
=
,
z
z
!
!
!
0
0
1
si può prendere B = { 1 , 0 , 2 }
0
1
0
−1
0
C={ 0
, 1 }.
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e
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Autovalori e autovettori
index
1
Autovalori e autovettori
2
Il polinomio caratteristico
3
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
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Autovalori e autovettori
Endomorfismi diagonalizzabili
Siano ora V f.g. con dim(V) = n e f : V → V un endomorfismo.
PROBLEMA - Esiste una base B = {v1 , . . . , vn } di V tale che la matrice A
rappresentativa di f rispetto a tale base (sia in dominio che in codominio) sia
diagonale


λ1 0 . . . 0
 0 λ1 . . . 0 
A=
?
..
..
.. 
 ...
.
.
. 
0 0 . . . λn
Se la risposta è affermativa l’endomorfismo f viene detto diagonalizzabile e la
base B viene detta diagonalizzante.
OSSERVAZIONE - I vettori di una base diagonaliizante verificano:
f (vj ) = λj vj ,
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∀j = 1, . . . , n
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Autovalori e autovettori
Un vettore non nullo v ∈ V,
λ ∈ K tale che f (v) = λv.
v 6= 0 viene detto autovettore per f se esiste
Lo scalare λ (che è univocamente associato a v) viene detto autovalore
relativo all’autovalore λ.
Una immediata conseguenza delle considerazioni fatte sopra è il
TEOREMA - Un endomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se esiste una
base di V interamente costituita da autovettori di f .
Sia λ è un autovalore di f . Consideriamo l’insieme Aλ (f ) degli autovettori di f
relativi a λ.
L’ insieme
Vλ (f ) = Aλ (f ) ∪ {0}
è un sottospazio di V (verificarlo) detto autospazio relativo all’autovalore λ.
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Autovalori e autovettori
Qualche esempio nel caso di VectO (R2 )
OSSERVAZIONE - Un autovettore, nel caso dei vettori geometrici, è un
vettore trasformato in un vettore parallelo.
Riflessione rispetto alla retta r.
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Autovalori e autovettori
Nella riflessione rispetto alla retta r gli autovettori sono i vettori di r (con
autovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore −1).
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Autovalori e autovettori
Proiezione ortogonale sulla retta r.
Nella proiezione ortogonale sulla retta r gli autovettori sono i vettori di r (con
autovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore 0).
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Autovalori e autovettori
Rotazione di un angolo α attorno O.
Se α non è congruo 0 o a π (mod. 2π), la rotazione di un angolo α attorno O
non ammette autovettori.
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Autovalori e autovettori
Matrici diagonalizzabili
Le nozioni di diagonalizzabilità, autovalori, autovettori introdotte per gli
endomorfismi si trasferiscono alle matrici quadrate:
una matrice quadrata n × n A è diagonalizzabile se lo è l’endomorfismo
LA : Kn → Kn ;
un autovettore di A è un vettore non nullo x ∈ K n tale che A · x = λx;
lo scalare λ viene detto autovalore della matrice A.
Ricordando la nozione di matrici simili introdotta nella terza parte di queste
note, si ha (verificarlo):
Una matrice quadrate n × n A è diagonalizzabile se e solo se è simile a una
matrice diagonale.
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Autovalori e autovettori
Sia f un endomorfismo di V f.g., con dim(V) = n.
Problema: ricerca (se esiste) di una base di autovettori.
TEOREMA - Se λ1 , . . . , λk sono autovettori di f distinti tra loro, e v1 , . . . , vk
sono autovettori relativi a λ1 , . . . , λk (respett.), allora i vettori v1 , . . . , vk sono
linearmente indipendenti.
Dimostrazione
Per induzione su k.
Se k = 1, v1 è l.i. in quanto non nullo.
Supponendo vero il risultato nel caso di k − 1 autovalori, dimostriamolo
nel caso di k autovalori.
Supponiamo che sia
(∗)
a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk = 0
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a1 , . . . , ak ∈ K.
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Autovalori e autovettori
Applicando f a entrambe i membri di (∗) si ottiene
(◦)
a1 λ1 v1 + a2 λ2 v2 + · · · + ak λk vk = 0.
Moltiplicando entrambe i membri di (∗) per λk si ottiene
(◦◦)
a1 λk v1 + a2 λk v2 + · · · + ak λk vk = 0.
Sottraendo membro a membro (◦◦) da (◦) si ottiene
a1 (λ1 − λk )v1 + a2 (λ2 − λk )v2 + · · · + ak−1 (λk−1 − λk )vk−1 = 0.
Per l’ipotesi di induzione allora deve essere:
a1 (λ1 − λk ) = a2 (λ2 − λk ) = . . . ak−1 (λk−1 − λk ) = 0,
e quindi, trattandosi di autovalori distinti tra loro,
a1 = a2 = · · · = ak−1 = 0
⇒
ak = 0.
COROLLARIO - Se f ha n = dim(V) autovalori distinti, allora è
diagonalizzabile.
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Il polinomio caratteristico
index
1
Autovalori e autovettori
2
Il polinomio caratteristico
3
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
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Il polinomio caratteristico
Sia f un endomorfismo di V (dim(V) = n).
OSSERVAZIONE - λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se esiste
v ∈ ker(f − λidV ), v 6= 0.
OSSERVAZIONE - Se λ ∈ K è un autovalore di f allora si ha
Vλ (f ) = ker(f − λidV ).
In particolare, se λ = 0 è un autovalore per f , allora V0 (f ) = ker(f ).
Sia ora B una base di V e A = MB
B (f ) la matrice rappresentativa di f rispetto
alla base B.
λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se f − λidV non è un isomorfismo se e
solo se A − λIn non ha rango massimo se e solo se det(A − λIn ) = 0
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Il polinomio caratteristico
Il polinomio

a11 − t
a12
...
a22 − t . . .
 a21
PA (t) = det(A − tIn ) = det 
..
..
..

.
.
.
an1
an2
...

a1n
a2n 

..

.
ann − t
viene detto polinomio caratteristico di A.
C
OSSERVAZIONE - Se A = MB
B (f ) e B = MC (f ) sono matrici
rappresentative dello stesso endomorfismo rispetto a basi diverse, allora
PA (t) = PB (t).
Infatti
det(B − tI) = det(C−1 AC − tI) = det(C−1 AC − tC−1 IC) =
det(C−1 (A − tI)C) = det(C−1 ) det(A − tI) det(C) = det(A − tI).
In particolare, per t = 0, si ha anche det(B) = det(A).
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Il polinomio caratteristico
Per questo motivo il polinomio det(A − tIn ) viene anche detto polinomio
caratteristico di f e denotato con Pf (t) e il determinante di A viene anche
detto determinante di f e denotato con det(f )..
OSSERVAZIONE - Il polinomio caratteristico Pf (t)
ha grado n,
ha coefficiente direttore (−1)n ,
ha termine noto Pf (0) = det(f ),
le sue radici in K sono gli autovalori di f .
OSSERVAZIONE - Se K = C, tutte le radici di Pf (t) ∈ C[t] sono in K e
pertanto sono autovalori di f . Se invece K = R, allora solo le radici reali di
Pf (t) sono autovalori.
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Il polinomio caratteristico
Ricerca degli autovalori e autovettori
Sia f un endomorfismo di V (dim(V) = n). Per cercare autovalori e
autovettori di f ;
Si considera una base B di V e si costruisce la matrice A = MB
B (f )
rappresentativa di f rispetto alla base B.
Si calcola il polinomio caratteristico PA (t) e si determinano le sue radici
λ1 , . . . , λk ∈ K che sono gli autovalori di f .
Per ciascuno degli autovalori λi si risolve il sistema lineare
(A − λi I)x = 0
Le soluzioni x del sistema (A − λi I)x = 0 sono le coordinate, nella base
B degli autovettori relativi a λi .
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Il polinomio caratteristico
Esempi
(n =
2)
a11 − t
a12
2
det
a21
a22 − t = t − (a11 + a22 )t + det(A)
(n = 3)
!
a11 − t
a12
a13
a21
a22 − t
a23
det
= −t3 + (a11 + a22 + a33 )t2 −
a31
a32
a33 − t
a
a
a
a
a
a
(det a11 a12 + det a11 a13 + det a22 a23 )t + det(A).
32
33
31
33
21
22
In generale
PA (t) = (−1)n tn +(−1)n−1 σ1 tn−1 +· · ·+(−1)n−i σi tn−i +· · ·−tσn−1 +σn ,
ove σi è la somma dei minori principali (ossia aventi come diagonale
parte della diagonale di A) di A.
In particolare σ1 = a11 + a22 + · · · + ann viene detta traccia di A e
σn = det(A).
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
index
1
Autovalori e autovettori
2
Il polinomio caratteristico
3
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
Ricordo che una radice α ∈ K di un polinomio p(t) ∈ K[t] si dice avere
molteplicità m > 0 se p(t) = (t − α)m q(t), con q(α) 6= 0, ovvero m
è il massimo degli l tali che (t − α)l sia un fattore di p(t).
Abbiamo visto che un autovalore λ di f è necessariamente una radice in K del
polinomio caratteristico Pf (t) di f .
Si dice molteplicità algebrica ma (λ) dell’autovalore λ la sua
molteplicità come radice del polinomio Pf (t).
Se λ è un autovalore di f , l’autospazio Vλ (f ) non è lo spazio nullo. Si
definisce molteplicità geometrica mg (λ) dell’autovalore λ la
dimensione dell’autospazio Vλ (f ).
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K, f : V → V un
endomorifismo e λ ∈ K un autovalore di f . Si ha
1 ≤ mg (λ) ≤ ma (λ).
Dimostrazione
La relazione 1 ≤ mg (λ) segue dal fatto che, essendo λ un autovalore, si ha
dim(Vλ (f )) > 0.
Consideriamo una base {v1 , . . . , vmg (λ) } di Vλ (f ) e completiamola a una base
{v1 , . . . , vmg (λ) , wmg (λ)+1 . . . wn } di V.
In tale base f è rappresentato da una matrice della forma


λ 0 ... 0 ? ... ?
 0 λ ... 0 ? ... ? 
 . .
..
.. ..
..
.. 
 .. ..
.
. .
.
. 


 0 0 ... λ ? ... ? 


 0 0 ... 0 ? ... ? 
 . .
..
.. ..
..
.. 
 .. ..
.
. .
.
. 
0 0 ... o ? ... ?
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
Il polinomio caratteristico di f allora risulta





Pf (t) = 




λ−t
0
0
λ−t
..
..
.
.
0
0
0
0
..
..
.
.
0
0
...
...
..
.
...
...
..
.
...
0
?
0
?
..
..
.
.
λ−t
?
0
?−t
..
..
.
.
o
?
...
...
..
.
...
...
..
.
...
?
?
..
.
?
?
..
.
?−t





 = (λ−t)mg (λ) q(t)




(segue iteratamente dallo sviluppo di Laplace del determinante secondo la
prima colonna).
Pertanto si ha ≤ mg (λ) ≤ ma (λ).
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K e f : V → V un
endomorifismo. f è diagonalizzabile se e solo se
i) tutte le radici di Pf (t) sono in K;
ii) per ogni autovalore λ di f si ha mg (λ) = ma (λ).
OSSERVAZIONI
1) Se K = C la condizione i) è sempre verificata.
2) Se ma (λ) = 1, allora mg (λ) = 1, quindi la condizione ii) è verificata.
3) In generale, per calcolare mg (λ) :
mg (λ) = dim(ker(f − idV )) = n − car(A − λI).
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
ESEMPI
A=
cos(θ) −sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
K = R.
PA (t) = (cos(θ) − t)2 + sin2 (θ) = t2 − 2cos(θ)t + 1
che ha discriminante ∆ = 4(cos2 (θ) − 1), quindi se θ 6= 0, π non vale la
i).
A=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
!
K = R.
PA (t) = (1 − t)3
L’unica radice è λ = 1, quindi vale la i), inoltre ma (1) = 3.
car(A − I) = 2, quindi mg (1) = 1, per cui non vale la ii).
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Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
A=
1 1 0
1 1 0
0 0 0
!
K = R.
PA (t) = −t2 (t − 2)
Le radici sono 0, 2, quindi vale la i), inoltre ma (0) = 2, ma (2) = 1.
Ovviamente ma (2) = 1 = mg (2).
car(A) = 1, quindi mg (0) = 3 − car(A) = 2 = ma (0), per cui vale
anche la ii) e la matrice è diagonalizzabile.
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