Lezioni di Matematica
Prof. Ettore Limoli
Poligoni regolari e numeri fissi
Ricordiamo che un poligono è regolare se ha tutti i lati congruenti fra loro ed è sempre
inscrittibile in una circonferenza, il cui centro è centro del poligono.
Indichiamo con l il lato di un generico poligono regolare, con a l’apotema (segmento di
perpendicolare condotta dal centro al lato) e con A la sua area. Ricordando che i
poligoni regolari sono tutti simili fra di loro (ad esempio, tutti i quadrati), si ha che,
all’interno della stessa figura, i rapporti f = a/l e = A/l 2 si mantengono costanti.
Detti rapporti f e , in definitiva, dipendono esclusivamente dal numero n di lati del
poligono e sono detti: numeri fissi.
Ci proponiamo di creare una tabella che fornisce il valore dei numeri fissi al variare di n,
ossia del tipo di figura geometrica (triangolo equilatero, quadrato, pentagono …).
Sia AB un lato di lunghezza l di un poligono regolare di n lati. O è il centro della
circonferenza circoscritta a detto poligono.
Essendo BH = l/2, dal triangolo rettangolo OHB, l’apotema OH e data da:
.
L’angolo è la metà dell’angolo al centro che insiste sulla corda AB (lato del poligono),
pertanto = 180°/n.
L’area del poligono regolare è data da A = n l a /2. Dove n l rappresenta il perimetro
del poligono.
Servendoci del foglio elettronico di calcolo, al variare di n, determiniamo i numeri fissi:
f = a/L e = A/L2. Dove A è l’area del poligono.
n
nome
3
triangolo
4
quadrato
5
pentagono
6
esagono
7
ettagono
8
ottagono
9
ennagono
10
decagono
11 endecagono
12 dodecagono
L
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
60,00
45,00
36,00
30,00
25,71
22,50
20,00
18,00
16,36
15,00
a
Area
0,28868 0,43301
0,50000 1,00000
0,68819 1,72048
0,86603 2,59808
1,03826 3,63391
1,20711 4,82843
1,37374 6,18182
1,53884 7,69421
1,70284 9,36564
1,86603 11,19615
f
0,288675134594813 0,433012701892219
0,500000000000000 1,000000000000000
0,688190960235587 1,720477400588970
0,866025403784439 2,598076211353320
1,038260698286170 3,633912444001590
1,207106781186550 4,828427124746190
1,373738709727310 6,181824193772900
1,538841768587630 7,694208842938140
1,702843619444620 9,365639906945440
1,866025403784440 11,196152422706600
1
Per semplicità ad L si è assegnato sempre il valore 1, mentre il resto è stato calcolato in
base al valore di n. A ciascuna colonna è stato assegnato il nome secondo quanto posto
nell’etichetta soprastante. Alla colonna degli angoli è stato assegnato il nome: alfa.
Le formule inserite sono riportate nella sottostante tabella:
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
nome
triangolo
quadrato
pentagono
esagono
ettagono
ottagono
ennagono
decagono
endecagono
dodecagono
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
=180/n
a
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
=L/TAN(RADIANTI(alfa))/2
Area
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
=n*L*a/2
f
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=a/L
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
=Area/L^2
Poiché, inizialmente, l’angolo è stato calcolato in gradi, per passarlo alla funzione
TAN è necessario convertirlo in radianti, e questo si ottiene tramite la funzione
RADIANTI.
La tabella può essere facilmente estesa ulteriormente.
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