Quesito 7 - Campus - Mondadori Education

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Esame di stato 2015
Tema di matematica
Quesito 7
Detta A ^nh l’area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r , verificare
n
2r
che A ^nh = 2 r 2 sen n e calcolarne il limite per n " 3 .
La soluzione
Inscriviamo in una circonferenza di raggio r un poligono regolare di n lati.
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B
r
A
a
O
Tracciando da ogni vertice i raggi della circonferenza, otterremo n triangoli isosceli di angolo al
2r
vertice a = n .
Consideriamo ora il triangolo AOB dalla figura.
Applicando le relazioni trigonometriche per l’area di un triangolo, avremo che l’area a di AOB è
data da
1
1
2r
a = 2 AO $ BO sin a = 2 r 2 sin n .
1
Esame di stato 2015
Tema di matematica
L’area del poligono sarà quindi data da
n
2r
A (n) = na = 2 r 2 sin n .
Calcoliamo ora il limite:
2r
sin n
2r
n
2
lim A (n) = nlim
r 2 sin n = nlim
r 2r $ r = r r 2 ,
n "+3
"+3
"+3
n
dove abbiamo usato il limite fondamentale:
2
sin x
lim
x = 1,
x"0
2r
e la sostituzione x = n .
È interessante notare che il limite dell’area del poligono di n lati coincide con l’area della circon-
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ferenza.
2
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