Esercizi in preparazione alla simulazione del 29 aprile

ESERCIZI IN PREPARAZIONE ALLA SIMULAZIONE DEL 29 APRILE
Calcolare
∫
x
dx
√ 1+ x2
Soluzione utilizzando la tabella dell'integrale di derivate di funzioni
composte
−
∫ x⋅(1+ x )
2
1
2
dx . Osserviamo che x, a meno
2
della costante moltiplicativa 2 è la derivata di 1+ x . Quindi l'integrale
α
è della forma ∫ f ' ( x)⋅[ f ( x)] dx
Scriviamo l'integrale nella forma
Pertanto
1
1
1
−
−
− +1
x
1
1
1
2 2
2 2
2 2
dx=
x⋅(1+
x
)
dx=
2
x⋅(1+
x
)
dx=
⋅
⋅(1+
x
)
+c=
∫
∫
∫
2
2 1
√ 1+ x2
− +1
2
1
1
2
2
= ⋅2⋅(1+ x ) 2 = √ 1+ x +c
2
Soluzione utilizzando il metodo di sostituzione
Poniamo
Quindi
1
2
2
1+ x =t → d (1+ x )=dt →2x dx=dt → dx= dt
2
1
1
−
− +1
x
1 1
1
1
1
2
2
dx=
⋅
dt=
⋅
t
=
⋅
⋅t
+c=
∫
∫ √t 2 2 ∫
2
2
1
√ 1+ x
− +1
2
1
1
2
= ⋅2⋅t 2 +c=√ t+c=√ 1+ x +c
2
***********************************************************************
Calcolare l'integrale
∫
x
dx
√ 1−x 4
Soluzione utilizzando il metodo di sostituzione
x
x
=∫
dx
4
√ 1− x
√ 1−(x 2)2
1
2xdx=dt → xdx = dx
2
∫
Ponendo
Pertanto, sostituendo si ha
∫
Quindi l'integrale richiesto è
x 2=t si ottiene
d ( x 2)=dt →
1
1
1
1
1
⋅ dt → ⋅∫
= ⋅arcsin (t)+c
2 2
2
2 √ 1−t 2
√ 1−t
1
2
⋅arcsin x +c
2
Soluzione utilizzando la tabella degli integrali
x
x
=∫
dx A meno della costante moltiplicativa 2, x è la
4
√ 1− x
√ 1−(x 2)2
f ' ( x)
2
dx=arcsin [ f ( x)]+c
derivata di x . Quindi è del tipo ∫
√ 1−[ f ( x)]2
∫
Pertanto
∫
x
x
1
2x
1
2
=∫
dx= ⋅∫
dx= ⋅arcsin (x )+c
4
2 2
2 2
2
2
√ 1− x
√ 1−(x )
√ 1−( x )
*********************************************************************
Calcolare l'integrale
∫
x3
√ 1− x4
dx
Soluzione utilizzando il la tabella dell'integrale di derivata di funzioni
composte
Scriviamo l'integrale come
della costante moltiplicativa
l'integrale è del tipo
−
∫ x ⋅(1− x )
3
−4
4
1
2
dx
la derivata di
∫ f ' ( x)⋅[ f ( x)]α dx=
Quindi scriviamo
1
x3
Osserviamo che
α+1
[ f ( x)]
α+1
1− x
4
è, a meno
, quindi
+c
1
−
−
x3
1
∫ 1− x4 dx=∫ x3⋅(1− x4 ) 2 dx=− 4⋅∫ −4⋅x3⋅(1− x 4) 2 dx=
1
1
− +1
1
1
1
1
4
4
4
=− ⋅
⋅(1− x ) 2 +c=− ⋅2⋅(1− x ) 2 +c=− ⋅√ 1− x +c
4 1
4
2
− +1
2
ESERCIZIO SUL TEOREMA DI BAYES
Uno studente deve sostenere un esame. Se studia passa con probabilità 99%,
ma se va alla festa da ballo la sera prima la sua probabilità di promozione
si riduce al 50 %. Deciderà di andare alla festa se esce testa lanciando una
moneta equa. Se egli supera l'esame qual è la probabilità che sia andato a
ballare?
SOLUZIONE
Osserviamo che conosciamo l'esito dell'esame e ci chiediamo qual è la
probabilità che sia “causato” dal fatto che sia andato alla festa.
E' un chiaro esempio di applicazione del teorema di Bayes (Probabilità delle
cause)
Chiamiamo F l'evento “lo studente è andato alla festa”
Chiamiano NF l'evento “lo studente NON è andato alla festa”
Chiamiamo S l'evento “lo studente ha superato l'esame”
Quindi:
P (F / S )=
P (S / F )⋅P (F )
0.5⋅0.5
=
=
0.5⋅0.5+0.99⋅0.5
P (S / F )⋅P ( F )+ P (S / NF )⋅P (NF )
0.25
0.25
=
=
=0.336
0.25+0.495 0.745
ESERCIZIO SULLE VARIABILI CASUALI
Si lanciano in sequenze 3 monete. Si consideri la variabile casuale X “Numero di Teste”
A) Scrivere la distribuzione di probabilità
B) Calcolare il valore medio della variabile casuale
Soluzione
I possibili risultati sono
TTT ---TTC ---TCT ---CTT ---TCC ---CTC ---CCT ---CCC ----
1
8
1
P=
8
1
P=
8
1
P=
8
1
P=
8
1
P=
8
1
P=
8
1
P=
8
P=
------ 3 teste
------ 2 teste
------ 2 teste
------ 2 teste
------ 1 testa
------ 1 testa
------ 1 testa
------ 0 teste
Quindi, la distribuzione di probabilità è data dalla tabella
X=Numero di Teste P
0
1
8
1
3
8
2
3
8
3
1
8
Il valore medio è dato dalla formula
M ( X )= x 1⋅p1+ x 2⋅p2+.....+ x n⋅p n
Conviene utilizzare la tabella aggiungendo una colonna
X=Numero di
Teste
P
X⋅p
0
1
8
0
1
3
8
3
8
2
3
8
6
8
3
1
8
3
8
M(X)
12
=1.5
8
ESERCIZIO SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA'
Considerata la seguente tabella che rappresenta la relazione tra risultato scolastico e consumo di
alcool
Denotiamo con B l'evento Bocciato, con MB l'evento Mai bocciato, C Consumatore di alcool, NC
Non consumatore di alcool
Calcolate le seguenti probabilità
P(B/C) = P(B/NC) = P(B) = P(C) = P(C/MB) = P(NC/MB) =
Soluzione
P (B /C )≈0.42
P (B / NC )≈0.18
P (B)≈0.24
P (C )≈0.26
P (C / MB)≈0.20
P (NC / MB)≈0.80