.5 Numeri DISPARI Prova scritta di Matematica per l`Economia e

.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 11 aprile 2007
Corsi A-D, E-N, O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale definito
Z
3/π
1/π
1
1
sen
dx
3
x
x
integrando dapprima per sostituzione ponendo 1/x = t e quindi per parti.
(2) Calcolare il seguente limite
7/2
(sen x)
lim+ √
.
x(tg x − x)
x→0
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) =
x+1
3 (x + 2)3
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al
grafico di f nel punto di ascissa x0 = 0.
(4) Dare la definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan in IR2 e della relativa misura. Stabilire
quindi se è misurabile il cilindroide di base [−1, 1] relativo alla funzione g : [−1, 1] → IR definita
ponendo

 sen 1 , se x 6= 0,
x
g(x) =

0,
se x = 0,
giustificando esaurientemente la risposta.
(5) Mostrare che la funzione h : [−1, 1] → IR definita ponendo
h(x) = x arccos x −
p
1 − x2
(−1 ≤ x ≤ 1)
è derivabile in tutto l’ intervallo [−1,
√ 1] e determinare l’espressione della derivata prima (Sugg. Ricordare che le funzioni arccos x e 1 − x2 non sono derivabili in ±1).
E’ possibile affermare che h0 è continua in [−1, 1] ?
(6) Dire se la funzione f : IR → IR data da
f (x) = x|x|
per ogni x ∈ IR
a) è continua in IR;
b) è derivabile in 0 (Sugg. Si utilizzi la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale);
c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all’intervallo [−2, 2].
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 17 gennaio 2007
Corsi A-D, E-N, O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale definito
Z e
x · cos (2 log x − 1) dx
1
(si ponga log x = t e quindi si integri per parti).
(2) Calcolare il seguente limite
1/x
(1 + 2 tg2 x)
−1
lim
.
x→0
arcsen(3x)
(3) Studiare la seguente funzione
1−x/2
f (x) = xe
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al
grafico di f nel punto di ascissa x0 = 4.
(4) Enunciare e dimostrare il primo teorema di confronto sui limiti. Siano quindi f, g : IR → IR e si
supponga che esista lim f (x) = 1 e che f (x) < g(x) per ogni x 6= 0; dire se le seguenti affermazioni
x→0
sono vere o false, giustificando esaurientemente la risposta:
a) ∃ lim g(x) ≥ 1;
x→0
b) ∃ lim g(x) > 1;
x→0
c) non è detto che ∃ lim g(x), ma, se esiste, è ≥ 1 ;
x→0
d) non è detto che ∃ lim g(x), ma, se esiste, è > 1 ;
x→0
e) non può essere lim g(x) = −∞.
x→0
+
(5) Tracciare il grafico della funzione g(x) = x , precisando se g è limitata (inferiormente e/o superiormente), monotona, continua, derivabile, concava o convessa. Mostrare infine che la restrizione di g
ad ogni intervallo chiuso e limitato di IR è integrabile e che
Z b
b2
se a < 0 < b.
g(x) dx =
2
a
(6) Dare la definizione di funzione strettamente decrescente in un punto; mostrare quindi che la funzione
h : IR → IR definita ponendo
h(x) = cos(2x) − cos2 x per ogni x ∈ IR
è strettamente decrescente in x0 = π/4 utilizzando il test della derivata prima. E’ possibile affermare
che h è strettamente decrescente in un intorno di x0 ?
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 18 luglio 2007
Corsi A-D, E-N, O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
log x
dx
(x + 1)2
mediante la regola di integrazione per parti.
(2) Calcolare il seguente limite
lim arcsen x · log(tg x).
x→0+
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) =
x
(log x)2
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al
grafico di f nel punto di ascissa x0 = e3 .
(4) Dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo ed enunciare il secondo teorema
di Weierstrass. Stabilire quindi se verifica le ipotesi di tale teorema la funzione g : [−1, 1] → IR
definita ponendo
( sen(2x)
, se x 6= 0,
g(x) =
x
2,
se x = 0,
giustificando esaurientemente la risposta.
(5) Dare la definizione di primitiva di una funzione ed elencarne le principali proprietà. Dire quindi se è
dotata di primitiva la funzione h : IR → IR definita ponendo
h(x) =
|x|, se −1 ≤ x ≤ 1,
2,
se x < −1 oppure x > 1,
giustificando esaurientemente la risposta.
(Sugg. Può essere utile tracciare preliminarmente il grafico di h).
(6) Dire se la funzione f : IR → IR data da
f (x) = x·|x − 2|
per ogni x ∈ IR
a) è continua;
b) è derivabile;
c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all’intervallo [0, 1].
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale del 12/12/2007 - ore 13,30
Corsi A-D, E-N, O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
tg2 x + 1
dx
tg2 x + 5
mediante la sostituzione tg x = t.
(2) Calcolare il seguente limite
2
x
−x
.
lim x2 3 · sen 3 · tg
x→+∞
x2
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) = x (2 − log x)2
e tracciarne approssimativamente il grafico.
(4) Dire se esistono valori di k per i quali la funzione g : [−1, 1] → IR definita ponendo
 5x

, se x 6= ±1,
 2
x −1
g(x) =


k,
se x = ±1,
è integrabile secondo Riemann.
(5) Dire se la funzione h : IR → IR definita ponendo

1
2

x
·
sen
, se x 6= 0,

x
h(x) =


0,
se x = 0,
a) è continua in 0;
b) è derivabile in 0 (si valuti il limite del rapporto incrementale);
c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all’intervallo [−1, 1].
(6) Utilizzando il teorema di Torricelli-Barrow, mostrare che la funzione F : IR → IR definita ponendo
Z x
t2
dt per ogni x ∈ IR
F (x) =
π/4 2 + arctg t
è strettamente crescente; scrivere, inoltre, l’equazione della retta tangente al grafico di F nel punto
di ascissa x0 = π/4.
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 9 Luglio 2008
Corso O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
x
x
e · log(e + 2) dx
effettuando la sostituzione ex = t.
(2) Calcolare il seguente limite
1/x
lim 3 sen x + cos x
x→0
g(x)
(Sugg. Ricordare che, almeno formalmente, f (x)
g(x) log f (x)
=e
).
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) =
1
e −2
x
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al
grafico di f nel punto di ascissa x0 = log 3.
(4) Dire se la funzione g : IR → IR definita ponendo
g(x) =
arctg x,
√
x,
se x < 0,
se x ≥ 0,
verifica le ipotesi dei teoremi di Bolzano, degli zeri e di Weierstrass rispettivamente, motivando
esaurientemente la risposta (Sugg. Può essere utile tracciare preliminarmente il grafico di g).
(5) Dopo aver determinato il dominio della funzione
h(x) = sen x + tg x,
verificare che il punto x0 = π è punto di flesso per h, utilizzando il test della derivata terza; scrivere,
infine, l’equazione della relativa tangente inflessionale.
(6) Di una funzione f : IR → IR, continua in IR, è noto che
arccotg x −
π
x−1 =
cos 1 − 3
4
Z
x
f (t) dt
per ogni x ∈ IR.
1
Mediante l’utilizzo del teorema di Torricelli-Barrow, calcolare l’espressione di f (x).
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 10 Settembre 2008
Corso O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
effettuando dapprima la sostituzione
√
log x
√ dx,
x
x = t e quindi integrando per parti.
(2) Individuare e classificare le eventuali discontinuità della funzione funzione f : [0, π/2[→ IR definita
ponendo


 3x log(tg x) + 2 sen x, se 0 < x < π/2,
f (x) =


1,
se x = 0.
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) =
√
x · log x
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al
grafico di f nel punto di ascissa x0 = 1.
(4) Stabilire per quali valori dei parametri a e b la funzione g : IR → IR definita ponendo

se x ≤ 1,

 ax + b,
g(x) =


1 − e−x , se x > 1,
è derivabile in tutto IR.
(5) Dire se la funzione h : ]0, +∞[→ IR definita ponendo
 1
1

, se 0 < x < 1,
 −
x x+1
h(x) =


log x,
se x ≥ 1,
è dotata di primitiva. In caso affermativo, determinarne la primitiva nulla in 1. E’ possibile affermare
che h è integrabile secondo Riemann?
(6) Mostrare che la funzione u : ]0, +∞[→ IR definita ponendo
q
√
u(x) = 2 x + x per ogni x > 0,
ha tutte le proprietà di una funzione di utilità, cioè u è continua insieme alle sue derivate prima e
seconda, è strettamente crescente, strettamente concava con
lim u0 (x) = 0.
x→+∞
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 5 Novembre 2008
Corso O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale indefinito
3ex − e2x
dx
ex + 1
Z
effettuando la sostituzione ex = t.
(2) Calcolare il seguente limite
tg x
.
lim+ sen x
x→0
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) =
x2 + x − 6
x+1
e tracciarne approssimativamente il grafico.
(4) Stabilire per quale valore del parametro a la funzione g : ] − ∞, 1] → IR definita ponendo
 ex − 1

,


 ax
g(x) = 1,



 log(1 + x) ,
x
se x < 0,
se x = 0,
se 0 < x ≤ 1,
verifica le ipotesi dei teoremi di Bolzano.
(5) Data la funzione F : [0, 1] → IR definita ponendo
Z
F (x) = 3x +
1
x
et
dt
t+2
per ogni x ∈ [0, 1],
mostrare che F è strettamente crescente e strettamente convessa; inoltre, utilizzando opportunamente
il teorema degli zeri, dimostrare che F si annulla in un unico punto c ∈]0, 1[.
(6) Dopo aver determinato il dominio della funzione
h(x) =
log(x2 + 1)
√
,
x
mostrare che essa è strettamente crescente nel punto x0 = 1 utilizzando il test della derivata prima.
E’ possibile affermare che h è strettamente crescente in un intorno di x0 ?
.5
Numeri PARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 14 Gennaio 2009
Corsi E-N e O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Data la funzione
log x − 4
,
f (x) = √
x log x + 2
a) determinarne il dominio Df ;
b) dire perchè f è dotata di primitiva, giustificando esaurientemente la risposta;
√
c) determinare la primitiva di f nulla in x0 = e (Sugg. Nell’integrare si ponga log x = t).
(2) Calcolare il seguente limite
lim+
x→0
√
(1 − cos 2x) tg x + 5 3 x
√
.
arcsen x
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) = arccotg
1
x2
e tracciarne approssimativamente il grafico. Mostrare inoltre che la funzione è prolungabile con
continuità in 0 e che tale prolungamento è derivabile in 0 con derivata uguale a 0.
(4) Data la funzione
Z
F (x) =
0
x
√
t−3
√
dt,
t5 + 2
a) determinarne il dominio DF ;
b) dire se F è derivabile ed, in caso affermativo, calcolare F 0 (x) ed il lim F 0 (x);
x→+∞
c) determinare gli intervalli in cui F è strettamente crescente o strettamente decrescente;
d) dire per quale teorema sui limiti sicuramente esiste il lim F (x), giustificando esaurientemente la
x→+∞
risposta.
(5) Dire per quali valori non nulli dei parametri a e b la funzione h : IR → IR definita ponendo

2
se x < 1,

 a(x − 1) + 1,
h(x) = a,
se x = 1,

 bx
2
e + a arctg x, se x > 1,
verifica le ipotesi dei teoremi di Bolzano. E’ possibile affermare che, in corrispondenza dei valori di
a e b trovati, la funzione h è integrabile secondo Riemann?
(6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione
f (x, y) = log |1 − x + y| + x + y 2 .
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 15 Aprile 2009
Corsi E-N e O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Determinare la primitiva della funzione
f (x) = arccotg
che in 0 assume valore 1 (Sugg. Si ponga
√
√
x
x = t e quindi si integri per parti).
(2) Calcolare il seguente limite
lim+ (1 − 3x2 +
√
cotg x
x)
.
x→0
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) = x3 (−1 + 3 log x)
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’elasticità di f nel punto x0 = e.
(4) Data la funzione
p
g(x) = arcsen( 1 − log x),
a) determinarne il dominio Dg ;
b) mostrare che g è continua e strettamente monotona;
c) determinare il codominio di g; dire, quindi, se g ammette minimo e/o massimo globale, indicando
gli eventuali punti di minimo o massimo globale;
d) dire se g è invertibile ed, in caso affermativo, calcolare la funzione inversa g −1 .
(5) Dire se la funzione h : IR → IR definita ponendo

x arctg x − x,



h(x) = Z x

2


e−t −1 dt,
se x < 0,
se x ≥ 0,
0
a) è continua;
b) è derivabile; in caso affermativo, scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di h nel punto
di ascissa 0;
c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all’intervallo [0, 1].
(6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione
f (x, y) = e−x (y 2 − 2xy).
.5
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 14 Gennaio 2009
Corsi E-N e O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare l’integrale definito
Z 2
√
sen x − 1 dx
effettuando la sostituzione
√
1
x − 1 = t e quindi integrando per parti.
(2) Calcolare il seguente limite
arcsen(tg x) + arctg(3 sen2 x)
p
.
log(1 + sen x)
lim+
x→0
(3) Studiare la seguente funzione
2
f (x) = xe−x
e tracciarne approssimativamente il grafico.
Determinare, inoltre, l’equazione della retta tangente al
p
grafico di f nel punto di ascissa x0 = 3/2.
(4) Data la funzione F : IR → IR definita ponendo
x
Z
2
arctg(et ) dt
F (x) =
per ogni x ∈ IR,
0
dire, giustificando esaurientemente la risposta,
a) se F è continua;
b) se F è derivabile (in caso affermativo calcolare F 0 (x) ed il lim F 0 (x));
x→−∞
c) se il codominio di F è un intervallo;
d) se la restrizione di F all’intervallo [−1, 1] è dotata di minimo e massimo valore.
(5) Dire per quale valore del parametro a la funzione h : [−1, 2] → IR definita ponendo

2
se −1 ≤ x ≤ 0,

 −x − x,
se 0 < x ≤ 1,
h(x) = − arctg x,


−π/4 − a(x − 1), se 1 < x ≤ 2,
verifica le ipotesi del teorema di Lagrange. E’ possibile affermare a priori, senza effettuare alcun
calcolo, che la funzione h è integrabile secondo Riemann per ogni valore del parametro a?
(6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione
f (x, y) = e−x (y 2 + xy).
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 10 settembre 2009
Corsi E-N e O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Utilizzando la regola di integrazione per parti, calcolare l’integrale indefinito
Z
x
sen2 (3x)
dx.
(2) Calcolare il seguente limite
2
ex + 5x − 1
√
.
lim
x→0+ sen x + x5
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) = ex/2 · (x2 − 3x)
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’elasticità di f nel punto x0 = 1.
(4) Trovare l’errore nel seguente ragionamento: si consideri la funzione h : IR → IR definita ponendo
h(x) =
Poichè risulta
3x2 + cos x,
2
arctg(x ) ,
se x < 0,
se x ≥ 0.

 6x − sen x , se x < 0,
h0 (x) =
2x

,
se x > 0,
1 + x4
si ha lim h0 (x) = lim h0 (x) = 0 e dunque h è derivabile in 0 con h0 (0) = 0.
x→0−
x→0+
(5) Determinare per quali valori del parametro k la funzione g :] − 1, +∞[→ IR definita ponendo

 (kx − 1) ,
se −1 < x < 0,
(x + 1)
g(x) =
 −k2 x
e
+ 4kx − 2, se x ≥ 0,
è derivabile in ] − 1, +∞[. E’ possibile affermare che per ogni k la restrizione di g ad un qualsiasi
intervallo chiuso e limitato incluso in ] − 1, +∞[ è integrabile secondo Riemann?
(6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione
f (x, y) = xey − ex .
Numeri DISPARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 15 luglio 2009
Corsi E-N e O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare la primitiva F (x) della funzione
f (x) = e−2x+1 +
tale che lim F (x) =
x→+∞
3
x2
1
.
2
(2) Calcolare il seguente limite
lim Z
x→0
x − tg x
x
(esen
2
t
.
− 1) dt
0
(3) Studiare la seguente funzione
f (x) = arctg(e−x )
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’elasticità di f nel punto x0 =
log 3.
(4) Data la funzione
g(x) = log(1 − x2 ),
a) determinarne il dominio Dg ;
b) studiare il segno e la monotonia di g e determinare il suo codominio;
c) dire se alla restrizione di g all’intervallo [−1/2, 1/2] è applicabile il teorema di Lagrange; in caso
affermativo determinare il punto (o i punti) c che ne soddisfano la tesi;
d) mostrare che la restrizione di g all’intervallo ] − 1, 0] è invertibile e determinare l’espressione della
funzione inversa.
(5) Dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo. Individuare, quindi, e
classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione

2x2

,



x2 − 2x − 3



h(x) = 3,






√
x2 + 9,
se x < 0,
x 6= −1 ∧ x 6= −2,
se x = 0, x = −1 e x = −2,
se x > 0.
(6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione
f (x, y) = y x .
Numeri PARI
Prova scritta di Matematica per l’Economia e Matematica Generale - 4 novembre 2009
Corsi E-N e O-Z
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
(1) Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
log(x + 1)
dx
x2
mediante la regola di integrazione per parti.
(2) Calcolare il seguente limite
sen2 (arctg x) − 3 arctg(sen2 x)
.
x→0
1 − cos(x2 + x)
lim
(3) Studiare la seguente funzione
x2
1−x
e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l’elasticità f nel punto x0 = 3.
f (x) =
(4) Siano a, b ∈ IR, a < b, ed f : [a, b] → IR; stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false,
giustificando esaurientemente la risposta:
a) se f è continua in [a, b], di certo il grafico di f non ha asintoti verticali;
b) se f è dispari, di certo f è invertibile;
c) se f è continua in [a, b] ed f (a) = −3, f (b) = 5, di certo l’equazione f (x) = 0 ha almeno una
soluzione;
d) se f è monotona in [a, b], di certo f ammette minimo e massimo assoluti.
(5) Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo, determinare e
classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione
 x2 + 4

, se x > 0, x 6= e3

log
x
−
3
g(x) =


0,
se x = e3 .
Dire infine se la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [1, e4 ], giustificando esaurientemente la risposta.
(6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione
f (x, y) = (xy)ex .
(7) Dire, giustificando esaurientemente la risposta, se la funzione h : [1, e] → IR definita ponendo

−1,
se x = 1,






h(x) = log x, se 1 < x < e,






2,
se x = e,
verifica le ipotesi del teorema del valor medio.