PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A
7 febbraio 2011 - A.A. 2010/2011
Prof. S. Polidoro
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corsi di Laurea: Matematica e Fisica
1) Si considerino gli insiemi
∞ [
1
2
A=
(x, y) ∈ R | x = , −k ≤ y ≤ k ,
k
k=1
B = (x, y) ∈ R2 | x + y < 0 , C = {(−1, 3), (0, 2), (1, 1)} .
Determinare interno, frontiera, chiusura e punti isolati dell’insieme D = A ∪ B ∪ C.
2) Stabilire se le seguenti serie sono convergenti
√
∞ √ 2
X
k + k + 1 − k2 − k + 1
√
√
,
2+k+1+
2−k+1
k
k
k=1
∞
X
(2k)k
k=1
3) Sia f : [0, +∞[→ R derivabile, tale che sin(x) ≤ f (x) ≤
i) Calcolare f
π
2
ed f 0
π
2
k 2k
1
,
| sin(x)|
;
per ogni x 6= kπ.
.
ii) In quanti punti si annulla necessariamente f 0 ?
iii) Dalle ipotesi su f si può dedurre che essa è limitata?
iv) Sotto quali condizioni su f si può affermare che la serie
P∞
k
k=1 (−1) f
1
k
è
convergente?
v) Sotto quali condizioni su f si può affermare che la serie
P∞
1
k=1 k f
1
k
è conver-
gente?
4) Calcolare i seguenti limiti:
1 + 4 + 9 + · · · + (n − 1)2 + n2
,
n→+∞
(n + 1)3 log(n2 + 1)
lim
log 1 + x +
lim
x→0
x2
2
− sin(x)
x − arctan(x)
PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA
7 febbraio 2011 - A.A. 2010/2011
Prof. S. Polidoro
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: Informatica
1) Stabilire se la successione definita da
a1 = 2,
an+1 =
a2n + 2
,
2an
è convergente e, in tal caso, calcolarne il limite.
i) Se nella precedente formula si sceglie a1 = 3 invece di a1 = 2, cosa si può dire
del limite?
ii) Cosa cambia se invece si sostituisce an+1 =
a2n +2
2an
2) Stabilire se le seguenti serie sono convergenti
√
∞ √ 2
X
k + k + 1 − k2 − k + 1
√
√
,
k2 + k + 1 + k2 − k + 1
k=1
con an+1 =
∞
X
(2k)k
k=1
3) Sia f : [0, +∞[→ R derivabile, tale che sin(x) ≤ f (x) ≤
i) Calcolare f
π
2
ed f 0
π
2
k 2k
1
,
| sin(x)|
a2n +3
?
2an
;
per ogni x 6= kπ.
.
ii) In quanti punti si annulla necessariamente f 0 ?
4) Calcolare i seguenti limiti:
2
log 1 + x +
2
1 + 4 + 9 + · · · + (n − 1) + n
,
n→+∞
(n + 1)3 log(n2 + 1)
lim
5) Calcolare i seguenti integrali:
Z 1
(x − 1)2
dx,
2
2
0 (x + 1)
lim
x→0
Z
0
+∞
x2
2
− sin(x)
x − arctan(x)
(x − 1)2
dx.
(x2 + 1)2
.