Insegnamento: ALGEBRA
Informazioni generali:
Docente: Marco D’Anna
Contatti: Dipartimento di Matematica e Informatica, stanza 334
e- mail: [email protected]
telefono: 095 7383066
Orario di ricevimento: da definire (dopo che sarà stabilito l’orario delle lezioni)
Anno di corso: Primo
Settore scientifico-disciplinare: MAT/02 Algebra
CFU: 15 corrispondenti a ore: 84 +36 (lezioni ed esercitazioni)
Prerequisiti ed eventuali propedeuticità: nessuno
Frequenza: fortemente consigliata
Orario delle lezioni: da definire Aula: 1
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è quello di far acquisire agli allievi la capacità di formalizzare un problema e di sondare l’ambiente
in cui cercare le eventuali soluzioni. Il corso si prefigge anche lo scopo di sollecitare la capacità di astrazione e fornire
gli strumenti per utilizzare tale astrazione per passare dal particolare al generale.
In particolare, il corso si propone di fa acquisire agli studenti le seguenti competenze:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere enunciati e dimostrazioni di
teoremi fondamentali dell'algebra; sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo;
risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati
algebrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi; costruire dimostrazioni rigorose;
risolvere problemi di algebra che richiedono un pensiero originale; essere in grado di formalizzare matematicamente
problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per
chiarirli o risolverli.
Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla
valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado di costruire e sviluppare
argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere
dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.
Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni,
idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse sottese; sapere presentare
materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile.
Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello studio.
Risorse e testi
Attività didattica: Lezioni frontali, esercitazioni in aula svolte dal docente o dagli studenti, tutorato e attività
integrative di supporto.
Libri consigliati:
A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.
G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.
Materiale didattico: su Studium si inserirà eventuale materiale didattico aggiuntivo (dispense, esercizi, ecc.).
Saranno anche indicati eventuali libri di esercizi.
Verifiche ed esami:
a) verifica durante il corso: si svolgeranno alcune esercitazioni in cui si proporranno agi studenti dei problemi
da risolvere singolarmente o a piccoli gruppi, durante le quali il docente verificherà il progressivo svolgimento
della prova, suggerendo idee e correggendo eventuali errori. Si potranno anche proporre dei test sulla teoria
studiata.
b) Prove in itinere: si prevedono due prove in itinere scritte: la prima si svolgerà durante la pausa didattica
invernale e la seconda a fine corso. Tali prove prevedranno anche esercizi di tipo teorico. La prima prova in
itinere corrisponde a 4 CFU mentre la seconda a 5 CFU. Chi supererà entrambe le prove sarà esonerato dallo
scritto dell’esame finale, che però dovrà svolgersi necessariamente negli appelli estivi e autunnali.
c) esame finale: consiste di una prova scritta ed una orale. In caso lo studente superi le prove in itinere sarà
esonerato dalla prova scritta. Nel caso superi solo la prima prova in itinere avrà una riduzione della prova
scritta, per tutti gli appelli estivi e autunnali.
d) criteri per l’attribuzione del voto: il voto terrà conto della prova scritta (o delle prove in itinere) e di quella
orale; le prove scritte si considerano superate se si ottiene una valutazione non inferiore a 15/30. Il voto finale
non consiste di una media tra i voti delle prove, ma l’orale determina un incremento al voto dello scritto. Il
voto potrà anche tenere conto di eventuali riscontri positivi nelle verifiche svolte durante l’anno.
e) calendario degli esami: http://web.dmi.unict.it/Didattica/Laurea%20Triennale%20in%20Matematica%20L35/Calendario%20dEsami
Programma del corso
Prima parte (circa un terzo del corso)
a) Teoria degli insiemi.
Insiemi e operazioni tra insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. Relazioni d'ordine. Massimi
e minimi, elementi minimali e massimali, maggioranti e minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore. Funzioni o
applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni.
b) I numeri.
I numeri naturali. Il principio di induzione. L'algoritmo di divisione. Il massimo comune divisore. L'algoritmo euclideo.
Numeri primi ed irriducibili. I primi di Fermat. Fattorizzazione in N.
Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| < |P(A)|=|2A|. Potenza del continuo.
I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di Bézout. Fattorizzazione in Z e alcune
conseguenze. I numeri razionali. La struttura di campo ordinato di Q.
Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di divisibilità. Risoluzione di congruenze lineari e
il teorema cinese del resto. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat.
Cenno sui numeri reali come campo ordinato. I numeri complessi. Forme algebriche e trigonometriche dei numeri
complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse dell'unità. Il Teorema fondamentale dell'Algebra (senza
dim.).
c) I polinomi.
Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di divisione. MCD e identità di
Bézout. Teorema di Ruffini. Fattorizzazione unica. Questioni di irriducibilità in C[x], R[x], Q[x], Z[x]. Il criterio di
Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.
Seconda parte: teoria delle strutture algebriche.
a) Teoria degli anelli (circa un terzo del corso)
Prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli
quozienti. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali rispetto ad un omomorfismo.
Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali finitamente generati. Ideali principali. Ideali primi ed ideali massimali.
Esistenza di ideali massimali. Immersione di un dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità.
Domini euclidei. K[x]. Z[i]. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione.
Confronto tra gli anelli studiati e loro applicazioni. Esempi e controesempi. Elementi primi ed irriducibili. Identità di
Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x].
b) Teoria dei gruppi (circa un terzo del corso)
Prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. I Gruppi ciclici. Il gruppo simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi diedrali.
Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Relazioni tra
sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi dell'omomorfismo e dell'isomorfismo. Il Teorema di Cayley e il Teorema di
Cayley generalizzato. L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di coniugio ed equazione
di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow. Somma diretta di
gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti. Gruppi risolubili.
