Informazioni generali:
ALGEBRA
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Anno di corso I
Periodo annuale
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Settore scientifico-disciplinare MAT/02
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CFU 15
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Prerequisiti ed eventuali propedeuticità:
ore 120
Non sono previsti prerequisiti particolari se non quelli comuni a tutte le scuole
secondarie superiori
Obiettivi formativi:
Lo scopo del corso è quello di far acquisire agli allievi la capacità di formalizzare un
problema e di sondare l’ambiente in cui cercare le eventuali soluzioni. Il corso si
prefigge anche lo scopo di sollecitare la capacità di astrazione e fornire gli strumenti
per utilizzare tale astrazione per passare dal particolare al generale.
Programma del corso:
Teoria degli insiemi.
Insiemi e operazioni tra insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti.
Relazioni d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali, maggioranti e
minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore. Funzioni o applicazioni. Applicazioni
iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni.
I numeri.
I numeri naturali. Il principio di induzione. L'algoritmo di divisione. Il Massimo comune
divisore. L'algoritmo euclideo. Numeri primi ed irriducibili. I primi di Fermat. Fattorizzazione
in N. Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| < |P(A)|=|2A|. Potenza del continuo.
I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di Bézout.
Fattorizzazione in Z e alcune conseguenze. I numeri razionali. La struttura di campo ordinato
di Q. Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di divisibilità.
Risoluzione di congruenze lineari e il teorema cinese del resto. La funzione di Eulero e il
teorema di Eulero-Fermat. Applicazioni: numeri primi e Teorema di Wilson. Crittografia e
codici. Cenno sui numeri reali come campo ordinato. I numeri complessi. Forme algebriche e
trigonometriche dei numeri complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse
dell'unità. Il Teorema fondamentale dell'Algebra (senza dim.).
I polinomi.
Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di divisione.
MCD e identità di Bézout. Teorema di Ruffini. Fattorizzazione unica. Questioni di irriducibilità
in C[x], R[x], Q[x], Z[x]. Il criterio di Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.
Teoria delle strutture algebriche.
a) Teoria dei gruppi.
Prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. I Gruppi ciclici. Il gruppo simmetrico e il gruppo
alterno. I gruppi diedrali. Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo
quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi
dell'omomorfismo e dell'isomorfismo. Il Teorema di Cayley e il Teorema di Cayley
generalizzato. L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di
coniugio ed equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il Teorema di Cauchy
ed i Teoremi di Sylow. Somma diretta di gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi
abeliani finiti. Gruppi risolubili.
b) Teoria degli anelli.
Prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli. Omomorfismi tra
anelli. Ideali. Anelli quozienti. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli.
Sottoanelli ed ideali rispetto ad un omomorfismo. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali
finitamente generati. Ideali principali. Ideali primi ed ideali massimali. Esistenza di ideali
massimali. Immersione di un dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio di
integrità. Domini euclidei. K[x]. Z[i]. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione
unica e loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro applicazioni. Esempi e
controesempi. Elementi primi ed irriducibili. Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss
e Teorema di Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x]. Primi somma di due
quadrati
Risorse e testi: (ad es. lezioni frontali, seminari ecc., se viene fornito materiale didattico, testi
consigliati)
Durante l’anno vengono inviati agli alunni i files contenenti gli argomenti trattati
durante le lezioni frontali. Si svolgono periodicamente esercitazioni sui temi svolti. Si
svolgono inoltre due prove scritte in itinere il primo in gennaio ed il secondo in maggio.
I testi consigliati sono:
A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.
G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.
I.N. Hersteirn - Algebra - Editori riuniti
A. Ragusa - Collezione di Esercizi di Algebra - Ed. Ambasciatori
A. Ragusa - C. Sparacino - Esercizi di Algebra - Zanichelli.
Orario delle lezioni: Lunedì 11-13, Mercoledì 9-11, Venerdì 9-11
(nel secondo semestre la lezione del venerdì è soppressa)
Verifiche ed esami: (Metodi di valutazione dell’apprendimento e criteri per l’attribuzione del
voto finale)
Gli esami consistono in una prova scritta ed una orale (coloro che hanno superato
entrambe le prove in itinere sono esentati dalla prova scritta d’esame) su tutti gli
argomenti che fanno parte del programma e che sono stati affrontati durante le lezioni
frontali.
