Programma Algebra 1

Nuovo corso di 9 crediti ovvero 5 crediti (= 45 ore di) lezione e 4 crediti (= 44 ore di)
esercitazioni. Per il corso da 6 crediti guardare qui
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Prerequisiti e Obiettivi
o Prerequisiti Comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore.
o Obiettivi Fornire il linguaggio di base dell'algebra. Introduzione alle strutture
algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una
variabile e dei loro quozienti. Elementi di teoria dei moduli.
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Programma
o Teoria degli insiemi [9 ore = 1 credito]
 Insiemi. Relazioni tra insiemi. Applicazioni surgettive, iniettive e bigettive.
Teorema di Cantor. [3]
 Naturali, assiomi di Peano e induzione. Insiemi finiti e insiemi infiniti
(secondo Cantor e Dedekind). [2]
 Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipotenti.
Insiemi numerabili e cardinalità. [2]
 Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Assioma della scelta. Reticoli. [2]
o Aritmetica [9 ore = 1 credito]
 Costruzione degli interi e dei razionali. Numeri primi. Divisione euclidea. [2]
 Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di
numeri primi. [2]
 Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
 Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat
e funzione di Eulero. [3]
o Strutture algebriche [27 ore = 3 crediti]
 Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e
monoidi. [2]
 Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Polinomi.
[3]
 Zero-divisori, invertibili e nilpotenti. Irriducibilità e fattorizzazione unica.
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [4]
 Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Anelli euclidei. [3]
 Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
 Teoria dei moduli: basi, moduli finitamente generati e liberi. [4]
 Decomposizione di un modulo su un anello euclideo. [3] Il teorema di
struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. [3]
 Spazi vettoriali su un campo K pensati come K[x]-moduli mediante un
endomorfismo. [2]
Testi
Una versione estesa delle note per il corso di Algebra 1 è contenuta nel libro
o L. Barbieri Viale: Una Introduzione all'Algebra che si trova in versione ancora
preliminare sulla pagina web del Prof.Barbieri Viale
o http://users.unimi.it/~barbieri/Note.html
Altri libri
o M. Artin: Algebra Bollati Boringhieri 1997. Ultima edizione (in inglese): Algebra
(2nd Edition) Addison Wesley, 2010 [il testo classico di algebra: utilizzato nel corso
di Algebra di M. Artin all'MIT]
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S. Bosch: Algebra Unitext-Springer 2003 [un buon testo che contiene anche elementi
di aritmetica non elementare]
Dikran Dikranjan-M. Silvia Lucido: Aritmetica e Algebra ed. Liguori, 2007 [utile
come manuale: ben organizzato e con parecchi esercizi svolti