DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di laurea in Matematica
Anno accademico 2016/2017 - 1° anno
ALGEBRA
15 CFU - 2° semestre
Docente titolare dell'insegnamento
MARCO D'ANNA
Email: [email protected]
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, V.le A. Doria 6, 95125 Catania
Telefono: 095 7383066
Orario ricevimento: Giovedì 12-13, Venerdì 11-13 oppure per appuntamento. Tale orario subirà
modifiche dopo l'estate, essendo legato agli orari di lezione miei e degli studenti.
OBIETTIVI FORMATIVI
Lo scopo del corso è quello di far acquisire agli allievi la capacità di formalizzare un problema e di
sondare l’ambiente in cui cercare le eventuali soluzioni. Il corso si prefigge anche lo scopo di sollecitare la
capacità di astrazione e fornire gli strumenti per utilizzare tale astrazione per passare dal particolare al
generale.
In particolare, il corso si propone di fa acquisire agli studenti le seguenti competenze:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere
enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali dell'algebra; sviluppare abilità matematiche nel
ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; risolvere problemi matematici che, pur non essendo
comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
dimostrare risultati algebrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi;
costruire dimostrazioni rigorose; risolvere problemi di algebra che richiedono un pensiero originale;
essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel
linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli;
Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con
riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado
di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni;
essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.
Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità
informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse
sottese; sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo
chiaro e comprensibile.
Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello
studio.
PREREQUISITI RICHIESTI
Conoscenze elementari di matematica presenti in tutti i programmi delle scuole superiori.
FREQUENZA LEZIONI
Fortemente consigliata.
CONTENUTI DEL CORSO
Prima parte (circa un terzo del corso)
a) Teoria degli insiemi.
Insiemi e operazioni tra insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. Relazioni
d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali, maggioranti e minoranti, estremo superiore
ed estremo inferiore. Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di
applicazioni.
b) I numeri.
I numeri naturali. Il principio di induzione.
Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| < |P(A)|=|2A|. Potenza del continuo.
I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di Bézout. Fattorizzazione in Z e
alcune conseguenze. I numeri razionali. La struttura di campo ordinato di Q.
Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di divisibilità. Risoluzione di
congruenze lineari. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat.
Cenno sui numeri reali come campo ordinato. I numeri complessi. Forme algebriche e trigonometriche dei
numeri complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse dell'unità. Il Teorema fondamentale
dell'Algebra (senza dim.).
c) I polinomi.
Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di divisione. MCD e
identità di Bézout. Teorema di Ruffini. Fattorizzazione unica. Questioni di irriducibilità in C[x], R[x], Q[x],
Z[x]. Il criterio di Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.
Seconda parte: teoria delle strutture algebriche.
a) Teoria degli anelli (circa un terzo del corso)
Prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali.
Anelli quozienti. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali rispetto ad un
omomorfismo. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi ed ideali massimali. Immersione di un
dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. Domini euclidei. Domini ad ideali
principali. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro
applicazioni. Elementi primi ed irriducibili. Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss e Teorema di
Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x].
b) Teoria dei gruppi (circa un terzo del corso)
Prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. Gruppi ciclici. Il gruppo simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi
diedrali. Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Omomorfismi tra
gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi dell'omomorfismo e dell'isomorfismo. Il
Teorema di Cayley. L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di coniugio ed
equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow.
Somma diretta di gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti.
TESTI DI RIFERIMENTO
1. G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.
2. A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.
PROGRAMMAZIONE DEL CORSO
* Argomenti
Riferimenti
testi
1
* Insiemi e operazioni tra insiemi.
2
2
* Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti.
2
3
* Relazioni d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali,
maggioranti e minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore.
2
4
* Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive.
Composizione di applicazioni.
2
5
* I numeri naturali. Il principio di induzione.
2
6
* Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| < |P(A)|=|2A|. Potenza del
continuo.
2
7
* I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di
Bézout. Minimo comune multiplo.
2
8
* I numeri razionali. La struttura di campo ordinato di Q.
2
9
* Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di
divisibilità. Risoluzione di congruenze lineari
2
10 * La funzione di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat.
2
11 * Cenno sui numeri reali come campo ordinato.
2
12 * I numeri complessi. Forme algebriche e trigonometriche dei numeri
complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse dell'unità. Il
Teorema fondamentale dell'Algebra.
2
13 * Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi su un campo:
l'algoritmo di divisione.
2
14 * MCD e identità di Bézout. Teorema di Ruffini. Fattorizzazione unica.
2
15 * Questioni di irriducibilità in C[x], R[x], Q[x], Z[x]. Il criterio di Eisenstein.
Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.
2
16 * Anelli: prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi.
Sottoanelli.
2 oppure 1
17 * Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli quozienti. I teoremi di omomorfismo e
di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali rispetto ad un omomorfismo.
2 oppure 1
18 * Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi ed ideali massimali.
Esistenza di ideali massimali.
2 oppure 1
19 * Immersione di un dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio
di integrità.
2 oppure 1
20 * Domini euclidei. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione unica e
loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro applicazioni.
2 oppure 1
21 * Elementi primi ed irriducibili. Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di
Gauss e Teorema di Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x].
2 oppure 1
22 * Gruppi: prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. Gruppi ciclici.
2
23 * Il gruppo simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi diedrali.
2
24 * Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo
quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un
omomorfismo. I teoremi dell'omomorfismo e dell'isomorfismo.
2
25 * Il Teorema di Cayley.
1
26 * L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di
coniugio ed equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico.
2
27 * Il Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow.
2
28 * Somma diretta di gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani
finiti.
2
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non
sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente
alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
MATERIALE DIDATTICO
Esercizi e note su particolari argomenti del programma saranno resi disponibili su Studium.
PROVA D'ESAME
MODALITÀ D'ESAME
Durante il corso dell'anno si svolgeranno alcune esercitazioni, in cui si proporranno agli studenti dei
problemi da risolvere singolarmente o a piccoli gruppi e durante le quali il docente verificherà il
progressivo svolgimento della prova, suggerendo idee e correggendo eventuali errori. Si potranno anche
proporre dei test sulla teoria studiata.
Si svolgeranno poi due prove in itinere che, se superate, daranno allo studente l'esonero dalla prova
scritta di fine corso. L'esame si completerà con una prova orale.
Il voto terrà conto della prova scritta (o delle prove in itinere) e di quella orale; le prove scritte si
considerano superate se si ottiene una valutazione non inferiore a 15/30. Il voto finale non consiste di
una media tra i voti delle prove, ma l’orale determina un incremento al voto dello scritto. Il voto potrà
anche tenere conto di eventuali riscontri positivi nelle verifiche svolte durante l’anno.
DATE D'ESAME
http://web.dmi.unict.it/Didattica/Laurea%20Triennale%20in%20Matematica%20L-35/Calendario%20dEsa
mi
PROVE IN ITINERE
Si prevedono due prove in itinere scritte: la prima si svolgerà durante la pausa didattica invernale e la
seconda a fine corso. Tali prove prevedranno anche esercizi di tipo teorico. La prima prova in itinere
corrisponde a 4 CFU mentre la seconda a 5 CFU. Chi supererà entrambe le prove sarà esonerato dallo
scritto dell’esame finale, che però dovrà svolgersi necessariamente negli appelli estivi e autunnali.
PROVE DI FINE CORSO
Consiste di una prova scritta ed una orale. In caso lo studente superi le prove in itinere sarà esonerato
dalla prova scritta. Nel caso superi solo la prima prova in itinere avrà una riduzione della prova scritta,
per tutti gli appelli estivi e autunnali.
ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI
Gli esercizi di algebra non sono standard, ovvero non rientrano in precise tipologie. Durante l'anno, su
Studium, saranno resi disponibili esercizi sui vari argomenti del corso.
La stuttura tipica di una domanda teorica è la seguente: si richiede di parlare di un argomento del
programma, enunciando correttamente le definizioni ed i teoremi principali connessi a tale argomento;
successivamente si richiederà di dimostrare uno di questi risultati e di applicarlo a qualche esempio.
