Esercitazioni per corso OFA Esercizio 1 Esprimere la tangente di un angolo mediante il coseno distinguendo tra i vari quadranti. Dalla definizione abbiamo √ ± 1 − cos α2 sin α = tgα = cos α cos α tenendo conto che il seno è positivo nel primo e secondo quadrante avremo √ 1 − cos α2 nel I ◦ , II ◦ quadrante tgα = cos α √ − 1 − cos α2 tgα = nel III ◦ , IV ◦ quadrante cos α Esercizio 2 Utilizzando le formule di duplicazione per il seno e coseno esprimere tg2α mediante tgα Abbiamo per definizione tg2α = 2 sin α cos α sin 2α = cos 2α cos2 α − sin2 α dividiamo sopra e sotto per cos2 α ottenendo tg2α = 2tgα 1 − tg2 α Esercizio 3 Risolvere la seguente equazione cos α + sin α = 1 Abbiamo sin α = 1 − cos α ⇒ sin2 = 1 − 2 cos α + cos2 α 1 da cui 1 − cos2 α = 1 − 2 cos α + cos2 α ⇒ 2 cos2 α − 2 cos α = 0 Abbiamo due soluzioni possibili cos α = 0 e cos α = 1, ovvero (α in radianti) α= π + 2kπ 2 3π + 2kπ 2 α= α = 2kπ Tornado all’equazione iniziale si verifica che solo le soluzioni α= π + 2kπ 2 α = 2kπ sono accettabili. Esercizio 4 Determinare per quali valori di α la seguente disequazione è soddisfatta tgα + Posto x = tgα avremo x+ 1 >1 tgα 1 > 1 ⇒ x2 − x + 1 > 0 x Tale diseguaglianza è vera per qualsiasi valore di x (verificarlo) e quindi la desegueglianza iniziale è vero per qualsiasi α. Esercizio 5 Determinare l’area di un pentagono regolare noto il lato l. Possiamo dividere un pentagono regolare in 5 triangoli iscosceli congruenti con base il lato l e angolo opposto pari a 2π/5 (fare un disegno). Possiamo calcolare l’altezza h di ciascun triangolo usando la trigonometria h= l cos(2π/5) 2 sin(2π/5) L’area di ciascun triangolo è A= l2 cos(2π/5) lh = 2 4 sin(2π/5) 2 L’area del pentagono regolare si ottiene moltiplicanto per 5 l’area del triangolo 5l2 cos(2π/5) 4 sin(2π/5) Esercizio 6 Determinare l’area di un cerchio inscritto in un triangolo equilatero noto il lato l. Tracciando le altezze del triangolo equilatero che passano attraverso il centro del cerchio otteniamo una serie di triangoli rettangoli (fare un disegno) i cui cateti sono l/2 e il raggio r del cerchio inscritto e l’angolo opposto al cateto lungo r misura π/6. Avremo pertanto la relazione l π l r = tg = √ 2 6 2 3 L’area A del cerchio inscritto è A= l2 π 12 Esercizio 7 Determinare l’area di un settore circolare individuato da un angolo di 60◦ sapendo il raggio del cerchio. Trasformiano la misura in gradi in radianti secondo la relazione αrad = π 60◦ π = ◦ 180 3 L’area A del settore si può determinare dalla relazione A= r2 π r 2 αrad = 2 6 3