Esercitazioni per corso OFA Esercizio 1 Esprimere la tangente di un

Esercitazioni per corso OFA
Esercizio 1
Esprimere la tangente di un angolo mediante il coseno distinguendo tra i vari quadranti.
Dalla definizione abbiamo
√
± 1 − cos α2
sin α
=
tgα =
cos α
cos α
tenendo conto che il seno è positivo nel primo e secondo quadrante avremo
√
1 − cos α2
nel I ◦ , II ◦ quadrante
tgα =
cos
α
√
− 1 − cos α2
tgα =
nel III ◦ , IV ◦ quadrante
cos α
Esercizio 2
Utilizzando le formule di duplicazione per il seno e coseno esprimere tg2α mediante tgα
Abbiamo per definizione
tg2α =
2 sin α cos α
sin 2α
=
cos 2α
cos2 α − sin2 α
dividiamo sopra e sotto per cos2 α ottenendo
tg2α =
2tgα
1 − tg2 α
Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione
cos α + sin α = 1
Abbiamo
sin α = 1 − cos α ⇒ sin2 = 1 − 2 cos α + cos2 α
1
da cui
1 − cos2 α = 1 − 2 cos α + cos2 α ⇒ 2 cos2 α − 2 cos α = 0
Abbiamo due soluzioni possibili cos α = 0 e cos α = 1, ovvero (α in radianti)
α=
π
+ 2kπ
2
3π
+ 2kπ
2
α=
α = 2kπ
Tornado all’equazione iniziale si verifica che solo le soluzioni
α=
π
+ 2kπ
2
α = 2kπ
sono accettabili.
Esercizio 4
Determinare per quali valori di α la seguente disequazione è soddisfatta
tgα +
Posto x = tgα avremo
x+
1
>1
tgα
1
> 1 ⇒ x2 − x + 1 > 0
x
Tale diseguaglianza è vera per qualsiasi valore di x (verificarlo) e quindi la desegueglianza
iniziale è vero per qualsiasi α.
Esercizio 5
Determinare l’area di un pentagono regolare noto il lato l.
Possiamo dividere un pentagono regolare in 5 triangoli iscosceli congruenti con base il lato
l e angolo opposto pari a 2π/5 (fare un disegno). Possiamo calcolare l’altezza h di ciascun
triangolo usando la trigonometria
h=
l cos(2π/5)
2 sin(2π/5)
L’area di ciascun triangolo è
A=
l2 cos(2π/5)
lh
=
2
4 sin(2π/5)
2
L’area del pentagono regolare si ottiene moltiplicanto per 5 l’area del triangolo
5l2 cos(2π/5)
4 sin(2π/5)
Esercizio 6
Determinare l’area di un cerchio inscritto in un triangolo equilatero noto il lato l.
Tracciando le altezze del triangolo equilatero che passano attraverso il centro del cerchio
otteniamo una serie di triangoli rettangoli (fare un disegno) i cui cateti sono l/2 e il raggio
r del cerchio inscritto e l’angolo opposto al cateto lungo r misura π/6. Avremo pertanto
la relazione
l π
l
r = tg = √
2 6
2 3
L’area A del cerchio inscritto è
A=
l2 π
12
Esercizio 7
Determinare l’area di un settore circolare individuato da un angolo di 60◦ sapendo il raggio
del cerchio.
Trasformiano la misura in gradi in radianti secondo la relazione
αrad =
π
60◦ π
=
◦
180
3
L’area A del settore si può determinare dalla relazione
A=
r2 π
r 2 αrad
=
2
6
3