PROVA SCRITTA ANALISI 1 - E
Esercizio 1. Data la funzione
f (x) =
(x3 − 3x)
(3x2 − 10)
se ne studi
(1) il campo di definizione, i limiti al bordo del campo di definizione,
eventuali asintoti;
(2) la monotonia, massimi, minimi e punti critici;
(3) concavità, conessità e punti di flesso;
(4) si tracci un grafico approssimativo di f ;
q
, ed è una funzione dispari,
Soluzione. La funzione è definita per x 6= ± 10
q 3 q
10
possiamo limitare lo studio all’insieme [0, 10
3 )∪(
3 , +∞) e utilizzare la
simmetria per tracciare il grafico in tutto il dominio.
I limiti sono
lim f (x) = +∞,
lim
f (x)
q
x→ 10
±
3
x→+∞
per q
x = 0 e in x =
qLa funzione si annulla √
10
( 3 , +∞), negativa in ( 3, 10
3 ).
Vediamo se ci sono asintoti obliqui. Poiché
1
f (x)
= ,
x→+∞ x
3
lim
lim [f (x) −
x→+∞
= ±∞
√
√
3, è positiva in (0, 3) ∪
x
3x3 − 9x − 3x3 + 10x
] = lim
=0
x→+∞
3
3(3x2 − 10)
abbiamo a +∞ l’asintoto obliquo y = x3 .
Passiamo alla derivata prima
f 0 (x) =
3(x4 − 7x2 + 10)
(10 − 3x2 )2
Il segno della derivata dipende solo dal segno di
√
√
√
√
x4 − 7x2 + 10 = (x2 − 5)(x2 − 2) = (x − 5)(x + 5)(x − 2)(x + 2)
√
√
Ne segue
subito
che
la
funzione
cresce
in
(0,
2)
∪
(
5, +∞), decresce in
q √
√ q 10
√
( 2, 3 ) ∪ ( 10
2, con valore y =
3 , 5), ha un massimo locale in x =
√
√
√
√
√
2
f ( 2) = 4 e un minimo locale in x = 5 con valore y = f ( 5) = 2 5 5 .
La derivata seconda è
f 00 (x) =
6x(x2 + 10)
(3x2 − 10)3
Data: 14 febbraio 2017.
1
2
PROVA SCRITTA ANALISI 1 - E
2,5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2,5
Figura 1. Il grafico di f (x) =
(x3 −3x)
(3x2 −10)
e quindi la concavità è rivolta verso il basso in (0,
q
( 10
3 , +∞).
Si veda il grafico in figura 1
q
10
3 ),
verso l’alto in
Esercizio 2. Determinare l’insieme di definizione della seguente funzione
r
sin x − cos x − 1
tan2 x − 1
Soluzione. La funzione è 2π-periodica, limitiamo lo studio all’intervallo
[0, 2π].
√
Abbiamo che sin x−cos x = 2 sin(x− π4 ), quindi il numeratore è positivo
√
π
se sin(x − π4 ) > 22 , quindi se π4 < x − π4 < 3π
4 ovvero in ( 2 , π).
Il denominatore è positivo quando tan x < −1 oppure tan x > 1. In [0, 2π]
5π 3π
3π 7π
questo significa nell’insieme ( π4 , π2 ) ∪ ( π2 , 3π
4 ) ∪ ( 4 , 2 ) ∪ ( 2 , 4 ).
In definitiva la funzione è definita in
[
π
π
3π
(2kπ, + 2kπ) ∪ ( + 2kπ,
+ 2kπ)
4
2
4
k∈Z
7π
5π
+ 2kπ) ∪ (
+ 2kπ, 2π + 2kπ)
4
4
Esercizio 3. Calcolare modulo, argomento, parte
√ reale, parte immaginaria
1
delle radici quarte del numero complesso − 2 − 23 i.
∪ (π + 2kπ,
Soluzione. Abbiamo che − 12 −
√
1
3
π/3
i
z0 = e
= +
2
2
z2 = −z0
√
3
2 i
= e4π/3 . Quindi abbiamo
√
i
3
5π/6
z1 = e
=−
+
2
2
z3 = −z1
Esercizio 4. Calcolare il seguente integrale
Z
dx
3
x −1
PROVA SCRITTA ANALISI 1 - E
3
Soluzione. Cerchiamo a, b e c in modo che
1
a
b(2x + 1)
c
=
+ 2
+ 2
.
3
x −1
x−1 x +x+1 x +x+1
Troviamo
1
(2x + 1)
1
1
=
−
−
.
3
2
2
x −1
3(x − 1) 6(x + x + 1) 2(x + x + 1)
Quindi
Z
Z
2
1
dx
dx
1
1
= log |x − 1| − log x + x + 1 −
3
2
x −1
3
6
2
x +x+1
Per calcolare l’ultimo integrale osserviamo che
Z
Z
Z
dx
dx
4
dx
=
=
1
3
2x+1
2
x +x+1
3
(x + 2 )2 + 4
( √3 ) 2 + 1
√ Z
√
√ )0 dx
( 2x+1
4 3
2 3
2x + 1
3
=
=
arctan √
2x+1
2
6
3
( √3 ) + 1
3
Esercizio 5. Si consideri, al variare di α > 0, la serie
∞
X
cos nπ
n=1
nα + cos2 n
Per quali valori di α la serie è convergente, e per quali valori di α è assolutamente convergente?
Soluzione. Poiché cos nπ = (−1)n , siamo in presenza di una serie a segni
alterni. Osserviamo poi che
1
1
1
≤ α
≤ α
nα + 1
n + cos2 n
n
da cui segue subito che la serie è assolutamente convergente se α > 1 e che
non è assolutamente convergente se α ≤ 1.
Verifichiamo se sono verificate le ipotesi del criterio di Leibnitz quando
α ∈ (0, 1]. Abbiamo che
1
an = α
→0
n + cos2 n
Per verificare la monotonia studiamo la derivata della funzione f (x) =
1
. Abbiamo che
xα +cos2 x
f 0 (x) = −
αxα−1 − 2 cos x sin x
(xα + cos2 x)2
È chiaro che per x sufficentemente grande la derivata prima è negativa, e la
funzione decrescente, per cui
an = f (n) > f (n + 1) = an+1
