Capitolo I : Trigonometria

Liceo Lugano 1, 2011-2012
2E (Luca Rovelli)
Capitolo I : Trigonometria
1. L’ampiezza degli angoli: gradi e radianti
In questo paragrafo introduttivo ricorderemo innanzitutto alcune definizioni elementari
e procederemo poi alla definizione di una ”nuova” unità di misura per l’ampiezza degli
angoli.
Definizione 1 (Angolo)
Si dice angolo una parte di piano compresa tra due semirette aventi l’origine in
comune.
Tradizionalmente, per la misura dell’ampiezza di un angolo viene utilizzata la notazione
sessagesimale (”in base 60”), che suddivide l’angolo completo (o angolo giro) in 360
angoli gradi (o, più comunemente, gradi), il grado in 60 primi e il primo in 60 secondi:
1◦ = 600
10 = 6000
,
e quindi 1◦ = 360000
,
.
Ulteriori suddivisioni utilizzano il comune sistema decimale. Spesso gli angoli vengono
indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco (α, β, γ, δ, . . .), e l’ampiezza di un
angolo si indica con il segno di uguaglianza, ad es. γ = 37◦ 210 indica che l’ampiezza
dell’angolo γ (”gamma”) misura 37 gradi e 21 primi.
Definizione 2 (Alcuni angoli particolari)
Un angolo α è detto
• nullo, se α = 0◦ ;
• piatto, se α = 180◦ ;
• acuto, se 0◦ < α < 90◦ ;
• giro, se α = 360◦ ;
• retto, se α = 90◦ ;
• convesso, se 0◦ < α < 180◦ ;
• ottuso, se 90◦ < α < 180◦ ;
• concavo, se 180◦ < α < 360◦ .
A volte, è comodo scrivere le frazioni di grado utilizzando il sistema decimale (tale notazione ”mista” detta anche sessadecimale).
Il passaggio da una notazione all’altra non comporta particolari problemi. Ecco qualche
esempio:
1) 112◦ 60 3300 = 112◦ + 6 · 1◦ + 33 · 1◦ ∼
= 112, 11◦
60
◦
0
00
◦
2) 22 15 46 = 22 +
15
60
3600
◦
·1 +
46
3600
· 1◦ ∼
= 22, 26◦ ;
3) 17, 22◦ = 17◦ + 0, 22 · 600 = 17◦ + 13, 20 = 17◦ + 130 + 0, 2 · 6000 = 17◦ 130 1200 .
4) 36, 321◦ = 36◦ + 0, 321 · 600 = 36◦ + 19, 260 = 36◦ + 190 + 0, 26 · 6000 = 36◦ 190 15, 600 .
Trigonometria, corso normale (V1.0)
1
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Il sistema sessagesimale si basa su scelte del tutto arbitrarie. In effetti, si tratta di un
retaggio della matematica babilonese (ca. 2000 a.C.): la suddivisione dell’angolo giro in
360 parti corrisponde ai circa 360 giorni impiegati dal sole a percorrere l’intera volta celeste e la notazione in primi e secondi deriva dal sistema numerico in base 60 in uso presso
i matematici babilonesi. Un altro sistema totalmente arbitrario, introdotto in Francia
alla fine del ’700 e ormai caduto in disuso, suddivide l’angolo giro in 400 parti (si tratta
del grado centesimale, utilizzato per decenni dall’artiglieria francese e ancora presente,
come ”grad”, su parecchie calcolatrici scientifiche). Fu l’avvento del calcolo infinitesimale
(v. programma di III/IV Liceo) a motivare l’introduzione di un angolo di riferimento più
naturale, il radiante, l’unità oggi in uso nel Sistema Internazionale.
Definizione 3 (Radiante)
Il radiante (o angolo radiante) è l’angolo sotteso da un arco di lunghezza pari al
suo raggio.
B
)
Illustrazione:
)
Se |OA| = |AB| (cioè se la misura del segmento
OA è pari alla misura dell’arco AB), allora vale
α = 1rad .
α
O
Osservazione: tale definizione non dipende dalla misura del raggio:
A
i settori circolari OAB, OA0 B 0 e OA00 B 00 sono simili
)
B 00
(o, meglio, omotetici): se vale |OA| = |AB|, allora
0
B
)
)
|OA0 |
B0
0
|OA00 |
= |A B | e
00
00
= |A B |
O
A
e quindi
[ =
AOB
0 OB 0
\
A
=
00 OB 00
A\
rad
=1
A0
A00
.
[ vale
Per un qualunque angolo di ampiezza ϕ (intesa come multiplo di 1rad ), con ϕ = AOC
C
|AC|
1
0
|AB|
=
|A0 C 0 |
⇐⇒
|A0 B 0 |
|AC|
ϕ
=
r
1
)
)
r
)
B
)
ϕ
0
)
C0
)
B
⇐⇒
ϕ=
|AC|
r
A
A
r
in altre parole: l’ampiezza in radianti è pari al rapporto tra misura dell’arco e
misura del raggio.
O
Osservazione: dal momento che si tratta di un rapporto tra due lunghezze, l’ampiezza
espressa in radianti non possiede unità di misura. A volte però, come promemoria, è in
uso l’apice ”rad” (v. sopra).
Trigonometria, corso normale (V1.0)
2
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
;
Dalla definizione segue immediatamente che l’ampiezza dell’angolo piatto è pari a π rad
(una semicirconferenza di raggio unitario misura π unità). Questo fatto è utile per convertire velocemente i gradi sessagesimali in radianti e viceversa: indicando con α◦ risp.
αrad l’ampiezza espressa in gradi risp. in radianti, vale la semplice proporzione
α◦
αrad
= rad
180◦
π
.
Da essa seguono le semplici formule
α◦ = αrad ·
180◦
π rad
αrad = α◦ ·
e
π rad
180◦
.
Esempi:
1) Quanto misura, in gradi, l’angolo radiante?
◦
◦
180
rad 180
∼
1 · rad =
= 57, 29578◦ ∼
= 57◦ 170 44, 800
π
π
.
2) Quanto misura, in radianti, l’angolo grado?
π rad
π rad
∼
1 ·
=
= 0, 0175rad
◦
180
180
◦
.
Riassumiamo in una tabella le ampiezze in gradi e in radianti di alcuni angoli notevoli:
α◦
αrad
0 30 45 60 90 180 360
π π π π
0
π
2π
6 4 3 2
Applicazioni: la conoscenza, in radianti, dell’ampiezza dell’angolo
al centro permette di calcolare velocemente la lunghezza di un arco
di circonferenza e l’area del settore circolare da esso delimitato.
A
ϕ
a
r
1) Sia a la lunghezza dell’arco; dalla definizione segue immediatamente
2) Sia A la superficie del settore circolare. Dal momento che
immediatamente A =
ϕ
· r2 π cioè
2π
A=
1
ϕ r2
2
a = ϕr
.
A
ϕ
=
, ricaviamo
2
r π
2π
.
a
1a 2
a·r
Osservazione: dato che ϕ = , segue che A =
r cioè A =
r
2r
2
(nota la somiglianza con la formula A = base · 2altezza per l’area del triangolo!).
Trigonometria, corso normale (V1.0)
3
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2. Rapporti trigonometrici nei triangoli rettangoli
Considera i triangoli rettangoli OAB, OA0 B 0 , OA00 B 00 :
B 00
B
dal momento che i tre triangoli sono
simili, osserviamo immediatamente che
vale
0
B
|AB|
|A0 B 0 |
|A00 B 00 |
=
=
|OB|
|OB 0 |
|OB 00 |
α
O
A
A0
A00
.
In altre parole: il rapporto tra cateto opposto ad α e ipotenusa è costante per tutti i
triangoli rettangoli aventi un angolo acuto isometrico ad α.
Tale rapporto, che dipende quindi soltanto da α, viene indicato con sin α (o sen α), il
seno dell’angolo α.
Analogamente vale
•
|OA0 |
|OA00 |
|OA|
=
=
= cos α
|OB|
|OB 0 |
|OB 00 |
•
|AB|
|A0 B 0 |
|A00 B 00 |
=
=
= tan α
|OA|
|OA0 |
|OA00 |
(il coseno dell’angolo α)
(la tangente dell’angolo α)
ed eventualmente anche
•
|OA|
|OA0 |
|OA00 |
= 0 0 = 00 00 = cotan α
|AB|
|A B |
|A B |
(la cotangente dell’angolo α).
Riassumendo: siano a, b i cateti e c l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, con a opposto
all’angolo α;
Definizione 4 (Rapporti trigonometrici)
c
a
α
b
Trigonometria, corso normale (V1.0)
sin α =
a
cateto opposto ad α
=
c
ipotenusa
cos α =
b
cateto adiacente ad α
=
c
ipotenusa
tan α =
a
cateto opposto ad α
=
b
cateto adiacente ad α
cotan α =
b
cateto adiacente ad α
=
a
cateto opposto ad α
4
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Note:
(i) I rapporti trigonometrici sono definiti soltanto per triangoli rettangoli. Ci occuperemo più tardi della trigonometria dei triangoli qualsiasi.
(ii) I rapporti trigonometrici sono in realtà funzioni dell’angolo α, e pertanto sarebbe
più corretto impiegare le notazioni complete sin(α), cos(α) ecc. (con le parentesi).
In particolare, le notazioni abbreviate sin α, cos α ecc. non indicano di certo dei
prodotti!
Esempi: calcoliamo i rapporti trigonometrici per qualche angolo notevole:
π rad
(c è la diagonale di un quadrato di lato a = b)
4
1) α = 45◦ =
a
sin 45 =
c
=
cos 45◦ =
b
c
=
tan 45◦ =
a
b
=
◦
c=
√
2a
a
45◦
b=a
:
√
a
1
2
√
=√ =
2
2a
2
√
2
b
1
√ =√ =
2
2b
2
1
π rad
(c è il lato e b l’altezza di un triangolo equilatero, a è la metà di c);
6
√
√
√
osservando che c = 2a e b = c2 − a2 = 3a2 = 3 a otteniamo:
2) α = 30◦ =
c = 2a
a
c
=
cos 30◦ =
b
c
=
a
◦
30
b=
sin 30◦ =
√
3a
a
tan 30 =
b
◦
=
a
1
=
2a
2
√
√
3a
3
=
2a
2
√
a
1
3
√
=√ =
3
3a
3
Osservazioni (fai riferimento al disegno sulla pagina precedente) :
(i) Dal momento che a e b sono entrambi positivi e a < c, vale sin α =
sin α = ac < 1, cioè sin α ∈]0, 1[ (per α ∈]0◦ , 90◦ [ risp. α ∈]0, π2 [).
a
c
> 0 e
(ii) Analogamente: 0 < b < c ⇒ cos α ∈]0, 1[ (α ∈]0◦ , 90◦ [ risp. α ∈]0, π2 [).
sin α
(iii)
=
cos α
a
c
b
c
=
ac
a
= = tan α ; quindi
bc
b
tan α =
sin α
.
cos α
b
1
1
1
cos α
= a =
; quindi
cotan α =
=
.
a
tan
α
tan
α
sin
α
b
Dal momento che la cotangente è semplicemente il reciproco della tangente, il suo
studio non è di particolare interesse. Per questo motivo essa non viene quasi mai
menzionata.
(iv) cotan α =
Trigonometria, corso normale (V1.0)
5
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
a 2 b 2 a2 + b2
c2
(v) (sin α) +(cos α) =
+
=
=
= 1; con la notazione semplificata
c
c
c2
c2
(sin α)2 = sin2 α, (cos α)2 = cos2 α si ricava l’importante identità
2
2
sin2 α + cos2 α = 1
.
I rapporti trigonometrici sin, cos e tan definiscono funzioni reali1 iniettive ]0◦ , 90◦ [→ R
(risp. ]0, π2 [→ R). Le rispettive inverse sono definite come segue:
• l’arcoseno: arcsin
x = y ⇐⇒ x = sin y ;
√
ad esempio arcsin 22 = 45◦ (oppure = π4 ) perché sin 45◦ =
• l’arcocoseno: arccos
x = y ⇐⇒ x = cos y ;
√
3
ad esempio arccos 2 = 30◦ (oppure = π6 ) perché cos 30◦ =
√
2
2
;
√
3
2
;
• l’arcotangente: arctan x = y ⇐⇒ x = tan y ;
ad esempio arctan 1 = 45◦ (oppure = π4 ) perché tan 45◦ = 1 .
Nota: le comuni calcolatrici utilizzano (impropriamente) i simboli sin−1 , cos−1 e tan−1
per denotare le funzioni inverse.
3. Risoluzione di triangoli rettangoli
Nelle uguaglianze
sin α =
a
c
,
cos α =
b
c
,
tan α =
a
b
intervengono 3 variabili: due lati ed un angolo. Note 2 di esse, è
quindi possibile risolvere un triangolo rettangolo (cioè determinarne
lati e angoli mancanti) utilizzando le funzioni trigonometriche, le
loro inverse e il Teorema di Pitagora.
c
a
α
b
Per il calcolo delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse, salvo nel caso degli angoli
”notevoli”, siamo costretti a ricorrere alla calcolatrice.
Esempi:
1) Dati c = 3, 42 m e α = 20◦ 220 , determina a e b.
Otteniamo immediatamente
a = c · sin α = 3, 42 m · sin(20◦ 220 ) ∼
= 1, 19 m
b = c · cos α = 3, 42 m · cos(20◦ 220 ) ∼
= 3, 21 m .
1
ci occuperemo più tardi di questo punto di vista; al momento siamo soltanto interessati alle applicazioni geometriche di sin, cos, tan e delle funzioni inverse, v. prossimo paragrafo
Trigonometria, corso normale (V1.0)
6
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2) Dati a = 5, 7 cm e c = 12, 3 cm, determina α.
Da sin α = ac ricaviamo
α = arcsin
a
5, 7 ∼ ◦ 0 00
= arcsin
= 27 36 28
c
12, 3
3) Dati b = 132, 7 cm e α = π7 , determina a e c.
Possiamo ricavare a e c da
π
a = b · tan α = 132, 7 cm · tan ∼
= 63, 9 cm
7
e
c=
.
√
a2 + b 2 ∼
= 147, 29 cm
oppure da
c=
b
132, 7 cm ∼
=
= 147, 29 cm
cos α
cos π7
e
a=
√
c 2 − b2 ∼
= 63, 9 cm .
Applicazioni:
1) Area di un triangolo: se h è l’altezza
(interna o esterna) relativa al lato b di
un triangolo, allora per la sua area vale
A = 12 bh ;
dal momento che, per quanto visto sopra, vale h = c sin α dove α è l’angolo compreso
tra b e c, ricaviamo l’utile formula
A=
1
bc sin α
2
,
cioè: l’area di un triangolo è pari a metà del prodotto di due lati per il seno
dell’angolo compreso tra essi.
2) Risoluzione di un triangolo isoscele: se b è la
base e c il lato obliquo di un triangolo isoscele, allora la sua risoluzione è equivalente alla risoluzione di
due triangoli rettangoli aventi ipotenusa c e cateti 12 b e
q
2
h = c2 − 12 b . Inoltre, se α è l’angolo alla base e β
l’angolo tra i lati obliqui, vale la relazione 2α+β = 180◦ .
Osservazioni:
(i) Il ragionamento dell’Appl. 2) è generalizzabile, dal momento che ogni triangolo è
scomponibile con l’aiuto di triangoli rettangoli. Ciò mostra che la trigonometria
permette anche di risolvere triangoli qualsiasi. Ci occuperemo più tardi di questo
fatto, enunciando i cosiddetti teoremi del seno e del coseno.
(ii) Per ora, possiamo dare un senso alla formula dell’appl. 1) soltanto se α è acuto;
come vedremo tra breve, essa si generalizza senza problemi anche agli angoli ottusi.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
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4. Angoli orientati
Come abbiamo già notato, i rapporti trigonometrici definiscono funzioni soltanto nell’intervallo compreso tra l’angolo nullo e l’angolo retto. Per estenderle all’intero insieme R (o
quasi, nel caso di tan e cotan) occorre innanzitutto dare un senso ad angoli di ampiezza
α (in gradi o radianti) per α ∈ R qualsiasi.
Ci occupiamo innanzitutto del segno: occorre semplicemente orientare un angolo, e quindi
scegliere un verso positivo.
B
O
α>0
A
Convenzione: siano OA e OB due semirette.
[ è quello deL’angolo orientato positivo α = AOB
scritto dalla rotazione della semiretta OA in senso
antiorario sulla semiretta OB.
Illustrazione:
[ >0
α =
AOB
[ = −α < 0
β = −AOB
[ = 2π − α > 0
γ =
BOA
[ = α − 2π < 0 .
δ = −BOA
Esempi:
3π
= 135◦
4
3π
= −135◦
β=−
4
5π
γ=−
= −225◦
4
5π
δ=
= 225◦
4
2) α =
π
= 90◦
2
3π
β=−
= −270◦
2
1) α =
3) α = 360◦ = 2π
β = −360◦ = −2π
Abbiamo quindi ampliato la nozione di ”angolo”, definendo angoli la cui ampiezza è compresa nell’intervallo [−360◦ , 360◦ ] risp. [−2π, 2π]. Per estendere ulteriormente tale nozione
è sufficiente considerare movimenti rotatori che superano l’angolo giro.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
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Esempi:
1) α = 225◦ + 360◦ = 585◦
5
13
risp. α = π + 2π = π
4
4
2) β = −30◦ − 2 · 360◦ = −750◦
25
π
risp. β = − − 2 · 2π = − π
6
6
Osservazioni:
(i) Scelta l’unità di misura, ad ogni numero reale corrisponde esattamente un angolo
orientato.
(ii) Due angoli α e α definiscono la stessa rotazione2 se essi differiscono per un multiplo
dell’angolo giro, cioè se esiste k ∈ Z tale che α = α + k · 360◦ (risp. α = α + k · 2π).
Esempi:
α
α0
α0 = α + 2π
α00
α00 = α0 + 2π = α + 4π
5. Definizione delle funzioni trigonometriche
Vogliamo ora estendere sin, cos e tan in modo tale che essi abbiano senso per ogni argomento reale, positivo o negativo (o quasi, nel caso di tan). Dal momento che i rapporti
trigonometrici forniscono valori solo per angoli acuti e positivi, per trattare il caso generale occorre estendere anche l’interpretazione geometrica.
D’ora in poi, lavoreremo principalmente in radianti3 . Non indicheremo quindi esplicitamente un’unità di misura per l’ampiezza di un angolo salvo quando essa sarà espressa in
gradi.
2
qui si considera solo l’immagine di una figura e non il ”movimento” che essa compie, distinguendo
quindi rotazione da movimento rotatorio; a volte, due angoli che definiscono la stessa rotazione vengono
detti congruenti
3
in III e IV Liceo comprenderemo perché dal punto di vista delle funzioni il radiante è l’unità di misura
più naturale per esprimere gli argomenti delle funzioni trigonometriche
Trigonometria, corso normale (V1.0)
9
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Nota innanzitutto che ogni triangolo rettangolo è simile ad un triangolo rettangolo la cui
ipotenusa misura 1 unità. Sia quindi ABC un triangolo rettangolo qualsiasi, e considera il
nuovo triangolo rettangolo di ipotenusa unitaria ottenuto, come in figura, da un’omotetia
di centro A:
otteniamo i rapporti
sin α =
y
|BC|
= =y
|AB|
1
cos α =
|AC|
x
= =x
|AB|
1
tan α =
|BC|
y
=
|AC|
x
.
Quindi: se l’ipotenusa misura 1 unità,
sin α =
cateto opposto ad α
cos α =
cateto adiacente ad α .
Questo fatto viene sfruttato per mettere in relazione le funzioni sin, cos e tan con la
cosiddetta circonferenza trigonometrica, vale a dire la circonferenza di raggio unitario
centrata nell’origine degli assi cartesiani.
y
1
Sia Pα (xα , yα ) il punto d’intersezione della
circonferenza trigonometrica con la semiretta
uscente dall’origine che forma con l’asse delle
ascisse l’angolo di ampiezza α. Allora vale,
π
per 0 < α < ,
2
Pα
yα
α
xα 1
−1
sin α = yα = l’ordinata di Pα
cos α = xα = l’ascissa di Pα
.
−1
Osservazione: il punto Pα può essere associato a qualsiasi α ∈] − ∞, +∞[, e non solo
ad angoli di ampiezza compresa tra l’angolo nullo e l’angolo retto. Grazie a questo fatto
siamo ora in grado di generalizzare4 le definizioni delle funzioni trigonometriche all’intero
campo reale.
4
solitamente, in matematica una definizione viene generalizzata rimpiazzandola con una ”nuova”
definizione di carattere più ampio equivalente alla ”vecchia” nei casi in cui quest’ultima è valida
Trigonometria, corso normale (V1.0)
10
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
x
Definizione 5 (Funzioni trigonometriche)
Sia Pα (xα , yα ) l’intersezione della circonferenza trigonometrica con la semiretta passante per l’origine che forma con l’asse Ox l’angolo di ampiezza α (v. sopra).
• La funzione seno:
sin : R −→ R
α 7−→ sin α = yα
(l’ordinata di Pα ) ;
• La funzione coseno:
cos : R −→ R
α 7−→ cos α = xα
(l’ascissa di Pα ) ;
• La funzione tangente:
tan : Dtan −→ R
yα
xα
;
α 7−→ cotan α =
xα
yα
α 7−→ tan α =
• La funzione cotangente:
cotan : Dcotan −→ R
.
Nota che sin e cos sono definiti ovunque, mentre tan e cotan non sono definite per i valori
di α che rendono nulli i denominatori (ci occuperemo più tardi dello studio dettagliato
delle funzioni trigonometriche).
Esempi: determina le coordinate di Pα e quindi i valori delle funzioni trigonometriche
2
13
π
per 1) α = −
, 2) α = π , 3) α = π .
4
3
4
1) α = −
π
: grazie al Teorema di Pitagora ricaviamo P− π4
4
1
2
√
2
− π4
− 21
√
2
Trigonometria, corso normale (V1.0)
P− π4
1
2
√
√ 2, − 12 2 e quindi
√
π
2
sin −
= y− π4 = −
4
2
√
π
2
cos −
= x− π4 =
4
2
π
y− π4
tan −
=
= −1
4
x− π4
11
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
√ 2
2) α = π : grazie al Teorema di Pitagora ricaviamo P 2 π − 12 , 21 3 e quindi
3
3
√
√
P 23 π
3
2
1
3
2
π
= y2π =
sin
3
2
3
2
3π
1
2
cos
π
= x2π = −
− 21
3
3
2
y2π
√
2
3
π
=
tan
=− 3
3
x2π
3
√
√ 13
π : grazie al Teorema di Pitagora ricaviamo P 13 π − 12 2, − 21 2 e quindi
4
4
√
2
13
π
= y 13 π = −
sin
4
4
2
13
√
4 π
1
√
−2 2
13
2
cos
π
= x 13 π = −
4
4
2
√
P 13
4 π
− 12 2
x 13 π
13
4
tan
π
=
=1
4
y 13 π
3) α =
4
Osservazioni: alcuni valori particolari delle funzioni trigonometriche sono evidenti. Ad
esempio, sia k ∈ Z un numero intero qualsiasi (cioè k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .); allora vale
◦
(i) sin(k · π) = 0
risp. sin(k · 180 ) = 0
;
risp. sin(90◦ + k · 360◦ ) = 1
;
sin( π2 + k · 2π) = 1
sin(− π2 + k · 2π) = −1
risp. sin(−90◦ + k · 360◦ ) = −1
;
risp. cos(k · 360◦ ) = 1
;
cos(π + k · 2π) = −1
risp. cos(180◦ + k · 360◦ ) = −1
π
◦
◦
cos( 2 + k · π) = 0
risp. cos(90 + k · 180 ) = 0
;
(ii) cos(k · 2π) = 1
(iii) tan(k · π) = 0
tan( π2 + k · π)
Trigonometria, corso normale (V1.0)
risp. tan(k · 180◦ ) = 0
risp. tan(90◦ + k · 180◦ )
12
;
;
non è definito
.
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Interpretazione geometrica della tangente:
Tα
ỹα
yα
Sia 0 ≤ α < π2 , e sia Tα (1, ỹα ) il punto d’intersezione
della retta passante per l’origine che forma con l’asse
Ox l’angolo α con la retta verticale passante per il
punto (1, 0). Allora vale
α
xα
1
tan α =
ỹα
yα
=
= ỹα
xα
1
.
In altre parole: tan α è l’ordinata di Tα .
Nota che si considera la retta relativa all’angolo α e non la semiretta allo scopo di
sin α
preservare il segno di tan α = cos
. In particolare, il punto Tα giace sempre nel I o nel IV
α
quadrante:
Tα
tan α
α
α
α
tan α
Tα
tan α
Tα
Osservazione: avvicinando α a ± π2 , il punto Tα può essere allontanato a piacere dall’asse
delle ascisse; si dice che per α tendente a + π2 da sinistra (risp. a − π2 da destra) il valore
di tan α tende a +∞ (risp. −∞).
6. Studio delle funzioni trigonometriche
Studiamo ora alcune proprietà delle funzioni seno, coseno e tangente.
La funzione seno
Pα
yα
α
Ricorda: il seno dell’angolo orientato α è l’ordinata del
punto Pα sulla circonferenza trigonometrica:
sin : R −→ R
α 7−→ sin α = yα
Trigonometria, corso normale (V1.0)
13
.
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Aiutandoci con la circonferenza
trigonometrica, tracciamo il grafico della funzione seno
π
nell’intervallo − 2 , 2π : per ogni punto Pα (xα , yα ) sulla circonferenza riportiamo in corrispondenza del valore α dell’ascissa l’ordinata yα (nota che l’arco sulla circonferenza
corrispondente a Pα misura a sua volta α unità!).
1
Pα (xα , yα )
(α, yα )
α
−
π
2
0
π
2
α
3
π
2
π
−1
• Insieme di definizione: Dsin = R .
• Insieme delle immagini: Imsin = [−1, 1] ; quindi, la funzione seno non è suriettiva.
• Periodicità: la funzione seno è periodica, di periodo 2π (risp. 360◦ ):
sin α = sin(α + k · 2π) ∀ k ∈ Z
(dal momento che Pα+k·2π = Pα ). Di conseguenza, essa non è iniettiva.
• Zeri: come abbiamo già notato, vale sin α = 0 ⇐⇒ α = k · π (risp. α = k · 180◦ ),
k ∈ Z.
• Massimi e minimi: la funzione seno assume il valore massimo sin α = 1 per
α = π2 + k · 2π (risp. α = 90◦ + k · 360◦ ) e il valore minimo sin α = −1 per
α = − π2 + k · 2π (risp. α = −90◦ + k · 360◦ ), k ∈ Z.
Convenzione: come d’abitudine per le funzioni reali, la variabile dipendente e la variabile
indipendente di una funzione trigonometrica vengono solitamente indicate con le lettere
x e y (da distinguere dalla grandezze xα e yα utilizzate in precedenza!).
h π πi
Nell’intervallo − ,
la funzione sin è iniettiva, e si può pertanto definirne l’inversa,
2 2
detta arcoseno:
h π πi
arcsin : [−1 , 1] −→ − ,
2 2
x 7−→ y = arcsin x
ove arcsin x = y ⇐⇒ sin y = x .
Trigonometria, corso normale (V1.0)
14
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
2π
Per disegnare il grafico della funzione
arcoseno, si può sfruttare la simmetria
esistente tra una funzione e la sua inversa rispetto alla prima bisettrice (cioè
la retta di equazione y = x).
Nota che vale
h π πi
arcsin(sin x) = x , x ∈ − ,
2 2
sin(arcsin x) = x , x ∈ [−1 , 1] .
La funzione coseno
Pα
α
Ricorda: il coseno dell’angolo orientato α è l’ascissa del
punto Pα sulla circonferenza trigonometrica:
xα
cos : R −→ R
α 7−→ cos α = xα
.
Aiutandoci con la circonferenza
trigonometrica, disegniamo il grafico della funzione
π
coseno nell’intervallo − 2 , 2π . Nota che nella figura a sinistra abbiamo cambiato la
direzione degli assi (perché?).
Pα
1
α
(α, xα )
−
π
2
0
α
π
2
π
3
π
2
−1
• Insieme di definizione: Dcos = R .
• Insieme delle immagini: Imcos = [−1, 1] ; quindi, la funzione coseno non è suriettiva.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
15
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
2π
• Periodicità: la funzione coseno è periodica, di periodo 2π (risp. 360◦ ):
cos α = cos(α + k · 2π) ∀ k ∈ Z
(dal momento che Pα+k·2π = Pα ). Di conseguenza, essa non è iniettiva.
• Zeri: come abbiamo già notato, vale cos α = 0
α = 90◦ + k · 180◦ ), k ∈ Z.
⇐⇒
α =
π
2
+ k · π (risp.
• Massimi e minimi: la funzione coseno assume il valore massimo cos α = 1 per
α = k · 2π (risp. α = k · 360◦ ) e il valore minimo cos α = −1 per α = (2k + 1) · π
(risp. α = (2k + 1) · 180◦ ), k ∈ Z.
Nell’intervallo [0, π] la funzione cos è iniettiva, e si può pertanto definirne l’inversa, detta
arcocoseno:
arccos : [−1 , 1] −→ [0 , π]
x 7−→ y = arccos x
ove5 arccos x = y ⇐⇒ cos y = x.
Per disegnare il grafico della funzione
arcoseno, si può sfruttare nuovamente
la simmetria esistente tra una funzione
e la sua inversa rispetto alla prima
bisettrice.
Nota che vale
arccos(cos x) = x , x ∈ [0 , π]
cos(arccos x) = x , x ∈ [−1 , 1]
.
5
ricorda che ora x e y rappresentano la variabile dipendente e la variabile indipendente (si tratta della
notazione standard nell’ambito delle funzioni) e non hanno nulla a che vedere con le grandezze xα , yα
utilizzate in precedenza
Trigonometria, corso normale (V1.0)
16
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
La funzione tangente
Tα
ỹα
yα
α
Ricorda: la tangente dell’angolo orientato α è
l’ordinata ỹα del punto Tα :
xα
tan : Dtan −→ R
α 7−→ tan α =
yα
= ỹα
xα
Disegniamo il grafico della funzione tangente nell’intervallo − π2 , 2π :
Tα
1
(α, ỹα )
α
−
π
2
0
π
2
α
π
3
π
2
−1
Trigonometria, corso normale (V1.0)
17
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
2π
• Insieme di definizione: Dtan = {α ∈ R | cos α 6= 0} = R \ { π2 + k · π | k ∈ Z} risp.
R \ {90◦ + k · 180◦ | k ∈ Z} .
Possiamo quindi scrivere
nπ
o
tan : R \
+ k · π | k ∈ Z −→ R .
2
In particolare, le rette verticali passanti per i punti di ascissa
verticali per il grafico di tan.
π
2
+ k · π sono asintoti
• Insieme delle immagini: Imtan = R ; quindi, la funzione tangente è suriettiva.
• Periodicità: la funzione tangente è periodica, di periodo π (risp. 180◦ ):
tan α = tan(α + k · π) ∀ k ∈ Z
(dal momento che Tα+k·π = Tα ). Di conseguenza, essa non è iniettiva.
• Zeri: come abbiamo già notato, vale tan α = 0 ⇐⇒ sin α = 0 ⇐⇒ α = k · π
(risp. α = k · 180◦ ), k ∈ Z.
i π πh
Nell’intervallo − ,
la funzione tan è iniettiva, e si può pertanto definirne l’inversa,
2 2
detta arcotangente:
i π πh
arctan : R −→ − ,
2 2
x 7−→ y = arctan x
ove arctan x = y ⇐⇒ tan y = x.
Sfruttiamo nuovamente la simmetria
assiale rispetto alla retta y = x per disegnare il grafico di arctan.
Nota che vale
h π πi
arctan(tan x) = x , x ∈ − ,
2 2
tan(arctan x) = x , x ∈ R .
Trigonometria, corso normale (V1.0)
18
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
7. Argomenti opposti, complementari e supplementari
Ragionando sul cerchio trigonometrico è facile esprimere in funzione di α le immagini
rispetto a sin, cos e tan di −α (l’opposto di α), π2 − α (il complementare) e π − α (il
supplementare).
Argomenti opposti: rappresentiamo Pα e P−α sul cerchio trigonometrico (per Pα nel
I quadrante; nei rimanenti il disegno è del tutto analogo).
Ricaviamo immediatamente
Pα (xα , yα )
sin(−α) = − sin α
α
−α
e da tan(−α) =
P−α (xα , −yα )
,
sin(−α)
cos(−α)
tan(−α) = − tan α
cos(−α) = cos α
sin α
= − cos
segue
α
(per α ∈ Dtan ).
Conseguenze: cos è una funzione pari6 , e quindi il suo grafico è simmetrico rispetto
all’asse delle ordinate, mentre sin e tan sono funzioni dispari, aventi quindi grafici simmetrici rispetto all’origine degli assi.
6
ricorda: una funzione f : R → R è detta pari se vale f (−x) = f (x) ∀ x ∈ Df e dispari se vale
f (−x) = −f (x) ∀ x ∈ Df
Trigonometria, corso normale (V1.0)
19
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Argomenti complementari: rappresentiamo Pα e P π2 −α sul cerchio trigonometrico
(per Pα nel I quadrante; nei rimanenti il disegno è del tutto analogo).
Ricaviamo immediatamente
P π2 −α (yα , xα )
π
2
−α
sin( π2 − α) = cos α
Pα (xα , yα )
α
e da tan( π2 − α) =
tan( π2 − α) =
cos( π2 − α) = sin α
,
sin( π2 −α)
cos( π2 −α)
=
cos α
sin α
1
= cotan α
tan α
segue
(per α ∈ Dcotan ).
Conseguenza: sfruttando
le relazioni mostrate finora7 , possiamo anche ricavare le re
π
lazioni per f x + 2 (le dimostrazioni sono lasciate per esercizio!):
sin α +
π
2
= cos α
,
cos α +
π
2
= − sin α
,
tan α +
π
2
= −cotan α
.
La prima delle tre, cos x = sin x + π2 , ha come conseguenza il fatto che il grafico di
y = cos x può essere ottenuto dal grafico di y = sin x grazie ad una traslazione di π2 unità
verso sinistra:
Argomenti supplementari: rappresentiamo Pα e Pπ−α sul cerchio trigonometrico (per
Pα nel I quadrante; nei rimanenti il disegno è del tutto analogo).
Pπ−α (−xα , yα )
Ricaviamo immediatamente
π−α
Pα (xα , yα )
sin(π − α) = sin α
,
cos(π − α) = − cos α
α
e da tan(π − α) =
sin(π−α)
cos(π−α)
tan(π − α) = −tan α
7
α
= − cos
segue
sin α
(per α ∈ Dtan ).
oppure ragionando direttamente sul cerchio trigonometrico
Trigonometria, corso normale (V1.0)
20
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Applicazioni:
a) (Riduzione al primo quadrante): le relazioni appena studiate, assieme alla periodicità, permettono di ridurre il calcolo delle funzioni trigonometriche all’intervallo
[0◦ , 90◦ ] risp. [0, π2 ].
Esempi:
1) cos(6263◦ ) = cos(6263◦ − 17 · 360◦ ) = cos(143◦ ) = − cos(180◦ − 143◦ ) = − cos(37◦ ) ;
π
π
2) sin( 53
2 π) = sin( 2 + 13 · 2π) = sin( 2 ) = 1 .
b) Semplifica:
1) sin 750◦ + 2 sin 120◦ − tan(−120◦ ) ;
2) sin π2 − α cos α + sin α cos π2 − α ;
3) tan(α + π) cos(−π) ;
sin(π + α)
4)
.
sin(π − α)
Soluzioni:
1) sin 750◦ + 2 sin 120◦ − tan(−120◦ ) =
◦
◦
− 120}◦ ) +
= 5 sin(750
−{z2 · 360}◦ ) + 2 sin(180
|
|
{z
30◦
√
60◦
tan(120◦ )
| {z }
=
− tan(180◦ −120◦ )=− tan 60◦
√
3
1
5
=5· +2·
− 3= ;
2
2
2
π
π
2) sin
− α cos α + sin α cos
− α = cos2 α + sin2 α = 1 ;
2{z
2
|
}
|
{z
}
cos α
sin α
sin α
cos
α = sin α ;
cos
α
sin(π + α)
sin(π − (π + α))
sin(−α)
− sin α
4)
=
=
=
= −1 .
sin(π − α)
sin α
sin α
sin α
3) tan(α + π) cos(−α) = tan α cos α =
8. Alcune identità fondamentali
Teorema 1
(i) sin2 α + cos2 α = 1 ∀ α ∈ R ;
nπ
o
sin α
(ii) tan α =
∀α∈R\
+ kπ | k ∈ Z ;
cos α
2
cos α
(iii) cotan α =
∀ α ∈ R \ {kπ | k ∈ Z} ;
sin α
n π
o
1
(iv) cotan α =
∀ α ∈ R \ k |k ∈ Z .
tan α
2
Trigonometria, corso normale (V1.0)
21
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Osservazione: si tratta di identità già incontrate nell’intervallo ]0, π2 [ (pag. 5).
y
Dimostrazione: si tratta di conseguenze
delle definizioni. Con sin α = yα e cos α = xα
vale
1
(i) x2α + yα2 = 1 (Teorema di Pitagora);
yα
(definizione) ;
xα
xα
(iii) cotan α =
(definizione) ;
yα
−1
xα
1
(iv) cotan α =
=
yα
tan α
Applicazioni:
Pα
yα
α
(ii) tan α =
xα 1
−1
1) Verifica le seguenti identità, e stabilisci per quali valori di α esse hanno senso:
a) cos2 α =
1
;
tan α + 1
2
b) tan α + cotan α =
1
.
sin α cos α
Soluzioni:
a)
1
tan2 α
+1
=
1
sin2 α
cos2 α
=
+1
deve valere α ∈ Dtan = R
1
sin2 α+cos2 α
2
cos α
\ π2 + kπ |
=
1
1
cos2 α
= cos2 α
;
k∈Z .
cos α
sin2 α + cos2 α
1
sin α
+
=
=
;
cos α
sin α
sin α cos α
sin α cos α
deve valere
⇐⇒
α ∈ Dtan ⇐⇒ sin α 6= 0 e α ∈ Dcotan
α ∈ R \ k · π2 | k ∈ Z .
b) tan α + cotan α =
cos α 6= 0, cioè
2) Dato il valore di una funzione trigonometrica, determina i valori delle rimanenti.
a) Dato sin α :
p
• da cos2 α + sin2 α = 1 si ricava cos α = ± 1 − sin2 α ;
sin α
sin α
• da tan α =
si ricava tan α = ± p
.
cos α
1 − sin2 α
Esempio: sapendo che sin α =
1
3
e che α ∈ [ π2 , π], determina cos α e tan α.
• nel III quadrante vale cos αq< 0, quindiq
p
√
cos α = − 1 − sin2 α = − 1 − 19 = − 89 = − 2 3 2 ;
• tan α =
sin α
cos α
3 =
= − 13 · 2√
2
√
2
4
.
b) Dato cos α: analogo.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
22
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
x
c) Dato tan α :
1
1
(v. sopra) si ricava cos α = ± √ 2
;
tan α + 1
tan +1
tan α
• da sin α = tan α cos α si ricava sin α = ± √ 2
.
tan +1
• da cos2 α =
2
9. Equazioni trigonometriche
Un’equazione in cui l’incognita compare come argomento di funzioni trigonometriche è
detta equazione trigonometrica.
Esempi di equazioni trigonometriche:
1
, sin(2x) = cos(3x) , tan2 x + tan x = 1 , cos x = x , sin x = x .
3
Per comprendere le tecniche di risoluzione, iniziamo considerando i casi elementari:
sin x =
(i) sin x = sin α dove α ∈ R e x è l’incognita.
Soluzioni: x = α + 2kπ oppure x = (π − α) + 2kπ, k ∈ R.
Quindi
S = {α + 2kπ | k ∈ Z} ∪ {(π − α) + 2kπ | k ∈ Z}
risp.
S = {α + k · 360◦ | k ∈ Z} ∪ {(180◦ − α) + k · 360◦ | k ∈ Z} .
Esempi:
1) sin x = sin 20◦ ;
S = {20◦ + k · 360◦ | k ∈ Z} ∪ {160◦ + k · 360◦ | k ∈ Z} .
1
π
2) sin x =
⇐⇒
sin x = sin ;
2
6
S = { π6 + 2kπ | k ∈ Z} ∪ { 5π
+
2kπ | k ∈ Z} .
6
3) 5 sin x + 1 = 2 sin x + 2 ⇐⇒ sin x =
con α = arcsin 31 ∼
= 19◦ 280 1600
1
3
⇐⇒ sin x = sin α
e quindi S = {α + k · 360◦ | k ∈ Z} ∪ {(180◦ − α) + k · 360◦ | k ∈ Z}
Oss. l’equazione sin x = t (con t ∈ [−1, 1]) può essere riscritta nella forma
sin x = sin α con α = arcsin t .
(ii) cos x = cos α dove α ∈ R e x è l’incognita.
Soluzioni: x = α + 2kπ oppure x = −α + 2kπ, k ∈ R. Quindi
S = {−α + 2kπ | k ∈ Z} ∪ {α + 2kπ | k ∈ Z} , cioè
S = {±α + 2kπ | k ∈ Z}
risp.
S = {±α + k · 360◦ | k ∈ Z} .
Trigonometria, corso normale (V1.0)
23
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Esempi:
√
2
π
⇐⇒
cos x = cos ;
2
4
S = {± π4 + 2kπ | k ∈ Z} .
1) cos x =
3
;
2
impossibile perché
2) cos x =
3
2
> 1; S = ∅ .
(iii) tan x = tan α dove α ∈ Dtan e x è l’incognita.
Soluzioni: x = α + kπ, k ∈ R. Quindi
S = {α + kπ | k ∈ Z}
risp.
S = {α + k · 180◦ | k ∈ Z} .
Esempi:
1) tan x =
√
3
⇐⇒
tan x = tan
π
;
3
S = { π3 + kπ | k ∈ Z} .
2) tan(x) = tan 32◦
⇐⇒
x = 32◦ + k · 180◦ ;
S = {32◦ + k · 180◦ | k ∈ Z} .
(iv) cotan x = cotanα : simile a (iii).
In generale, la strategia per risolvere un’equazione trigonometrica consiste nello sfruttare
opportunamente le forme (i)-(iv), riconducendosi ad esse grazie ad opportune trasformazioni algebriche. Elenchiamo qualche caso più generale:
(v) Equazioni della forma
sin f (x) = sin g(x)
,
cos f (x) = cos g(x)
,
tan f (x) = tan g(x)
:
si procede in maniera analoga a (i)-(iii):
• sin f (x) = sin g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + 2kπ oppure f (x) = π − g(x) + 2kπ ecc.
• cos f (x) = cos g(x) ⇐⇒ f (x) = ±g(x) + 2kπ ecc.
• tan f (x) = tan g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + kπ ecc.
Esempi:
1) tan(3x) = tan 81◦
⇐⇒
3x = 81◦ + k · 180◦
⇐⇒
x = 27◦ + k · 60◦ ;
S = {27◦ + k · 60◦ | k ∈ Z} .
Trigonometria, corso normale (V1.0)
24
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
2) cos(5x − 20◦ ) = cos(x + 30◦ )
⇐⇒
5x − 20◦ = ±(x + 30◦ ) + k · 360◦ ;
dobbiamo distinguere 2 casi:
• 5x − 20◦ = x + 30◦ + k · 360◦ ⇐⇒ 4x = 50◦ + k · 360◦ ⇐⇒ x = 12◦ 300 + k · 90◦
• 5x−20◦ = −x−30◦ +k·360◦ ⇐⇒ 6x = −10◦ +k·360◦ ⇐⇒ x = −1◦ 400 +k·60◦
quindi S = {12◦ 300 + k · 90◦ | k ∈ Z} ∪ {−1◦ 400 + k · 60◦ | k ∈ Z} .
(vi) Equazioni della forma a sin f (x) + b cos f (x) = 0 :
vale a sin f (x) + b cos f (x) = 0 ⇐⇒
sin f (x)
cos f (x)
= − ab ⇐⇒ tan f (x) = − ab ecc.
sin x
Esempio: sin x + cos x = 0 ⇐⇒ cos
x = −1 ⇐⇒ tan x = −1
π
π
⇐⇒ tan x = tan − 4 ⇐⇒ x = − 4 + kπ e quindi S = {− π4 + kπ | k ∈ Z} .
(vii) Equazioni della forma sin f (x) = cos g(x) : si possono sfruttare le formule per gli
argomenti complementari (pag. 20), riscrivendo l’equazione nella forma
π
π
sin f (x) = sin
− g(x)
oppure anche cos
− g(x) = cos g(x) .
2
2
Esempi:
1) sin(2x) = cos(3x) ;
1o modo: sin(2x) = cos(3x) ⇐⇒ cos( π2 − 2x) = cos(3x) ⇐⇒
π
2
− 2x = ±3x + 2kπ;
distinguiamo 2 casi:
π
π
π
2
2 − 2x = 3x + 2kπ ⇐⇒ −5x = − 2 + 2kπ ⇐⇒ x = 10 − 5 kπ
2
π
10 + 5 kπ)
• π2 − 2x = −3x + 2kπ ⇐⇒ x = − π2 + 2kπ
π
quindi S = {− π2 + 2kπ | k ∈ Z} ∪ { 10
+ 52 kπ | k ∈ Z} .
2o modo: sin(2x) = cos(3x) ⇐⇒ sin(2x) = sin( π2 − 3x)
⇐⇒ 2x = π2 − 3x + 2kπ oppure 2x = π − ( π2 − 3x) + 2kπ ;
π
• 2x = π2 − 3x + 2kπ ⇐⇒ 5x = π2 + 2kπ ⇐⇒ x = 10
+ 25 kπ
• 2x = π − ( π2 − 3x) + 2kπ ⇐⇒ 2x = π2 + 3x + 2kπ ⇐⇒ x = − π2 −
(oppure − π2 + 2kπ)
π
quindi S = {− π2 + 2kπ | k ∈ Z} ∪ { 10
+ 52 kπ | k ∈ Z} .
•
2) sin x + cos x = 0
⇐⇒
sin x = − cos x
⇐⇒
(o anche8
2kπ
sin x = cos(π − x) ;
modo: sin x = cos(π−x) ⇐⇒ cos( π2 −x) = cos(π−x) ⇐⇒ π2 −x = ±(π−x)+2kπ
• π2 − x = π − x + 2kπ ⇐⇒ 0x = π2 + 2kπ, impossibile
• π2 − x = −π + x + 2kπ ⇐⇒ x = 34 π − kπ (oppure 34 π + kπ)
quindi S = { 34 π + kπ | k ∈ Z} = {− π4 + kπ | k ∈ Z} .
2o modo: sin x = cos(π − x) ⇐⇒ sin x = sin( π2 − (π − x)) = sin(x − π2 ), analogo.
1o
Nota che si tratta della stessa equazione risolta in (vi): non sempre il metodo di
risoluzione è unico!
8
dal momento che k può assumere qualsiasi valore intero, sia positivo che negativo
Trigonometria, corso normale (V1.0)
25
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
(viii) Equazioni quadratiche in sin x, cos x oppure tan x: grazie ad opportune sostituzioni
(y = sin x, y = cos x, y = tan x) esse vengono ricondotte a comuni equazioni
quadratiche, le quali possono essere risolte mediante scomposizione o con la formula
risolutiva.
Esempi:
1) 2 sin2 x + 3 sin x + 1 = 0 ; sostituendo y = sin x ricaviamo 2y 2 + 3y + 1 = 0
⇐⇒ y = sin x =
√
−3− 9−8
4
= −1 oppure y = sin x =
√
−3+ 9−8
4
= − 12
• sin x = −1 ⇐⇒ sin x = sin(− π2 )
⇐⇒ x = − π2 + 2kπ oppure x = π − (− π2 ) + 2kπ = 32 π + 2kπ = − π2 + 2kπ
(nota che 32 π = − π2 + 2π)
• sin x = − 12 ⇐⇒ sin x = sin(− π6 )
⇐⇒ x = − π6 + 2kπ oppure x = π − (− π6 ) + 2kπ = 76 π + 2kπ
quindi S = {− π2 + 2kπ | k ∈ Z} ∪ {− π6 + 2kπ | k ∈ Z} ∪ { 7π
6 + 2kπ | k ∈ Z} .
√
√
3
3 cotan x = 1 + 3 ⇐⇒ tan x +
=1+ 3
tan x
√
√
⇐⇒ tan2 x − (1 + 3) tan x + 3 = 0
√
⇐⇒ (tan x − 1)(tan x − 3) = 0 (trin. tipico!)
√
⇐⇒ tan x = 1 oppure tan x = 3 ;
2) tan x +
√
√
• tan x = 1 ⇐⇒ tan x = tan π4 ⇐⇒ x = π4 + kπ
√
• tan x = 3 ⇐⇒ tan x = tan π3 ⇐⇒ x = π3 + kπ
quindi S = { π4 + kπ | k ∈ Z} ∪ { π3 + kπ | k ∈ Z} .
Nel caso di equazioni in cui compaiono sia termini in sin x che termini in cos x, si
può far uso della relazione sin2 x + cos2 x = 1.
3) sin2 x − 7 cos x = 7 ;
ricordando che vale sin2 x = 1 − cos2 x :
sin2 x − 7 cos x = 7 ⇐⇒ 1 − cos2 x − 7 cos x = 7 ⇐⇒ cos2 x + 7 cos x + 6 = 0
⇐⇒ (cos x + 6)(cos x + 1) = 0 ;
• cos x + 6 = 0 ⇐⇒ cos x = −6, impossibile
• cos x + 1 = 0 ⇐⇒ cos x = −1 ⇐⇒ cos x = cos 180◦
quindi S = {±180◦ + k · 360◦ | k ∈ Z} = {180◦ + k · 360◦ | k ∈ Z}.
Nota che il segno ”±” è superfluo dal momento che −180◦ = 180◦ + (−1) · 360◦
(k = −1).
Trigonometria, corso normale (V1.0)
26
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
10. Interludio: criteri di congruenza per triangoli
Due figure geometriche sono dette congruenti se i lati e gli angoli corrispondenti sono
isometrici9 . In questo paragrafo ripasseremo le condizioni minime che due triangoli devono soddisfare affinché essi siano congruenti. Ci occuperemo inoltre delle cosiddette
condizioni di esistenza.
Notazione standard per i vertici, i lati e gli angoli di un triangolo:
• α è l’angolo in A, a il lato opposto ad α;
• β è l’angolo in B, b il lato opposto a β;
• γ è l’angolo in C, c il lato opposto a γ.
Ragionando geometricamente, ci occupiamo ora delle seguenti questioni:
a) A che condizioni (su a, b, c, α, β, γ) due triangoli sono congruenti?
(In altre parole: quali grandezze sono sufficienti per determinare in maniera univoca
anche le rimanenti?)
b) A che condizioni (su a, b, c, α, β, γ) un triangolo esiste?
1)
Il ”criterio LLL”
a) Due triangoli sono congruenti
⇐⇒ i tre lati sono isometrici
Quindi: la terna (a, b, c) determina le misure del triangolo ABC.
b) Il triangolo esiste se a+b > c dove c è il lato maggiore (cioè se a, b e c soddisfano
la ”disuguaglianza triangolare”).
9
in altre parole, se esse sono sovrapponibili o, in un linguaggio più rigoroso, se esiste un’isometria (cioè
una composizione di traslazioni, rotazioni e simmetrie) che trasforma una figura nell’altra
Trigonometria, corso normale (V1.0)
27
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
2)
Il ”criterio ALA”
a) Due triangoli sono congruenti
⇐⇒ un lato e due angoli sono
isometrici
Quindi: ad es. le terne (a, α, β) oppure (b, α, γ) determinano le misure del
triangolo ABC. Ricorda che la relazione α + β + γ = π permette di risalire
immediatamente al terzo angolo.
b) Il triangolo esiste se la somma delle ampiezze dei due angoli dati è inferiore a
π (ad es. se α + β < π, se sono noti α e β).
3)
Il ”criterio LAL”
a) Due triangoli sono congruenti
⇐⇒ due lati e l’angolo compreso
tra essi sono isometrici
Quindi: una fra le terne (α, b, c), (a, β, c) oppure (a, b, γ) determina le misure
del triangolo ABC.
b) Il triangolo esiste se l’ampiezza dell’angolo dato è inferiore a π (ad es. se α < π,
se sono dati α, b e c).
4)
Il ”caso ambiguo LLA”
Sono dati 2 lati e un angolo non
compreso tra essi, ad es. b, c e γ.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
28
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
• Se γ ≥ π : impossibile, il triangolo
non esiste.
• Se γ ∈ [ π2 , π[ :
– se c > b (cioè se γ è opposto al lato
maggiore) : 1 soluzione.
– se c ≤ b : impossibile, il triangolo non
esiste.
• Se γ ∈]0, π2 ] :
– se c ≥ b (cioè se γ è opposto al lato
maggiore) : 1 soluzione.
– se c ∈]b sin γ, b[ : 2 soluzioni.
– se c = b sin γ : 1 soluzione.
– se c < b sin γ : nessuna soluzione.
Osservazione: in particolare, se γ < π c’è sempre un’unica soluzione se γ è opposto al
lato maggiore.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
29
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Nei prossimi 2 paragrafi ci occuperemo della risoluzione di triangoli qualsiasi. In particolare, sarà possibile verificare algebricamente le intuizioni geometriche appena elencate.
11. Il Teorema del coseno
Teorema 2 (Il teorema del coseno, o di Carnot)
In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati
degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno
dell’angolo compreso fra essi:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .
Dimostrazione: ci occupiamo della prima delle tre formule.
Caso 1: α è un angolo acuto, e l’altezza relativa a c si trova all’interno del triangolo;
a2 =
=
=
=
=
h2 + (a0 )2 =
(b sin α)2 + (c − b cos α)2 =
b2 sin2 α + c2 − 2bc cos α + b2 cos2 α =
b2 (sin2 α + cos2 α) + c2 − 2bc cos α =
b2 + c2 − 2bc cos α .
Caso 2: α è un angolo acuto, e l’altezza relativa a c si trova all’esterno del triangolo:
a2 = h2 + (a0 )2 =
= (b sin α)2 + (b cos α − c)2 =
= (b sin α)2 + (c − b cos α)2
e quindi si può procedere come sopra.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
30
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Caso 3: α è un angolo ottuso:
a2 = h2 + (a0 )2 =
= (b sin(π − α))2 + (c + b cos(π − α))2 =
= (b sin α)2 + (c − b cos α)2
e quindi si può procedere come sopra. Nel calcolo abbiamo applicato le relazioni
sin(π − α) = sin α e
cos(π − α) = − cos α .
Per dimostrare le due formule rimanenti è sufficiente ”appoggiare” il triangolo su b risp.
a. Ciò corrisponde a una permutazione delle variabili nella formula. Osservazione: il Teorema del coseno generalizza il Teorema di Pitagora (che equivale al
caso α = π2 ). Nota che, nella forma presentata qui, esso però non dimostra il Teorema di
Pitagora, visto che quest’ultimo è stato utilizzato per dimostrare il Teorema 2.
Applicazioni: risolvi il triangolo ABC, conoscendo...
1) a, b e c (LLL): ricaviamo gli angoli dalle relazioni
cos α =
b 2 + c 2 − a2
2bc
,
cos β =
a2 + c 2 − b 2
2ac
e γ = 180◦ − α − β
.
Esempio: a = 10, b = 7, c = 15 (nota che a + b > c, quindi la soluzione esiste):
α = arccos
100 + 225 − 49 ∼
49 + 225 − 100 ∼
= 34, 05◦ , β = arccos
= 23, 07◦ , γ ∼
= 122, 88◦ .
210
300
2) α, b e c (LAL): ricaviamo le grandezze mancanti dalle relazioni
a=
√
b2 + c2 − 2bc cos α ,
cos γ =
a2 + b 2 − c 2
2ab
e β = 180◦ − α − γ
.
Esempio: b = 10, c = 20, α = 150◦ (nota che α < 180◦ , quindi la soluzione esiste):
a=
√
29, 092 + 100 − 202 ∼
100 + 400 − 400 cos 150◦ ∼
= 29, 09 , γ ∼
= arccos
= 20, 14◦ , β ∼
= 9, 86◦ .
2 · 29, 09 · 10
3) b, c e γ (LLA): per ricavare a, scriviamo
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
⇐⇒
a2 − 2b cos γ · a + (b2 − c2 ) = 0 ;
si tratta di un’equazione quadratica (in a); a dipendenza del valore del discriminante
∆ = (−2b cos γ)2 − 4(b2 − c2 ) = 4b2 cos2 γ − 4(b2 − c2 ) ;
essa può presentare 2, 1 o nessuna soluzione (cfr. con la discussione a pag. 29).
Trigonometria, corso normale (V1.0)
31
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Esempio 1: b = 10, c = 15, γ = 40◦ (nota che γ è opposto al lato maggiore, quindi
la soluzione esiste ed è unica):
l’equazione quadratica
a2 − 2b cos γ · a + (b2 − c2 ) = 0
a2 − 20 cos 40◦ · a − 125 = 0
⇐⇒
ha soluzioni
a1 =
20 cos 40◦ −
p
400 cos2 γ + 500 ∼
= −5, 89
2
e
a2 =
20 cos 40◦ +
p
400 cos2 γ + 500 ∼
= 21, 21
2
solo a1 è positiva e quindi accettabile. Quindi vale a ∼
= 21, 21 e
β = arccos
a2 + c2 − b2 ∼
= 25, 37◦
2ac
α = 180◦ − β − γ ∼
= 114, 63◦
,
.
Esempio 2: b = 10, c = 8, γ = 40◦ (nota che c ∈]10 sin 40◦ , 10[, e quindi le soluzioni
sono due):
l’equazione quadratica
a2 − 2b cos γ · a + (b2 − c2 ) = 0
a2 − 20 cos 40◦ · a + 36 = 0
⇐⇒
ha soluzioni
a1 =
20 cos 40◦ +
p
400 cos2 γ − 144 ∼
= 12, 42
2
e a2 =
20 cos 40◦ −
p
400 cos2 γ − 144 ∼
= 2, 90 .
2
Vi sono quindi 2 possibilità: a1 ∼
= 12, 42,
β1 = arccos
a2 + c2 − b2 ∼
= 53, 46◦
2ac
,
α1 = 180◦ − β − γ ∼
= 86, 54◦
a2 + c2 − b2 ∼
= 126, 54◦
2ac
,
α2 = 180◦ − β − γ ∼
= 13, 46◦
e a2 ∼
= 2, 90,
β2 = arccos
(Nota che β1 e β2 sono tra loro supplementari).
Osservazioni:
(i) Per quanto riguarda il caso ALA, il Teorema del coseno non fornisce direttamente
una soluzione in quanto esso presuppone la conoscenza di due lati. Dovremo quindi
ricorrere al Teorema dei seni (v. prossimo paragrafo).
(ii) Come vedremo, il Teorema dei seni permette anche di trattare il caso LLA in modo
più sbrigativo.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
32
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
;
12. Il Teorema dei seni
Teorema 3 (Il teorema dei seni)
In un triangolo qualsiasi le misure dei lati sono direttamente proporzionali ai seni
degli angoli opposti ad essi:
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
.
Dimostrazione: nota che il Teorema è espresso da 3 uguaglianze. Ci occupiamo della
prima, mostriamo cioè che sina α = sinb β .
Caso 1: α e β sono acuti; sia h l’altezza relativa a c:
h = b · sin α = a · sin β
a
b
=
.
=⇒
sin β
sin α
Caso 2: un angolo è ottuso (ad es. β); sia h l’altezza (esterna) relativa a c:
sin β
z }| {
h = b · sin α = a · sin(π − β)
=⇒
Per dimostrare l’uguaglianza
in modo analogo b
sin β
=
c
sin γ
a
b
=
sin β
sin α
.
si considera l’altezza relativa ad a e si procede
Il Teorema 3 può essere precisato esplicitando il valore della costante di proporzionalità:
Teorema 4
In un triangolo ABC vale
a
b
c
=
=
= 2r
sin α
sin β
sin γ
ove r è il raggio del cerchio circoscritto ad ABC.
Trigonometria, corso normale (V1.0)
33
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Dimostrazione: se il vertice A del triangolo e il
centro O della circonferenza circoscritta si trovano
dalla stessa parte di a (cfr. figura a destra) vale
1
0C = α = ω
[ = BA
\
BAC
2
(dal momento che si tratta di angoli alla circon\
ferenza relativi all’angolo al centro ω = BOC);
0 BC è retto (dal momento che è
\
inoltre l’angolo A
inscritto in una semicirconferenza).
Vale quindi
sin α =
|BC|
a
=
|A0 C|
2r
a
= 2r
sin α
e quindi
(la dimostrazione per il caso in cui A e O non si trovano dalla stessa parte è lasciata per
esercizio). Analogamente si dimostra che vale
sin β =
b
2r
e
sin γ =
c
2r
Applicazioni: risolvi il triangolo ABC, conoscendo...
1) α, β e c (ALA): ricaviamo
γ = 180◦ − α − β
,
sin β
sin γ
b=c·
a=c·
,
sin α
sin γ
.
Esempio: α = 27◦ , β = 130◦ , c = 17 (il triangolo esiste, dato che α + β < 180◦ ):
γ = 180◦ − 27◦ − 130◦ = 23◦
b = 17 ·
,
sin 130◦ ∼
= 33, 33 ,
sin 23◦
a = 17 ·
sin 27◦ ∼
= 19, 75 .
sin 23◦
2) b, c e γ (LLA): ricaviamo
sin β =
b
· sin γ
c
,
α = 180◦ − β − γ
,
a=b·
sin α
sin β
.
Noto sin β, l’ampiezza di β può assumere nell’intervallo ]0◦ , 180◦ [ due valori, tra essi
supplementari. Nella risoluzione entrambi vanno tenuti in considerazione, prestando
però attenzione alle condizioni di esistenza.
Esempio 1: b = 10, c = 15, γ = 40◦ (cfr. 3), es. 1 pag. 32):
sin β =
10
sin 40◦ ∼
= 0, 43
15
⇒
β∼
= 25, 37◦
oppure β ∼
= 180◦ − 25, 37◦ = 154, 63◦
;
la seconda soluzione non è accettabile dato che β + γ > 180◦ . Dalla prima si ricava
α = 180◦ − γ − β ∼
= 114, 63◦
Trigonometria, corso normale (V1.0)
34
,
a=c·
sin α ∼
= 21, 21
sin γ
.
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Esempio 2: b = 10, c = 8, γ = 40◦ (cfr. 3), es. 2 pag. 32):
sin β =
10
sin 40◦ ∼
= 0, 80
8
⇒
oppure β = β2 ∼
= 180◦ −53, 46◦ = 126, 54◦
β = β1 ∼
= 53, 46◦
entrambe le soluzioni sono accettabili, con
α1 = 180◦ − γ − β1 ∼
= 86, 54◦
a1 = c ·
,
e
α2 = 180◦ − γ − β2 ∼
= 13, 46◦
,
a2 = c ·
sin α1 ∼
= 12, 42
sin γ
sin α2 ∼
= 2, 90 .
sin γ
13. Formule di addizione e sottrazione
Vogliamo ora dimostrare alcune relazioni che permettono di esprimere
sin(α ± β) ,
cos(α ± β) e
tan(α ± β)
per mezzo dei valori delle funzioni trigonometriche di α e β.
Teorema 5
a) cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β ;
b) cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β .
Dimostrazione: iniziamo dalla formula di sottrazione.
Pα (xα , yα )
b) Siano
d
ϕ
xα
yα
xβ
yβ
=
=
=
=
=
α−β
cos α
sin α
cos β
sin β .
Pβ (xβ , yβ )
ϕ
α
β
O
1
Esprimiamo in 2 modi il quadrato d2 = |Pα Pβ |2 della distanza tra i punti Pα e Pβ
situati sulla circonferenza trigonometrica:
• con il teorema del coseno otteniamo
d2 = |OPα |2 + |OPβ |2 − 2 |OPα | |OPβ | cos ϕ = 2 − 2 cos ϕ
| {z } | {z } |
{z
}
1
Trigonometria, corso normale (V1.0)
1
2
35
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
;
• e con il teorema di Pitagora
d2 = (xβ − xα )2 + (yβ − yα )2 = (x2α + yα2 ) + (x2β + yβ2 ) −2(xα xβ + yα yβ )
| {z } | {z }
1
1
= 2 − 2(xα xβ + yα yβ ) .
Uguagliando le due espressioni si ricava
2 − 2 cos ϕ = 2 − 2(xα xβ + yα yβ )
⇐⇒
cos ϕ = xα xβ + yα yβ
cioè
cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β
.
a) Sostituendo β con (−β), ricaviamo ora
cos(α + β) = cos(α − (−β)) = cos α cos(−β) + sin α sin(−β)
= cos α cos β − sin α sin β
.
Ciò conclude la dimostrazione Applicazione: determiniamo il valore esatto di cos 15◦ .
cos 15◦ = cos(45◦ − 30◦ ) = cos 45◦ cos 30◦ + sin 45◦ sin 30◦
√ √
√
√
√
2
3
2 1
6+ 2
=
·
+
· =
.
2
2
2 2
4
Le relazioni per gli argomenti complementari permettono di ricavare immediatamente le
formule di addizione e sottrazione per il seno:
Teorema 6
a) sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β ;
b) sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β .
Dimostrazione:
a) sin(α + β) = cos( π2 − (α + β)) = cos(( π2 − α) − β) = cos( π2 − α) cos β + sin( π2 − α) sin β
= sin α cos β + cos α sin β ;
b) sin(α − β) = sin(α + (−β)) = . . . = sin α cos β − cos α sin β
Trigonometria, corso normale (V1.0)
36
LiLu1, 2E (Luca Rovelli)
Applicazione: calcoliamo sin 15◦ .
sin 15◦ = sin(45◦ − 30◦ ) = sin 45◦ cos 30◦ − cos 45◦ sin 30◦
√ √
√
√
√
2
3
2 1
6− 2
=
·
−
· =
.
2
2
2 2
4
Con le formule per seno e coseno, è ora semplice ricavare formule di addizione e sottrazione
per la tangente:
Teorema 7
a) tan(α + β) =
tan α + tan β
;
1 − tan α · tan β
b) tan(α − β) =
tan α − tan β
.
1 + tan α · tan β
Dimostrazione:
a) tan(α + β) =
sin(α + β)
sin α cos β + cos α sin β
=
;
cos(α + β)
cos α cos β − sin α sin β
dividendo numeratore e denominatore per cos α cos β si ricava
sin α cos β
cos α sin β
1
+
tan α + tan β
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β
cos α cos
β
cos
α cos β
=
·
=
1
cos
α
sin
α
sin
β
cos
β
cos α cos β − sin α sin β cos α cos β
1 − tan α · tan β
− cos α cos β
cos
α
cos
β
b) tan(α − β) = tan(α + (−β)) =
tan α + tan(−β)
tan α − tan β
=
1 − tan α · tan(−β)
1 + tan α · tan β
Applicazione: calcoliamo tan 15◦ .
√
◦
tan 15
1 − 33
tan 45◦ − tan 30◦
√
= tan(45 − 30 ) =
=
1 + tan 45◦ · tan 30◦
1 + 1 · 33
√
√
√
√
3− 3 3− 3
9−6 3+3
√ ·
√ =
=
=2− 3 .
9−3
3+ 3 3− 3
Trigonometria, corso normale (V1.0)
◦
◦
37
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