Probabilità e Statistica Compito intermedio n.2 12/06/02 TEORIA Versione in parte riveduta e corretta per essere meglio utilizzata come esercizio. Cognome e Nome Esercizio 1 Si lancia un dado equilibrato fino a che non si ottiene un numero minore di quattro. Quale tipo di legge di probabilita’ modella il numero di lanci necessari ? o Geometrica di parametro p=0.33 SI NO o Bernoulli di parametro p=0.50 SI NO o Bernoulli di parametro p=0.33 SI NO o Geometrica di parametro p=0.50 SI NO Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria reale di legge uniforme sull’intervallo [-7,-2]. o Scrivere l’espressione della densita’ di X. o Quanto vale E(X) ? o Scrivere l’espressione della funzione di ripartizione di X e disegnarne il grafico. Esercizio 3 Sia X1,X2,...,X16 un campione estratto da una popolazione di legge Normale di media 3 e varianza 81. Quale delle seguenti affermazioni sono vere ? o X2 ha legge normale di media 3 e varianza 81. o o (X1 +...+X16 ) 16 * 3 ha legge normale di media 3 e varianza 81 9*9 o S9 = X1 +...+X9 9 Vera Falsa Vera Falsa Vera Falsa Vera Falsa ha legge normale di media 3 e varianza 9 Vera Falsa ha legge normale standard Vera Falsa ha legge normale di media 1/3 e varianza 9 o S9 = X1 +...+X9 ha legge normale di media 3 e varianza 9 9 o o (X1 +...+X16 ) 16 * 3 9*9 (X1 +...+X16 ) 16 * 3 9*9 Esercizio 4 Per stimare la media di una variabile aleatoria X si estraggono due campioni,uno di numerosita' 50 e uno di numerosita' 100 dalla stessa popolazione. Viene fissato un valore del livello del test. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette ? o L'intervallo di confidenza relativo al campione da 100 e’ piu' ampio SI NO o L'intervallo di confidenza relativo al campione da 50 e' piu' ampio SI NO o L'intervallo di confidenza relativo al campione da 100 e' sempre contenuto in quello relativo al campione da 50. o Nessuna delle affermazioni precedenti e’ vera SI SI NO NO Esercizio 5 Sia X1,X2,...,X16 un campione i cui valori portano a rifiutare a livello 5% l’ipotesi H0 che la media sia uguale a 120 contro H1 che sia diversa da 120 . UTILIZZANDO LO STESSO CAMPIONE : rifiuto anche a livello 10% SI NO NON SI PUO’ SAPERE rifiuto anche a livello 1% SI NO NON SI PUO’ SAPERE Per esercizio provare a motivare queste affermazioni Probabilità e Statistica Compito intermedio n.2 12/06/02 ESERCIZI Versione in parte riveduta e corretta per essere meglio utilizzata come esercizio. Cognome e Nome Esercizio 1 Un laboratorio analizza il contenuto in sali minerali disciolto in 14 diverse sorgenti d'acqua di una zona (ovviamente non sono noti i valori di media e varianza). I valori ottenuti sono i seguenti : x14 =2.34 2 s14 =0.25 1. Costruire un intervallo di confidenza al 95% per la media . 2. Effettuare un test sulla media CON LIVELLO 5% con ipotesi principale H0 il fatto che la media valga 2.35, e utilizzando le tre ipotesi alternative H1: diversa, maggiore e minore di 2.35, specificando ogni volta la regione di rifiuto e la decisione. H1 : media diversa da 2.35 H1 : media minore di 2.35 H1 : media maggiore di 2.35 Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria di legge Normale di media m incognita e varianza 4 . 1. Determinare il valore di m tale che P(X ≤ 2)=0.65. 2. Si considerino ora 100 variabili aleatorie di legge normale come al punto 1 utilizzare il valore di m determinato prima) e sia S100 la loro somma. Calcolare P(S100 ≤ 60) Esercizio 3 Si effettua un sondaggio per stimare la proporzione di abitanti di un comune favorevoli all’apertura di un nuovo supermercato. Vengono intervistate 400 persone e solo 100 si dichiarano favorevoli. 1. Costruire un intervallo di confidenza al 90% per la percentuale di favorevoli. 2. Effettuare un test a livello 3% con ipotesi principale H0 : p=0.27 scegliendo a piacere una delle possibili ipotesi alternative H1 , indicando la regione di rifiuto e la decisione. Esercizio 4 Si seleziona un campione di 8 bulloni prodotti da un macchina automatica .Il valore del diametro dei bulloni (mm) e’ riportato nella tabella seguente: 252 248 251 233 260 250 249 253 Si supponga che il diametro X dei bulloni segua una legge normale con varianza nota 2 =0.36 mm. 1. Costruire un intervallo di confidenza per la media di X al livello 95%. 2. Effettuare un test a livello 1% di HO : media = 250 contro H1 : media <250 indicando al regione di rifiuto e la decisione.