Corso di Laurea in Economia Aziendale di II livello (Prof.ssa D. Costanzo) Esercitazione Probabilità e Inferenza Statistica n° 2 Esercizio 1 La v.c. X definisce una popolazione N (µ,σ 2) dalla quale viene estratto un campione casuale i.i.d. di n osservazioni. Sulla base di questo campione vengono proposti tre stimatori alternativi per il parametro incognito µ: 1 π1 = ∑ππ=1 ππ π π2 = 1 π+1 ∑ππ=1 ππ 1 1 2 2π π3 = π1 + ∑ππ=2 ππ a) Determinare il valore atteso dei tre stimatori e stabilire se sono corretti; b) Verificare se i tre stimatori sono asintoticamente corretti; c) Verificare se i tre stimatori sono consistenti, d) Individuare lo stimatore più efficiente tra π1 e π2 (ponendo µ2=σ 2). Esercizio 2 Da un lotto di 5000 sbarre metalliche si estrae un campione di 100 sbarre e si calcola una lunghezza media di 12 cm, determinare l’intervallo di confidenza al 95% e al 99% della media, sapendo, da informazioni precedenti, che la varianza della distribuzione di tutto il lotto è σ 2 =9. Esercizio 3 Da un popolazione di 2000 studenti universitari si estrae un campione di 150 studenti. Sia πΜ =175 e π ^2 =50 cm2 la varianza del campione. Stimare l’intervallo di confidenza della media al livello di confidenza al 95%. Esercizio 4 Si suppone che la durata di una determinata vernice per automobili segue una distribuzione Normale con µ e π 2 entrambe incognite. Un’industria del settore sperimenta tale vernice su 15 automobili scelte a caso tra quelle prodotte. I dati campionari sono i seguenti: 5,3,6,3,5,2,4,7,6,5,4,3,7,9,2 Si stimi un intervallo di confidenza al 95% per la media e la varianza della popolazione. Esercizio 5 Si intende estrarre un campione casuale da una produzione di antibiotici. Determinare la dimensione del campione sapendo che, al livello di confidenza del 99,73% , l’errore massimo accettabile per il contenuto del principio attivo è 0,01 g e che lo scarto quadratico medio dell’universo è 0,1g. Esercizio 6 Pochi giorni prima delle elezioni, un noto quotidiano commissiona un sondaggio d’opinione per prevedere quale fra le due coalizioni, quella di Centro – destra e quella di Centro – sinistra, avrebbe vinto le elezioni. Nella seguente tabella sono riportati i risultati del sondaggio. Numerosità del campione 1750 % di intenzione di voto Centro- destra Centro- sinistra 39 42 a) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di elettori che voteranno la coalizione di Centro – sinistra . b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di elettori che voteranno la coalizione di Centro – destra. c) Si può affermare che la coalizione di Centro – destra è veramente in vantaggio?