es Inferenza N°2 - Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza

Corso di Laurea in Economia Aziendale di II livello
(Prof.ssa D. Costanzo)
Esercitazione Probabilità e Inferenza Statistica n° 2
Esercizio 1
La v.c. X definisce una popolazione N (µ,σ 2) dalla quale viene estratto un campione casuale i.i.d. di n
osservazioni. Sulla base di questo campione vengono proposti tre stimatori alternativi per il parametro
incognito µ:
1
𝑇1 = ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖
𝑛
𝑇2 =
1
𝑛+1
∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖
1
1
2
2𝑛
𝑇3 = 𝑋1 +
∑𝑛𝑖=2 𝑋𝑖
a) Determinare il valore atteso dei tre stimatori e stabilire se sono corretti;
b) Verificare se i tre stimatori sono asintoticamente corretti;
c) Verificare se i tre stimatori sono consistenti,
d) Individuare lo stimatore più efficiente tra 𝑇1 e 𝑇2 (ponendo µ2=σ 2).
Esercizio 2
Da un lotto di 5000 sbarre metalliche si estrae un campione di 100 sbarre e si calcola una lunghezza media
di 12 cm, determinare l’intervallo di confidenza al 95% e al 99% della media, sapendo, da informazioni
precedenti, che la varianza della distribuzione di tutto il lotto è σ 2 =9.
Esercizio 3
Da un popolazione di 2000 studenti universitari si estrae un campione di 150 studenti. Sia 𝑋̅ =175 e 𝜎 ^2 =50
cm2 la varianza del campione. Stimare l’intervallo di confidenza della media al livello di confidenza al 95%.
Esercizio 4
Si suppone che la durata di una determinata vernice per automobili segue una distribuzione Normale con µ e
𝜎 2 entrambe incognite. Un’industria del settore sperimenta tale vernice su 15 automobili scelte a caso tra
quelle prodotte. I dati campionari sono i seguenti:
5,3,6,3,5,2,4,7,6,5,4,3,7,9,2
Si stimi un intervallo di confidenza al 95% per la media e la varianza della popolazione.
Esercizio 5
Si intende estrarre un campione casuale da una produzione di antibiotici. Determinare la dimensione del
campione sapendo che, al livello di confidenza del 99,73% , l’errore massimo accettabile per il contenuto
del principio attivo è 0,01 g e che lo scarto quadratico medio dell’universo è 0,1g.
Esercizio 6
Pochi giorni prima delle elezioni, un noto quotidiano commissiona un sondaggio d’opinione per prevedere
quale fra le due coalizioni, quella di Centro – destra e quella di Centro – sinistra, avrebbe vinto le elezioni.
Nella seguente tabella sono riportati i risultati del sondaggio.
Numerosità del campione
1750
% di intenzione di voto
Centro- destra
Centro- sinistra
39
42
a) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di elettori che voteranno la
coalizione di Centro – sinistra .
b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di elettori che voteranno la
coalizione di Centro – destra.
c) Si può affermare che la coalizione di Centro – destra è veramente in vantaggio?