ACCENI ALLA TRIGONOMETRIA teoremi sui triangoli rettangoli © 2006 Corso multimediale di matematica Prof. Calogero Contrino Accenni alla trigonometria: Risoluzione di triangoli Si illustra nel seguito cosa deve intendersi con la locuzione « risolvere un triangolo » «Risolvere un triangolo» significa determinare tutti gli elementi che lo caratterizzano (tre lati e tre angoli) a partire dalla conoscenza di alcuni di essi (dati del problema). Nota : talvolta i dati sono incompatibili tra di loro ed il problema posto non ammette soluzioni ; talvolta invece i dati sono insufficienti per determinare una soluzione univoca ed il problema formulato ammette più soluzioni. Le definizioni delle funzioni goniometriche viste in precedenza consentono di enunciare due teoremi riguardanti i triangoli rettangoli che risultano molto utili nella risoluzione di triangoli di questo tipo. Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 06/04/2014 2/8 Accenni alla trigonometria: 1° teorema sui triangoli rettangoli Sussiste il seguente teorema : « primo teorema sui triangoli rettangoli » In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente. Con riferimento alla fig. 9 per il teorema precedente si ha: HP = OP sen HP = OP cos OH = OP cos OH = OP sen O Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino P Fig.9 H 06/04/2014 3/8 Accenni di trigonometria: 2° teorema sui triangoli rettangoli Sussiste il seguente teorema : « secondo teorema sui triangoli rettangoli » In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente. Con riferimento alla fig. 9 per il teorema precedente si ha: HP = OH tg HP = OH ctg OH = HP ctg OH = HP tg O Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino P Fig.9 H 06/04/2014 4/8 GONIOMETRIA funzioni goniometriche di angoli qualsiasi © 2006 Corso multimediale di matematica Prof. Calogero Contrino goniometria: funzioni goniometriche di angoli qualsiasi : premessa Per ampliare il dominio delle funzioni goniometriche estendendolo agli angoli P ≤ ≤ G è opportuno associare agli angoli un sistema di coordinate cartesiane con le seguenti modalità: • Si fissa un orientamento per gli angoli ( normalmente quello positivo viene scelto in modo tale che il primo lato si sovrapponga al secondo ruotando in senso antiorario ). • Si fa coincidere il vertice dell’angolo con l’origine del sistema di riferimento ed il primo lato dell’angolo con il semiasse positivo delle ascisse. (vedi fig. 9) In un tale sistema gli angoli acuti ricadono nel primo quadrante. Per le definizioni precedenti nulla cambia se al posto delle lunghezze assolute (senza segno) si sostituiscono i valori delle coordinate con segno positivo dei punti P,P’,P’’ … Pertanto si ha : sen = HP = H’P’ = … = OP’ OP cos = OH = OH’ = … = OP’ OP tg = HP = H’P’ = … = OH’ OH cotg = OH = O’H’ = … = HP H’P’ Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino yP xP2 + yP2 xP xP2 + yP2 yP = xH xH = yP = = yP’ xP’2 + yP’2 xP’ 2 2 xP’ + yP’ yP’ =… xH’ xH’ =… yP’ =… =… Fig.9 P” yP’’ P’ yP’ yP O P H xP H’ xP’ H” xP’’ 06/04/2014 a 6/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli qualsiasi : premesse Visto che, dato un angolo , il rapporto che esprime una data funzione goniometrica non dipende dal particolare triangolo rettangolo costruito a partire da esso, è comodo prendere a riferimento un triangolo con ipotenusa unitaria per esempio OP = 1 (in figura triangolo giallo con lati azzurri) in tal caso le funzioni potranno così essere più semplicemente espresse: sen = HP = OP tg = HP = OH HP = HP = yP 1 yP xP cos = OH = HP = OH = xP 1 OP xP ctg = OH = yP HP Fig.10 P” yP O Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino P P’ H’ H” H yH = yP 06/04/2014 a 7/8 goniometria: valori delle funzioni goniometriche per l’angolo nullo e l’angolo retto Alla luce della nuova definizioni (riferite ad una ipotenusa unitaria), sulla frontiera del primo quadrante (angolo nullo ed angolo retto) si individuano due triangoli degeneri (in cui un cateto è nullo e l’altro è congruente all’ipotenusa). Pertanto si ha: sen0° = HP = yP = 0 sen90° = HP = yP = 1 cos0° = OH = xP = 1 yP 0 tg0° = HP = = = 0 xP 1 OH xP 1 ctg0°= OH = = = yP 0 OP cos90° = OH = xP = 0 yP 1 tg90° = HP = = = xP 0 OH xP 0 ctg90°= OH = = = 0 yP 1 OP Triangolo degenere con HP=0 Triangolo degenere con OH=0 → 90° P P yP → 0° O xP H≡P Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino yP H≡O P xP 06/04/2014 8/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 2° quadrante Vediamo ora come stabilire dei criteri per definire le funzioni goniometriche per angoli che siano maggiori dell’angolo retto esaminando uno per uno i casi in cui il secondo lato dell’angolo ricade nei quadranti diversi dal primo . I cateti dei triangoli saranno caratterizzati da una lunghezza algebrica (con segno) e non da lunghezze assolute di tipo euclideo. Quindi ci saranno, a seconda dei casi, lunghezze positive e negative. Nel caso in cui il secondo lato dell’angolo ricada nel 2° quadrante, non essendo possibile costruire un triangolo rettangolo che abbia uno degli angoli congruente ad , si può fare riferimento all’angolo ’ supplementare di e costruire a partire da esso il triangolo con ipotenusa unitaria OHP che viene associato all’angolo per determinarne le sue funzioni goniometriche. P yP ’ H xP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino O 06/04/2014 9/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 2° quadrante Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di i valori di delle funzioni di ’ si ha : sen = sen’ = yP > 0 cos = cos’ = xP < 0 y x tg = tg’ = P < 0 ctg = ctg’ = P < 0 xP yP Inoltre se si considera l’angolo che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’ si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli supplementari : + = 180° sen = sen cos = - cos P tg = - tg yP yP’ ’ xP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino O ctg = - ctg P’ ≅ ’ xP’ 06/04/2014 10/8 goniometria: funzioni goniometriche dell’ angolo piatto Sulla frontiera del 2° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 0 ( = 180°) con HP =0 ed OH = -1 . Pertanto si ha: sen180° = HP = yP = 0 tg180° = HP = OH yP xP = cos180° = OH = xP = - 1 0 = 0 -1 ctg180° = OH = OP xP yP = -1 = 0 Triangolo degenere con HP= 0 P yP → 180° H≡P xP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino O 06/04/2014 11/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 3° quadrante Se il secondo lato dell’angolo ricade nel 3° quadrante, analogamente al caso precedente si fa riferimento all’angolo ’ antisupplementare di per costruire il triangolo con ipotenusa unitaria OHP che viene associato all’angolo per determinarne le sue funzioni goniometriche. xP H O ’ P yP Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di i valori di delle funzioni di ’ si ha : sen = sen’ = yP < 0 y tg = tg’ = P > 0 xP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino cos = cos’ = xP < 0 x ctg = ctg’ = P > 0 yP 06/04/2014 12/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 3° quadrante Inoltre se si considera l’angolo che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’ si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli supplementari : - = 180° sen = - sen cos = - cos tg = tg ctg = ctg P’ yP’ ≅ ’ xP H O xP’ ’ P Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino yP 06/04/2014 13/8 goniometria: funzioni goniometriche dell’ angolo di 270° Sulla frontiera del 3° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 90°( = 270°) con OH =0 ed HP = -1 . Pertanto si ha: sen270° = HP = yP = -1 tg270° = HP = OH yP xP cos270° = OH = xP = 0 -1 = = 0 ctg270° = OH = HP xP yP = 0 = 0 -1 Triangolo degenere con OH= 0 xP H≡O P yP → 270° Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 06/04/2014 14/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 4° quadrante Se il secondo lato dell’angolo ricade nel 4° quadrante, analogamente al caso precedente si fa riferimento all’angolo ’ esplementare di per costruire il triangolo con ipotenusa unitaria OHP che viene associato all’angolo per determinarne le sue funzioni goniometriche. xP O H ’ yP P Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di i valori di delle funzioni di ’ si ha : sen = sen’ = yP < 0 y tg = tg’ = P < 0 xP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino cos = cos’ = xP > 0 x ctg = ctg’ = P < 0 yP 06/04/2014 15/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 4° quadrante Inoltre se si considera l’angolo che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’ si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli esplementari : + = 360° sen = - sen cos = cos tg = - tg ctg = - ctg P’ yP’ ≅ ’ xP ’ yP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino H P 06/04/2014 16/8 goniometria: funzioni goniometriche dell’ angolo giro Sulla frontiera del 3° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 0 ( = 360°) con HP =0 ed OH = 1 . Tale situazione coincide con quella dell’angolo di 0° . Pertanto si ha: sen360° = HP = yP = 0 tg360° = HP = OH yP xP = cos360° = OH = xP = 1 0 = 0 -1 ctg360° = OH = OP xP yP = 1 = 0 Triangolo degenere con HP= 0 O xP H≡P yP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino → 360° P 06/04/2014 17/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli qualsiasi: considerazioni Considerazioni conclusive: per quanto esaminato in precedenza i valori delle funzioni goniometriche sen e cos sono numeri reali che variano nell’ intervallo -1 sen 1 , assumendo i valori 0,1,0,-1,0 in corrispondenza della costruzione di triangoli rettangoli degeneri degli angoli di 0° , 90° , 180° , 270° e 360° . Nota : nella figura in basso a destra i triangoli costruiti su ’ sono di colore diverso rispetto a quello costruito su quando esso ricade nel primo quadrante per evidenziare che nel primo quadrante il triangolo si costruisce su e non su ’ . I valori delle funzioni tg e ctg sono espressi da un qualsiasi numero reale, ricordando però che esse in corrispondenza rispettivamente degli angoli che misurano 90°, 270° e 0°, 180°, 360° non possono essere calcolate (divisione per zero). In corrispondenza di tali angoli ad esse sono assegnati i valori convenzionali . yP=1 P P ’ xP= -1 P Nella tabella della pagina successiva sono riportati i valori delle funzioni goniometriche di alcuni angoli fondamentali. ’ P ’ yP yP=-1 Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino P yP xP xP= 1 H P P P 06/04/2014 18/8 Goniometria : funzioni goniometriche tabella di alcuni valori della funzione sen Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = sen corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ]. in tabella 1 misura dell’angolo sen misura dell’angolo 0 v 2 0 7/6 −1 2 /6 1 2 5/4 − 2 2 /4 2 2 4/3 − 3 2 /3 3 2 3/2 -1 /2 1 5/3 − 3 2 2/3 3 2 7/4 − 2 2 3/4 2 2 11/6 −1 2 5/6 1 2 2 v 0 0 0 …….. …….. Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino sen 06/04/2014 19/8 Goniometria : funzioni goniometriche tabella di alcuni valori della funzione cos Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = cos in corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ]. tabella 1 misura dell’angolo cos misura dell’angolo 0 v 2 1 7/6 − 3 2 /6 3 2 5/4 − 2 2 /4 2 2 4/3 −1 2 /3 1 2 3/2 0 /2 0 5/3 1 2 2 2 cos 2/3 −1 2 7/4 3/4 − 2 2 11/6 3 2 5/6 − 3 2 2 v 0 1 − 1 …….. …….. Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 06/04/2014 20/8 Goniometria : funzioni goniometriche tabella di alcuni valori della funzione tg Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = tg in corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ]. tabella 1 misura dell’angolo tg misura dell’angolo tg 0 v 2 0 7/6 3 3 /6 3 3 5/4 1 /4 1 4/3 3 /3 3 3/2 ± /2 ± 5/3 − 3 2/3 − 3 7/4 −1 3/4 −1 11/6 − 3 3 5/6 − 3 3 2 v 0 0 …….. …….. Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 0 06/04/2014 21/8 Goniometria : funzioni goniometriche tabella di alcuni valori della funzione ctg Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = ctg in corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ]. tabella 1 misura dell’angolo ctg misura dell’angolo ctg 0 v 2 7/6 3 /6 3 5/4 1 /4 1 4/3 3 3 /3 3 3 3/2 0 /2 0 5/3 − 3 3 2/3 − 3 3 7/4 −1 3/4 − 1 11/6 − 3 5/6 − 3 2 v 0 …….. …….. Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 06/04/2014 22/8