Diapositiva 1 - Giudici Saetta e Livatino

ACCENI ALLA TRIGONOMETRIA
teoremi sui triangoli rettangoli
© 2006
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Prof. Calogero Contrino
Accenni alla trigonometria:
Risoluzione di triangoli
Si illustra nel seguito cosa deve intendersi con la locuzione
« risolvere un triangolo »
«Risolvere un triangolo» significa determinare tutti gli elementi che lo caratterizzano (tre
lati e tre angoli) a partire dalla conoscenza di alcuni di essi (dati del problema).
Nota : talvolta i dati sono incompatibili tra di loro ed il problema posto non ammette soluzioni ; talvolta
invece i dati sono insufficienti per determinare una soluzione univoca ed il problema formulato ammette
più soluzioni.
Le definizioni delle funzioni goniometriche viste in precedenza consentono di enunciare due
teoremi riguardanti i triangoli rettangoli che risultano molto utili nella risoluzione di triangoli di
questo tipo.
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Accenni alla trigonometria:
1° teorema sui triangoli rettangoli
Sussiste il seguente teorema :
« primo teorema sui triangoli rettangoli »
In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’ipotenusa per il
seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente.
Con riferimento alla fig. 9 per il teorema precedente si ha:
HP = OP sen
HP = OP cos
OH = OP cos
OH = OP sen


O
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P
Fig.9
H
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Accenni di trigonometria:
2° teorema sui triangoli rettangoli
Sussiste il seguente teorema :
« secondo teorema sui triangoli rettangoli »
In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’altro cateto per
la tangente dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente.
Con riferimento alla fig. 9 per il teorema precedente si ha:
HP = OH tg
HP = OH ctg
OH = HP ctg
OH = HP tg


O
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P
Fig.9
H
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4/8
GONIOMETRIA
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi : premessa
Per ampliare il dominio delle funzioni goniometriche estendendolo agli angoli P ≤  ≤ G è
opportuno associare agli angoli un sistema di coordinate cartesiane con le seguenti modalità:
• Si fissa un orientamento per gli angoli ( normalmente quello positivo viene scelto in modo
tale che il primo lato si sovrapponga al secondo ruotando in senso antiorario ).
• Si fa coincidere il vertice dell’angolo con l’origine del sistema di riferimento ed il primo lato
dell’angolo con il semiasse positivo delle ascisse. (vedi fig. 9)
In un tale sistema gli angoli acuti ricadono nel primo quadrante. Per le definizioni precedenti
nulla cambia se al posto delle lunghezze assolute (senza segno) si sostituiscono i valori delle
coordinate con segno positivo dei punti P,P’,P’’ …
Pertanto si ha :
sen = HP = H’P’ = … =
OP’
OP
cos = OH = OH’ = … =
OP’
OP
tg = HP = H’P’ = … =
OH’
OH
cotg = OH = O’H’ = … =
HP
H’P’
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yP
 xP2 + yP2
xP

xP2 + yP2
yP
=
xH
xH
=
yP
=
=
yP’
 xP’2 + yP’2
xP’

2
2
xP’
+ yP’
yP’
=…
xH’
xH’
=…
yP’
=…
=…
Fig.9
P”
yP’’
P’
yP’
yP
O

P
H
xP
H’
xP’
H”
xP’’
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a
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi : premesse
Visto che, dato un angolo , il rapporto che esprime una data funzione goniometrica non
dipende dal particolare triangolo rettangolo costruito a partire da esso, è comodo prendere a
riferimento un triangolo con ipotenusa unitaria per esempio OP = 1 (in figura triangolo giallo con lati
azzurri) in tal caso le funzioni potranno così essere più semplicemente espresse:
sen = HP =
OP
tg = HP =
OH
HP
= HP = yP
1
yP
xP
cos = OH = HP = OH = xP
1
OP
xP
ctg = OH =
yP
HP
Fig.10
P”
yP
O
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P
P’
H’
H”
H
yH = yP
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
a
7/8
goniometria:
valori delle funzioni goniometriche per l’angolo nullo e l’angolo retto
Alla luce della nuova definizioni (riferite ad una ipotenusa unitaria), sulla frontiera del primo
quadrante (angolo nullo ed angolo retto) si individuano due triangoli degeneri (in cui un cateto
è nullo e l’altro è congruente all’ipotenusa). Pertanto si ha:
sen0° = HP = yP = 0
sen90° = HP = yP = 1
cos0° = OH = xP = 1
yP
0
tg0° = HP =
=
= 0
xP
1
OH
xP
1
ctg0°= OH =
=
= 
yP
0
OP
cos90° = OH = xP = 0
yP
1
tg90° = HP =
=
= 
xP
0
OH
xP
0
ctg90°= OH =
=
= 0
yP
1
OP
Triangolo degenere con HP=0
Triangolo degenere con OH=0
 → 90°
P
P
yP
 → 0°
O
xP H≡P
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yP
H≡O
P
xP
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8/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 2° quadrante
Vediamo ora come stabilire dei criteri per definire le funzioni goniometriche per angoli che
siano maggiori dell’angolo retto esaminando uno per uno i casi in cui il secondo lato
dell’angolo ricade nei quadranti diversi dal primo .
I cateti dei triangoli saranno caratterizzati da una lunghezza algebrica (con segno) e non da
lunghezze assolute di tipo euclideo. Quindi ci saranno, a seconda dei casi, lunghezze positive
e negative. Nel caso in cui il secondo lato dell’angolo ricada nel 2° quadrante, non essendo
possibile costruire un triangolo rettangolo che abbia uno degli angoli congruente ad , si può
fare riferimento all’angolo ’ supplementare di  e costruire a partire da esso il triangolo con
ipotenusa unitaria OHP che viene associato all’angolo  per determinarne le sue funzioni
goniometriche.
P
yP

’
H
xP
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O
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9/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 2° quadrante
Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di  i valori di delle funzioni di ’ si ha :
sen = sen’ = yP > 0
cos = cos’ = xP < 0
y
x
tg = tg’ = P < 0
ctg = ctg’ = P < 0
xP
yP
Inoltre se si considera l’angolo  che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in
un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’
si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli supplementari :
 +  = 180°
sen = sen
cos = - cos
P
tg = - tg
yP
yP’

’
xP
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O
ctg = - ctg
P’
 ≅ ’
xP’
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goniometria:
funzioni goniometriche dell’ angolo piatto
Sulla frontiera del 2° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 0 ( = 180°)
con HP =0 ed OH = -1 . Pertanto si ha:
sen180° = HP = yP = 0
tg180° = HP =
OH
yP
xP
=
cos180° = OH = xP = - 1
0
= 0
-1
ctg180° = OH =
OP
xP
yP
=
-1
= 
0
Triangolo degenere con HP= 0
P
yP
 → 180°

H≡P xP
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O
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11/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 3° quadrante
Se il secondo lato dell’angolo ricade nel 3° quadrante, analogamente al caso precedente si fa
riferimento all’angolo ’ antisupplementare di  per costruire il triangolo con ipotenusa unitaria
OHP che viene associato all’angolo  per determinarne le sue funzioni goniometriche.

xP
H
O
’
P
yP
Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di  i valori di delle funzioni di ’ si ha :
sen = sen’ = yP < 0
y
tg = tg’ = P > 0
xP
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cos = cos’ = xP < 0
x
ctg = ctg’ = P > 0
yP
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12/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 3° quadrante
Inoltre se si considera l’angolo  che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in
un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’
si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli supplementari :
 -  = 180°
sen = - sen
cos = - cos
tg = tg
ctg = ctg
P’
yP’

 ≅ ’
xP
H
O
xP’
’
P
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yP
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13/8
goniometria:
funzioni goniometriche dell’ angolo di 270°
Sulla frontiera del 3° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 90°( = 270°)
con OH =0 ed HP = -1 . Pertanto si ha:
sen270° = HP = yP = -1
tg270° = HP =
OH
yP
xP
cos270° = OH = xP = 0
-1
=
= 
0
ctg270° = OH =
HP
xP
yP
=
0
= 0
-1
Triangolo degenere con OH= 0

xP
H≡O
P
yP
 → 270°
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14/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 4° quadrante
Se il secondo lato dell’angolo ricade nel 4° quadrante, analogamente al caso precedente si fa
riferimento all’angolo ’ esplementare di  per costruire il triangolo con ipotenusa unitaria
OHP che viene associato all’angolo  per determinarne le sue funzioni goniometriche.

xP
O
H
’
yP
P
Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di  i valori di delle funzioni di ’ si ha :
sen = sen’ = yP < 0
y
tg = tg’ = P < 0
xP
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cos = cos’ = xP > 0
x
ctg = ctg’ = P < 0
yP
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15/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 4° quadrante
Inoltre se si considera l’angolo  che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in
un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’
si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli esplementari :
 +  = 360°
sen = - sen
cos = cos
tg = - tg
ctg = - ctg
P’
yP’

 ≅ ’
xP
’
yP
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H
P
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16/8
goniometria:
funzioni goniometriche dell’ angolo giro
Sulla frontiera del 3° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 0 ( = 360°)
con HP =0 ed OH = 1 . Tale situazione coincide con quella dell’angolo di 0° . Pertanto si ha:
sen360° = HP = yP = 0
tg360° = HP =
OH
yP
xP
=
cos360° = OH = xP = 1
0
= 0
-1
ctg360° = OH =
OP
xP
yP
=
1
= 
0
Triangolo degenere con HP= 0

O
xP
H≡P
yP
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 → 360°
P
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17/8
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi: considerazioni
Considerazioni conclusive:
per quanto esaminato in precedenza i valori delle funzioni goniometriche sen e cos sono
numeri reali che variano nell’ intervallo -1  sen  1 , assumendo i valori 0,1,0,-1,0 in
corrispondenza della costruzione di triangoli rettangoli degeneri degli angoli di 0° , 90° , 180° ,
270° e 360° .
Nota : nella figura in basso a destra i triangoli costruiti su ’ sono di colore diverso rispetto a quello costruito su  quando esso
ricade nel primo quadrante per evidenziare che nel primo quadrante il triangolo si costruisce su  e non su ’ .
I valori delle funzioni tg e ctg sono espressi da
un qualsiasi numero reale, ricordando però che
esse in corrispondenza rispettivamente degli
angoli che misurano 90°, 270° e 0°, 180°, 360°
non possono essere calcolate (divisione per zero).
In corrispondenza di tali angoli ad esse sono
assegnati i valori convenzionali .
yP=1 P
P

’
xP= -1
P
Nella tabella della pagina successiva sono
riportati i valori delle funzioni goniometriche di
alcuni angoli fondamentali.
’
P
’
yP
yP=-1
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P
yP
xP
xP= 1
H
P
P
P
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18/8
Goniometria : funzioni goniometriche
tabella di alcuni valori della funzione sen
Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f :  ↦ y = sen
corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ].
in
tabella 1
misura dell’angolo 
sen
misura dell’angolo 
0 v 2
0
7/6
−1 2
/6
1 2
5/4
− 2 2
/4
2 2
4/3
− 3 2
/3
3 2
3/2
-1
/2
1
5/3
− 3 2
2/3
3 2
7/4
− 2 2
3/4
2 2
11/6
−1 2
5/6
1 2
2 v 0
0

0
……..
……..
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sen
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19/8
Goniometria : funzioni goniometriche
tabella di alcuni valori della funzione cos
Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f :  ↦ y = cos in
corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ].
tabella 1
misura dell’angolo 
cos
misura dell’angolo 
0 v 2
1
7/6
− 3 2
/6
3 2
5/4
− 2 2
/4
2 2
4/3
−1 2
/3
1 2
3/2
0
/2
0
5/3
1 2
2 2
cos
2/3
−1 2
7/4
3/4
− 2 2
11/6
3 2
5/6
− 3 2
2 v 0
1
− 1
……..
……..

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20/8
Goniometria : funzioni goniometriche
tabella di alcuni valori della funzione tg
Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f :  ↦ y = tg in
corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ].
tabella 1
misura dell’angolo 
tg
misura dell’angolo 
tg
0 v 2
0
7/6
3 3
/6
3 3
5/4
1
/4
1
4/3
3
/3
3
3/2
±
/2
±
5/3
− 3
2/3
− 3
7/4
−1
3/4
−1
11/6
− 3 3
5/6
− 3 3
2 v 0
0
……..
……..

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0
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Goniometria : funzioni goniometriche
tabella di alcuni valori della funzione ctg
Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f :  ↦ y = ctg in
corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ].
tabella 1
misura dell’angolo 
ctg
misura dell’angolo 
ctg
0 v 2

7/6
3
/6
3
5/4
1
/4
1
4/3
3 3
/3
3 3
3/2
0
/2
0
5/3
− 3 3
2/3
− 3 3
7/4
−1
3/4
− 1
11/6
− 3
5/6
− 3
2 v 0


……..
……..

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