Registro delle lezioni di
MATEMATICA APPLICATA
Corsi di Laurea in Biomedica
6 CFU - A.A. 2014/2015
docente: Dott.ssa Luisa Fermo
ultimo aggiornamento: 16 dicembre 2014
1.
Mercoledı̀ 1/10/2014, 15–17.
ore: 2(2)
Introduzione al corso: problemi ben posti, condizionamento, stabilità, complessità computazionale.
2.
Lunedı̀ 6/10/2014, 11–13.
ore: 2(4)
Spazi vettoriali: definizioni ed esempi. Combinazioni lineari e spazio generato
da n vettori. Dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Esempi.
3.
Martedı̀ 7/10/2014, 12–14.
n
ore: 2(6)
n
Spazi normati. Norme vettoriali in R e C con indice 1, 2 e ∞. Equivalenza
tra norme. Principali norme utilizzate per le funzioni C([a, b]), L1 ([a, b]) e
L2 ([a, b]). Esercizi. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di
Cauchy. Spazi completi. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto
scalare. Prodotto scalare di Rn , Cn e L2 ([a, b]). Ortogonalità e ortonormalità.
4.
Mercoledı̀ 8/10/2014, 15–17.
ore: 2(8)
Riepilogo sugli spazi di Hilbert Rn , Cn e L2 ([a, b]) con esempi. Base ortonormale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi sul metodo
di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
5.
Lunedı̀ 13/10/2014, 11–13.
ore: 2(10)
Definizione di matrice ed esempi. Somma di matrici e prodotto di una
matrice per uno scalare. Prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra
matrici e relazioni con il prodotto scalare. Definizione di matrice trasposta
e di matrice aggiunta. Proprietà della matrice trasposta. Definizione di
matrice inversa e sue proprietà. Definizione di matrice ortogonale. Esempi.
Registro di Matematica Applicata - 2014/15 - Dott.ssa L. Fermo
6.
Martedı̀ 14/10/2014, 12–14.
2
ore: 2(12)
Definizione di potenza di matrice e matrice invertibile. Determinante e sue
proprietà. Autovalori e autovettori. Definizione di spettro e raggio spettrale.
Proprietà degli autovalori. Calcolo di autovalori. Esercizi.
7.
Mercoledı̀ 15/10/2014, 15–17.
ore: 2(14)
Introduzione all’analisi di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari.
8.
Lunedı̀ 20/10/2014, 11–13.
ore: 2(16)
Polinomio trigonometrico. Ortogonalità delle armoniche elementari. Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Coefficienti del polinomio
trigonometrico.
9.
Martedı̀ 21/10/2014, 12–14.
ore: 2(18)
Energia di un segnale e di un polinomio trigonometrico. Disuguaglianza di
Bessel. Formula di Parseval. Serie di Fourier. Calcolo delle serie di Fourier
di alcune funzioni. Introduzione al teorema di convergenza della serie di
Fourier.
10.
Mercoledı̀ 22/10/2014, 15–17.
ore: 2(20)
Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza della serie di
Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Serie di Fourier di funzioni pari e
dispari. Esercizi sulle serie di Fourier.
11.
Venerdı̀ 24/10/2013, 8–10.
ore: 2(22)
Esercizio sulle serie di Fourier. Forma armonica della serie di Fourier. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa. Calcolo dei coefficienti complessi per
funzioni pari o dispari.
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12.
Lunedı̀ 27/10/2014, 11–13.
3
ore: 2(24)
Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie
a coefficienti costanti su di un intervallo.
13.
Martedı̀ 28/10/2014, 12–14.
ore: 2(26)
Introduzione alla trasformata di Fourier: passaggio dalla serie di Fourier
alla trasformata, analogie e differenze. Trasformata inversa. Funzione di
Heaviside. Calcolo della trasformate di alcune funzioni elementari: impulso
esponenziale troncato e impulso pari. Proprietà di linearità della trasformata
di Fourier.
14.
Lunedı̀ 3/11/2014, 11–13.
ore: 2(28)
Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso esponenziale dispari e
onda quadra. Funzione sinc. Delta di Dirac e sua trasformata. Trasformata
di una Gaussiana. Proprietà della trasformata di Fourier: traslazione nello
spazio ordinario e nello spazio delle frequenze.
15.
Martedı̀ 04/11/2014, 12–13.
ore: 1(29)
Proprietà della trasformata di Fourier: variazione di scala, modulazione,
simmetria.
E1.
Martedı̀ 04/11/2014, 12–13.
ore: 1(1)
Esercitazione Esercizi sulla trasformata di Fourier
16.
Mercoledı̀ 05/11/2013, 15–17.
ore: 2(31)
Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle
frequenze. Convoluzione. Commutatività. Trasformata della convoluzione.
Esercizio.
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17.
Lunedı̀ 10/11/2014, 11–13.
4
ore: 2(33)
Risoluzione di un’equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier.
Esercizi.
18.
Martedı̀ 11/11/2014, 12–14.
ore: 2(35)
Introduzione alla risoluzione di sistemi lineari e possibili rappresentazioni.
Matrici strutturate: matrici simmetriche, Hermitiane, definite positive, ortogonali, unitarie, triangolari, diagonali e loro proprietà. Matrici sparse e
matrici dense.
19.
Mercoledı̀ 12/11/2014, 15–17.
ore: 2(37)
Norme matriciali. Proprietà di submoltiplicatività e consistenza. La norma
di Frobenius. Norme naturali. Espressione della norma naturale indotta
dalla norme vettoriale con indice ∞. Norme matriciali indotte dalle norme
vettoriali con indice 1 e 2. Osservazioni sulle norme di matrici simmetriche.
Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Condizioni per l’esistenza
e l’unicità della soluzione di sistemi lineari.
20.
Lunedı̀ 17/11/2014, 11–13.
ore: 2(39)
Numero di condizionamento di un problema. Condizionamento relativo di
un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti. Proprietà del
numero di condizionamento. Metodo di risoluzione di un sistema lineare
ortogonale.
21.
Martedı̀ 18/11/2014, 12–14.
ore: 2(41)
Sistemi lineari diagonali: algoritmo di risoluzione e complessità. Risoluzione di un sistema triangolare inferiore o superiore: algoritmo e complessità.
Esercizi sul condizionamento di un sistema.
22.
Lunedı̀ 24/11/2014, 11–13.
ore: 2(43)
Principi di equivalenza per i sistemi lineari. Analisi dei primi due passi del
metodo di eliminazione di Gauss (senza pivoting). Analisi del generico passo
k. Algoritmo. Complessità computazionale.
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23.
Martedı̀ 25/11/2013, 12–14.
5
ore: 2(45)
Fattorizzazione A=LU. Applicazione della fattorizzazione A=LU alla risoluzione di sistemi lineari, al calcolo del determinante e al calcolo dell’inversa.
Esercizio. Arresto dell’algoritmo di Gauss in presenza di un pivot nullo.
Matrici diagonalmente dominanti per riga e per colonna.
24.
Mercoledı̀ 26/11/2014, 11–13.
ore: 2(47)
Problemi di accumulo errori nell’algoritmo di Gauss. Algoritmo di Gauss con
pivoting parziale. Cenni all’algoritmo di Gauss con pivoting totale. Matrici
di scambio e di permutazione. Fattorizzazione P A = LU .
25.
Lunedı̀ 1/12/2014, 11–13.
ore: 2(49)
Riepilogo metodo di Gauss con pivoting parziale. Osservazioni sulla stabilità e sul condizionamento. Applicazioni della fattorizzazione P A = LU alla
risoluzione di sistemi lineari, al calcolo del determinante e al calcolo dell’inversa. Esercizio. Introduzione ai metodi iterativi stazionari del primo ordine.
Calcolo iterate. Primo esempio.
26.
Martedı̀ 2/12/2014, 12–14.
ore: 2(51)
Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Espressione dell’errore
al passo k in funzione dell’errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la
convergenza di un metodo iterativo. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni
successive, numero massimo di iterazioni, condizione sul residuo. Metodo di
Jacobi. Espressione matriciale e espressione in componenti. Parallilizzabilità.
27.
Mercoledı̀ 3/12/2014, 11–13.
ore: 2(53)
Metodo iterativo di Gauss-Seidel. Espressione matriciale del metodo ed
espressione in componenti. Parallelizzabilità. Teoremi di convergenza per
matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti. Esercizio.
Il problema di Cauchy per una equazione differenziale ordinaria del primo
ordine. Il problema di Cauchy associato a un sistema di due equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo: come
trasformarle in equazioni del primo ordine.
Registro di Matematica Applicata - 2014/15 - Dott.ssa L. Fermo
28.
Martedı̀ 9/12/2014, 12–14.
6
ore: 2(55)
Esistenza e unicità globale e locale della soluzione del problema di Cauchy.
Lipschitzianità: definizione e relazione con la continuità e con la derivabilità.
Esempi. Introduzione ai metodi alle differenze finite.
29.
Mercoledı̀ 10/12/2014, 11–13.
ore: 2(57)
Metodi alle differenze finite. Come si deducono gli schemi alle differenze
finite: discretizzazione del dominio e formule alle differenze finite. Schemi
numerici monostep, multistep, espliciti ed impliciti. Metodo di Eulero esplicito, metodo di Eulero implicito, metodo del punto medio, metodo di Crank
Nicolson, metodo di Heun e metodo di Eulero modificato. Applicazione a
sistemi di ODE.
30.
Lunedı̀ 15/12/2014, 11–13.
ore: 2(59)
Analisi dei metodi monostep. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. Stabilità
dei metodi monostep. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine di consistenza. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep
mediante sviluppo in serie dell’errore locale di discretizzazione.
31.
Martedı̀ 16/12/2014, 12–13.
ore: 1(60)
Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di discretizzazione
per una formula multistep. Consistenza e ordine. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Stabilità. Condizione delle radici. Teorema
di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist.
E2.
Martedı̀ 16/12/2014, 13–14.
ore: 1(2)
Esercitazione Esercizi su metodi monostep e metodi multistep.
Totale ore: 60 (lezione), 2 (esercitazione)
