Programma integrativo per l’esame di Analisi Matematica 2 L.T. Ingegneria Civile ed Ambientale Michele Miranda February 1, 2011 Elementi di goemetria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema della funzione implicita nella formulazione generale e applicazione alla teoria delle superfici. Applicazione alla teoria delle superfici e curve regolari nel piano e nello spazio. Superfici di rotazione; sfera, cono, cilindro, toro ed ellissoide. Calcolo dell’area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell’area delle superfici cartesiane e di rotazione. Definizione dell’integrale di superficie di prima (per funzioni scalari) e seconda (per funzioni vettoriali) specie. Applicazioni al calcolo dei baricentri e dei momenti di inerzia. Applicazione degli integrali curvilinei e di superficie nello studio dei campi vettoriali; campi conservativi, condizioni sufficienti per la conservatività di un campo. Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per lo studio dei campi conservativi e il calcolo dei flussi di campi attraverso superfici. Successioni di funzioni; definizione di convergenza puntuale e uniforme. Proprietà della convergenza uniforme; passaggio al limite della continuità, integrabilità e derivabilità. Serie di funzioni; definizione di convergenza puntuale, puntuale assoluta, uniforme, uniforme assoluta e totale, con descrizione delle relazioni tra le varie convergenze. Passaggio al limite nella convergenza uniforme; continuità della somma di una serie, integrabilità e integrazione per serie, derivabilità e derivazione per serie. Serie di potenze; definizione di raggio di convergenza. Proprietà principali delle serie di potenze; continuità, derivabilità e integrabilità. Serie di Taylor; definizione ed alcuni esempi significativi, tra cui funzione esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente e radice. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor meidiante la formula di Taylor con resto di Lagrange. Serie di Fourier; funzioni continue e regolari a tratti. Definizione dei coefficienti di Fourier e della serie di Fourier associata ad una funzione continua a tratti. Proprietà della convergenza di una serie di Fourier associata a funzioni continue e regolari a tratti; formula di Parseval. Estensione pari e dispari di una funzione e sviluppo in serie di soli seni o soli coseni. Applicazione della teoria delle serie di Fourier per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Descrizione del fenomeno di Gibbs. Applicazioni della teoria delle serie di Taylor e di Fourier per la determinazione delle soluzioni delle equazioni differenziali.