Programma integrativo per l`esame di Analisi Matematica 2

Programma integrativo per l’esame di
Analisi Matematica 2
L.T. Ingegneria Civile ed Ambientale
Michele Miranda
February 1, 2011
Elementi di goemetria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema della funzione implicita nella formulazione generale e applicazione alla teoria
delle superfici.
Applicazione alla teoria delle superfici e curve regolari nel piano e nello spazio. Superfici
di rotazione; sfera, cono, cilindro, toro ed ellissoide.
Calcolo dell’area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell’area delle
superfici cartesiane e di rotazione. Definizione dell’integrale di superficie di prima (per funzioni scalari) e seconda (per funzioni vettoriali) specie. Applicazioni al calcolo dei baricentri
e dei momenti di inerzia. Applicazione degli integrali curvilinei e di superficie nello studio
dei campi vettoriali; campi conservativi, condizioni sufficienti per la conservatività di un
campo. Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per lo studio dei campi
conservativi e il calcolo dei flussi di campi attraverso superfici.
Successioni di funzioni; definizione di convergenza puntuale e uniforme. Proprietà della
convergenza uniforme; passaggio al limite della continuità, integrabilità e derivabilità. Serie
di funzioni; definizione di convergenza puntuale, puntuale assoluta, uniforme, uniforme assoluta e totale, con descrizione delle relazioni tra le varie convergenze. Passaggio al limite
nella convergenza uniforme; continuità della somma di una serie, integrabilità e integrazione
per serie, derivabilità e derivazione per serie. Serie di potenze; definizione di raggio di convergenza. Proprietà principali delle serie di potenze; continuità, derivabilità e integrabilità.
Serie di Taylor; definizione ed alcuni esempi significativi, tra cui funzione esponenziale, seno,
coseno, logaritmo, arcotangente e radice. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor meidiante la formula di Taylor con resto di Lagrange. Serie di Fourier; funzioni continue e
regolari a tratti. Definizione dei coefficienti di Fourier e della serie di Fourier associata ad
una funzione continua a tratti. Proprietà della convergenza di una serie di Fourier associata
a funzioni continue e regolari a tratti; formula di Parseval. Estensione pari e dispari di una
funzione e sviluppo in serie di soli seni o soli coseni. Applicazione della teoria delle serie di
Fourier per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Descrizione del fenomeno di
Gibbs.
Applicazioni della teoria delle serie di Taylor e di Fourier per la determinazione delle
soluzioni delle equazioni differenziali.